中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2024-2025学年八年级上数学第1章三角形的初步知识 培优测试卷 1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列判断正确的是（ ）
A．等边三角形都全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．腰长对应相等的两个等腰三角形全等 D．直角三角形和钝角三角形不可能全等
2．已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是（ ）
A．平分已知角
B．作已知直线的垂线
C．作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段
D．作已知直线的平行线
3．如图，已知点B、E、C、F在一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DFE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DFE的是（ ）
A．BE＝CF B．AB＝DF
C．∠ACB＝∠DEF D．AC＝DE
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
4． 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（ ）
A．SSS B．ASA
C．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等
5．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
6．如图，在中，，，，将沿的方向平移到的位置，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．垂足分别为D、E、F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OB=OC B．OD=OF C．OA=OB=OC D．BD=DC
（第7题） （第8题） （第9题）
8．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，连接BD．如果△DBC的周长等于10cm，BC＝4cm，那么AC的长是（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．9cm
9．如图，在中，是高，平分，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．在 中，若一个内角等于另外两个角的差，则（ ）
A．必有一个角等于 B．必有一个角等于
C．必有一个角等于 D．必有一个角等于
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”.这样做的依据是 .
（第11题） （第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
12．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ．
13．如图，若，，，则的长是 ．
14．如图，中，E为边上一点，，点D为的中点，连接，取的中点F，连接，若四边形的面积是6，则的面积是 ．
15．如图，⊿ABC中，∠A
= 30°，∠B = 70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，则∠CDF
= °
16．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC= BC，D为△ABC内一点，且∠BCD=∠CAD，若CD=4，则△BCD的面积为
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在中，请用尺规作图法（保留作图痕迹，不写作法）：
（1）在图1中作的平分线．
（2）在图2中作线段交于点，使得将分成面积相等的两部分．
18．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
19．如图，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC=α，∠B＝β（α＞β）．
（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE的度数；
（2）试用α、β的代数式表示∠DCE的度数 ．
20．如图， ， ， ， ，
（1）求证： ；
（2）试求 的度数．
21．已知在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点.
（1）如图，连接，①若，求的度数；
②若平分，求的度数.
（2）若直线垂直于的一边，求的度数.
22．如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P．
（1）当∠A=40°，∠ABC=60°时，求∠BPC的度数；
（2）
当∠A=α°时，求∠BPC的度数．（用α的代数式表示）
（3） 小明研究时发现：如果延长AB至D，再过点B作BQ⊥BP，那么BQ就是∠CBD的平分线。请你证明小明的结论.
23．
（1）如图1，设，则 ；
（2）把三角形纸片ABC顶角A沿DE折叠，点A落到点处，记为∠1，为∠2．
①如图2，∠1，∠2与∠A的数量关系是 ；
②如图3，请你写出∠1，∠2与∠A的数量关系，并说明理由．
（3）如图4，把一个三角形纸片ABC的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中 ．
24．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．
（1）【积累经验】
如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ；
（2）【类比迁移】
如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）【拓展应用】
如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2024-2025学年八年级上数学第1章三角形的初步知识 培优测试卷 1
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列判断正确的是（ ）
A．等边三角形都全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．腰长对应相等的两个等腰三角形全等
D．直角三角形和钝角三角形不可能全等
【答案】D
【解析】A、两个等边三角形只有当边相等的时候才能全等，所以A不正确；
B、三角分形的面积只与三角形的底和高有关，当两个三角形的底和高的乘积相等时其面积就相等，但此时两个三角形不一定全等，所以B不正确；
C、腰对应相等但是顶角不相等时两个三角形不全等，所以C不正确；
D、如果两个三角形的对应角不相等那么这两个三角形一定不全等，所以D正确；
故选D．
2．已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是（ ）
A．平分已知角
B．作已知直线的垂线
C．作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段
D．作已知直线的平行线
【答案】C
【解析】已知两角及其夹边作三角形，可先作一条线段等于已知线段，再在线段的两个端点分别作两个角等于已知角，故所用的基本作图方法是作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段
选C．
3．如图，已知点B、E、C、F在一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DFE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DFE的是（ ）
A．BE＝CF B．AB＝DF
C．∠ACB＝∠DEF D．AC＝DE
【答案】C
【解析】∵∠A＝∠D，∠B＝∠DFE，
∴当BE＝CF时，即BC＝EF，△ABC≌△DFE（AAS）；
当AB＝DF时，即BC＝EF，△ABC≌△DFE（ASA）；
当AC＝DE时，即BC＝EF，△ABC≌△DFE（AAS）．
故答案为：C．
4． 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】A
【解析】连接NC，MC.
