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浙教版2024-2025学年八年级上数学第1章三角形的初步知识 培优测试卷 2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是的（ ）
A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
（第2题） （第5题） （第8题） （第9题） （第10题）
3．下面各图中所给数据的三角形，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
4．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）
A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段 D．作角的平分线
5．如图，已知，添加下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题，是真命题的是（ ）
A．直角三角形的一个内角为32°，则另外一个锐角为68°
B．如果，那么
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是0或
7．已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果是（ ）
A．2b－2c B．－2b C．2a＋2b D．2a
8． 如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（ ）
A．S1＞S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＜S2+S3 D．无法确定
9．在数学活动课上，小红提出这样一个问题：，是的中点，平分，如图，则下列说法正确的有几个，大家一起热烈地讨论交流，得出正确答案是（ ）
①平分；②；③；
④；⑤；⑥．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠DEA=β，∠CEA'=γ，∠BDA'=θ，那么下列式子中不一定成立的是（ ）
A．θ=2α+γ B．θ=180°﹣α﹣γ
C．β= D．θ=2α+2β﹣180°
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是 （用三个字母表示）．
（第11题） （第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
12．证明“若，则”是假命题的反例可以是a = .（写一个即可）
13．纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为 ．
14．如图， 的三边 的长分别为 ，其三条角平分线交于点O，则 = .
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 ．
16．如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝ ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知中，，，请用尺规完成下列作图只保留作图痕迹，不要求写出作法：
（1）求作的角平分线；
（2）求作，使，．
18．如图，在中，是边上的高，是的平分线，求的度数．
19．已知，如图，点、、、在同一直线上，，，．
（1）求证：≌；
（2）当，时，求的度数．
20．如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，
求证：
（1）；
（2）．
21．在 ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点．
（1）如图1，若 ＝1cm2，求 BEF的面积．
（2）如图2，若 ＝1cm2，则 ＝ ．
22．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC.
（1）求证：AE＝AD；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数.
23．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
24．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°．求∠DAE的度数．
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系．
（3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变，说明理由．
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浙教版2024-2025学年八年级上数学第1章三角形的初步知识 培优测试卷 2
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】A
【解析】A、∵13+11＞20，∴长度分别为13、11、20的三根木棍能摆成三角形，故此选项符合题意；
B、∵3+7=10，∴长度分别为3、7、10的三根木棍不能摆成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵6+8＜16，∴长度分别为6、8、10的三根木棍不能摆成三角形，故此选项不符合题意；
D、∵3+3＜7，∴长度分别为3、3、7的三根木棍不能摆成三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
2．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是的（ ）
A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
【答案】B
【解析】∵线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，
∴这个公园应建的位置是的三边垂直平分线的交点上，
故答案为：B．
3．下面各图中所给数据的三角形，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
【答案】B
【解析】乙三角形和△ABC有对应的两边及其夹角相等，根据SAS可以证明它们两个三角形全等；
丙三角形和△ABC有对应的两个角及其夹边相等，根据ASA可以证明它们两个三角形全等；
∴有乙和丙三角形和△ABC全等.
故答案为：B.
4．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）
A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段 D．作角的平分线
【答案】C
【解析】根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．故选C
选C．
5．如图，已知，添加下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵，
A.若添加，则满足边边角，无法判定，故本选项符合题意；
B.若添加，可利用角边角判定，故本选项不符合题意；
C.若添加，可利用角角边判定，故本选项不符合题意；
D.若添加，可利用边角边判定，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
6．下列命题，是真命题的是（ ）
A．直角三角形的一个内角为32°，则另外一个锐角为68°
B．如果，那么
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是0或
【答案】D
【解析】A. 直角三角形的一个内角为32°，则另外一个锐角为58°，故原选项是假命题，不合题意；
B. 如果，那么或b=0，故原选项是假命题，不合题意；
C. 有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，故原选项是假命题，不合题意；
D. 如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是0或，故原选项是真命题，符合题意.
故答案为：D.
7．已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果是（ ）
A．2b－2c B．－2b C．2a＋2b D．2a
【答案】A
【解析】∵a+b>c， b
则 |a＋b－c|－|b－a－c|=a+b-c+b-a-c=2b-2c ；
故答案为：A.
8． 如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（ ）
A．S1＞S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＜S2+S3 D．无法确定
【答案】C
【解析】如图，过点O作OD⊥BC于点D，过点O作OE⊥AC于点E，过点O作OF⊥AB于点F，
∵O是△ABC的三条角平分线的交点， OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OE=OF=OD，
设OE=OF=OD=a，
∴S1=AB×a，S2=BC×a，S3=AC×a
∴S2+S3=BC×a+AC×a=a(BC+AC)，
∵BC+AC＞AB，
∴a×AB＜a(BC+AC)，
即 S1＜S2+S3 .
故答案为：C.