在△ONC和△OMC中，
ON=OM，NC=MC，OC=OC，
∴△ONC≌△OMC(SSS）
由题意知B、C、D不符合题意.
故答案选A.
5．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
在△ADO和△AEO中，，∴△ADO≌△AEO（AAS），
∴DO=EO，
在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（ASA），
∴∠B=∠C，
在△ABO和△ACO中，，
∴△ABO≌△ACO（AAS），
∵△ADO≌△AEO，
∴AD=AE，
在△AEB和△ADC中，，
∴△AEB≌△ADC（ASA），
综上，共有4对全等三角形，
故答案为：C.
6．如图，在中，，，，将沿的方向平移到的位置，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】把△ABC沿的方向平移到△DEF的位置，BC=5，，，
，，，
∴A、B、C正确，不符合题意，
，错误，符合题意.
故答案为：D.
7．如图，在△ABC中，点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．垂足分别为D、E、F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OB=OC B．OD=OF C．OA=OB=OC D．BD=DC
【答案】C
【解析】∵点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，
∴OB=OC，故（A）成立；
又∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴OD=OF，故（B）成立；
∵OD垂直平分BC，
∴BD=CD，故（D）成立；
∵点E和点F不一定是AC和AB的中点，
即OF不一定垂直平分AB，
∴OA=OB=OC不一定成立．
故选C.
8．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，连接BD．如果△DBC的周长等于10cm，BC＝4cm，那么AC的长是（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．9cm
【答案】B
【解析】∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∵C△DBC=10cm，
∴CB+CD+DB=CB+CD+DA=BC+AC=10cm，
∵AC=4cm，
∴BC=10-4=6cm，
故答案为：B.
9．如图，在中，是高，平分，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵AD平分∠BAC，∠BAC=80°，
∴∠CAD=∠BAD=40°，
∵AF是高，
∴∠AFC=90°，
∴∠C+∠CAF=90°，
∵∠C= 60°，
∴∠CAF=30°，
∴∠DAF=∠CAD-∠CAF=40°-30°=10°.
故答案为：A.
10．在 中，若一个内角等于另外两个角的差，则（ ）
A．必有一个角等于 B．必有一个角等于
C．必有一个角等于 D．必有一个角等于
【答案】D
【解析】设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则三个角为(180°－x－y)，则有三种情况：
①
②
③
综上所述，必有一个角等于90°
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”.这样做的依据是 .
【答案】三角形具有稳定性
【解析】人字梯中间一般会设计一“拉杆”.这样做的依据是：三角形具有稳定性.
故答案为：三角形具有稳定性.
12．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ．
【答案】如果两个角相等，那么这两个角的余角相等
【解析】命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
13．如图，若，，，则的长是 ．
【答案】2
【解析】，
故答案为：2．
14．如图，中，E为边上一点，，点D为的中点，连接，取的中点F，连接，若四边形的面积是6，则的面积是 ．
【答案】12
【解析】设△ABC的面积是a
∵CE=2BE即
∴
又D是AC中点
∴
同理，
∴
∴a=12
故答案为12.
15．如图，⊿ABC中，∠A
= 30°，∠B = 70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，则∠CDF
= °
【答案】70
【解析】∵∠A=30°，∠B=70°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°.
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE= ∠ACB=40°.
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA=90°，
∠ACD=180°-∠A-∠CDA=60°.
∴∠ECD=∠ACD-∠ACE=20°.
∵DF⊥CE，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=180°-∠CFD-∠DCF=70°
16．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC= BC，D为△ABC内一点，且∠BCD=∠CAD，若CD=4，则△BCD的面积为
【答案】8
【解析】如图，过点B作BH⊥CD，交CD的延长线于H，则∠H=90°，
在等腰直角三角形ABC中， AC= BC，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∵ ∠BCD=∠CAD，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠H，
∵AC=BC， ∠BCD=∠CAD，
∴△ACD≌△CBH（AAS），
∴BH=CD=4，
∴ △BCD的面积为 ×4×4=8.
故答案为：8.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在中，请用尺规作图法（保留作图痕迹，不写作法）：
（1）在图1中作的平分线．
（2）在图2中作线段交于点，使得将分成面积相等的两部分．
【答案】（1）解：如图1所示，
（2）解：如图，作的垂直平分线交于，
则即为所求．
18．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
【答案】（1）解：证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△CDF中， ，∴△ABE≌△CDF（AAS）
∴AB＝CD；
（2）解：∵△ABE≌△CDF，
∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°
∵AB＝CF，
∴CF＝CD，
∴∠D＝∠CFE=
19．如图，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC=α，∠B＝β（α＞β）．
（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE的度数；
（2）试用α、β的代数式表示∠DCE的度数 ．
【答案】（1）解：由题意得：∠ACB＝180°-（∠BAC+∠B）＝180°-（70°+40°）＝70°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴．
∵CD是高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°-∠BAC＝20°，
∴∠DCE＝∠ACE-∠ACD＝35°-20°＝15°．
（2）
【解析】（2）由题意得：∠ACB＝180°-（∠BAC+∠B）＝180°-（α+β），
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝90°-（α+β），
∵CD是高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°-∠BAC＝90°-α，
∴∠DCE＝∠ACE-∠ACD＝90°-（α+β）-（90°-α）＝．
故答案为：．
20．如图， ， ， ， ，
（1）求证： ；
（2）试求 的度数．
【答案】（1）证明：∵BD=BC，BE=CA，∠DBE=∠C，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
（2）解：∵△ABC≌△EDB
∴∠A=∠E，
∵∠DBE=62°，∠BDE=75°，
∴∠E=180°-62°-75°=43°，
∴∠A=43°，
∵∠BDE+∠ADE=180°，
∴∠ADE=105°，
∴∠AFD=180°-（∠ADE+∠A）=180°-（105°+43°）=32°．
21．已知在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点.
（1）如图，连接，①若，求的度数；
②若平分，求的度数.
（2）若直线垂直于的一边，求的度数.
【答案】（1）解：①，，
.
平分，.
，.
②，，
，.
平分，平分，
，.
.
（2）解：①如图1，当时，.
由（1）得，.
如图2，当于点时，.
由（1）得，
.
③如图3，当时，.
由（1）得，，
.
综上所述，或或.
22．如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P．
（1）当∠A=40°，∠ABC=60°时，求∠BPC的度数；
（2）
当∠A=α°时，求∠BPC的度数．（用α的代数式表示）
（3） 小明研究时发现：如果延长AB至D，再过点B作BQ⊥BP，那么BQ就是∠CBD的平分线。请你证明小明的结论.
【答案】（1）解： ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，
∴∠ABC=2∠2，∠ACB=2∠4，∴∠ABC+∠ACB=2∠2+2∠4
∵∠A=40°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=2∠2=180°-40°-60°=80°，∴∠2=30°，∠4=40°，
∴∠BPC=180°-∠2-∠4=180°-30°-40°=110°.
（2）解： ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∴∠ABC=2∠2，∠ACB=2∠4，∵∠A= α° ，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°- α°即2∠2+2∠4=180°- α°∴∠2+∠4=，∵∠BPC=180°-（∠2+∠4）=180°-（）=；
（3）证明：如图，
∵BQ⊥BP∴∠QBP=∠2+∠QBC=90°，
∴∠1+∠QBP+∠DBQ=180°，∴∠1+∠DBQ=90°，
∵∠1=∠2
∴∠QBC=∠DBQ，
∴BQ是∠CBD的平分线.
23．
（1）如图1，设，则 ；
（2）把三角形纸片ABC顶角A沿DE折叠，点A落到点处，记为∠1，为∠2．
①如图2，∠1，∠2与∠A的数量关系是 ；
②如图3，请你写出∠1，∠2与∠A的数量关系，并说明理由．
（3）如图4，把一个三角形纸片ABC的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中 ．
【答案】（1）
（2）解：①②如图3，，理由是：∵，∴，∵，∴，∴；
（3）
【解析】（1）；
故答案为：；
（2）①如图2，猜想：，理由是：
由折叠得：
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）如图4，由题意知，
又∵，
，
∴
故答案为：．
24．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．
（1）【积累经验】
如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ；
（2）【类比迁移】
如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）【拓展应用】
如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．
【答案】（1）
（2）解：仍然成立，理由如下，
∵，
，
，
∵，
∴，
∴，
；
（3）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴与的面积之和为4．
【解析】（1），理由如下，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