9．在数学活动课上，小红提出这样一个问题：，是的中点，平分，如图，则下列说法正确的有几个，大家一起热烈地讨论交流，得出正确答案是（ ）
①平分；②；③；
④；⑤；⑥．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解析】取点AD的中点F，连接EF，如图所示：
①∵点E、F分别是BC和AD的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴AB//CD//EF，
∴∠CDE=∠FED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠FDE，
∴∠FED=∠FDE，
∴DF=EF，
∵DF=AF，
∴EF=AF，
∴∠FAE=∠FEA，
∵∠FEA=∠BAE，
∴∠FAE=∠BAE，
∴AE平分∠DAB，
∴①正确；
②∵△EBA和△DCE中没有相等的线段，
∴无法判断△EBA和△DCE是否全等，
∴②不正确；
③∵DE和AE分别是∠CDA和∠BAD的角平分线，CD//AB，
∴∠EDA+∠EAD=×180°=90°，
∴∠AED=180°-（∠EDA+∠EAD）=90°，
∵点F是AD的中点，
∴EF=AD，
∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF=（CD+AB），
∴AD=CD+AB，
∴③正确；
④∵DE和AE分别是∠CDA和∠BAD的角平分线，CD//AB，
∴∠EDA+∠EAD=×180°=90°，
∴∠AED=180°-（∠EDA+∠EAD）=90°，
∴AE⊥ED，
∴④正确；
⑤∵∠B=∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB//CD，
∴⑤正确；
⑥∵若CD=CE时，则△CDE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，
∵ED平分∠CDA，
∴∠CDA=2∠CDE=90°，
∴∠CDA=90°，
∵题干中无法证出∠CDA是否为90°，
∴⑥不正确；
综上，正确的是①③④⑤，共4个，
故答案为：B.
10．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠DEA=β，∠CEA'=γ，∠BDA'=θ，那么下列式子中不一定成立的是（ ）
A．θ=2α+γ B．θ=180°﹣α﹣γ
C．β= D．θ=2α+2β﹣180°
【答案】B
【解析】设AC与A'D相交于点F，如图
∵ 三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE ，
∴ ∠A= ∠A’= α ，∠ADE=∠A'DE ， ∠DEA=∠DEA’=β，
∴∠AFD=∠A'+∠A'EF 且 ∠BDA' =∠A+∠AFD，
∴∠BDA' =∠A+∠A'+∠A'EF，
即 θ =2α+γ，
∴A项正确，
∵∠DEF=∠DEA'- ∠CEA'=β- γ，
∴∠AED+∠DEF=180°，
即β+β- γ=180°，
∴β=90°+，
∴C项正确，
∵∠A+∠DEA=∠BDA' + ∠A'DE ，
∴α + β = θ +∠ADE，
∵∠ADE=180°-α-β，
∴α + β = θ +180°-α-β，
∴θ=2α+2β﹣180° ，
∴D项正确，
B项中的式子不能得出，
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是 （用三个字母表示）．
【答案】
【解析】如图所示
AB与DE相交于C
故答案为：
12．证明“若，则”是假命题的反例可以是a = .（写一个即可）
【答案】a=-2等（a取小于-1的一个数即可）
【解析】 当a=-2时，|a|=2＞1，
-2＜1，
“若，则”是假命题的反例可以是-2.
故答案为：-2
13．纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为 ．
【答案】60°
【解析】∵△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°-∠A-∠B＝180°-65°-75°＝40°，
∵∠1＝20°，
∴∠CED＝＝80°，
在△CDE中，∠CDE＝180°-∠C-∠CED＝180°-40°-80°＝60°，
∴∠2＝180°-2∠CDE＝180°-2×60°＝60°，
故答案为60°．
14．如图， 的三边 的长分别为 ，其三条角平分线交于点O，则 = .
【答案】4：5：6
【解析】过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（ AB OD）：（ BC OF）：（ AC OE）
=AB：BC：AC=40：50：60= .
故答案为： .
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 ．
【答案】3
【解析】 BE⊥AD，CF⊥AD，∠BEA=∠AFC= 90°，∠BAE+∠ABE= 90°，
∠BAC=90°，∠BAE+∠FAC= 90°，∠FAC=∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
∠BEA=∠AFC，∠ABE=∠FAC，AB= AC，
△ABE≌△CAF (AAS)，AF= BE，AE= CF，
BE=4， CF= 1，AF= BE=4，AE= CF= 1，EF= AF- AE=4-1=3，
故答案为： 3.
16．如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝ ．
【答案】40°
【解析】∵平分，平分，
∴，，
又∵，，
∴
∴
∴
如图示，过P作于点，于点，延长线于点，
∵平分，平分，
∴，，
即
∴平分，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：40°．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知中，，，请用尺规完成下列作图只保留作图痕迹，不要求写出作法：
（1）求作的角平分线；
（2）求作，使，．
【答案】（1）解：如图，线段即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
18．如图，在中，是边上的高，是的平分线，求的度数．
【答案】解：在中，，
，
是的平分线，
，
在直角中，，
．
19．已知，如图，点、、、在同一直线上，，，．
（1）求证：≌；
（2）当，时，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
，
．
20．如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，，
，
即．
（2）解：，
，
即．
，，
≌，
．
21．在 ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点．
（1）如图1，若 ＝1cm2，求 BEF的面积．
（2）如图2，若 ＝1cm2，则 ＝ ．
【答案】（1）解： ， ， 分别为边 ， ， 的中点，
， ， ， 的面积相等．
与 的面积相等．
．
．
（2）
【解析】（2） 为边 的中点，
．
， ， 分别为边 ， ， 的中点，
， ， ， 的面积相等．
故答案为： ．
22．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC.
（1）求证：AE＝AD；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数.
【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC
即：∠BAE＝∠CAD
在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD；
（2）解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，
∴∠BDC＝∠BAC＝50°.
23．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
【答案】（1）解：如图，∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
（2）解：∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°
（3）解：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=180×5+180=1080°．
24．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°．求∠DAE的度数．
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系．
（3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变，说明理由．
【答案】（1）解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD ∠BAC＝40°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；
（2）解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD ∠BAC，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE ∠BAC﹣（90°﹣∠C） （180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C ∠C ∠B，
即∠DAE ∠C ∠B；
（3）解：不变，
理由：连接BC交AD于F，
过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
∵AE是∠BAC的角平分线，AM是高，
∴∠EAM （∠ACB﹣∠ABC），
同理，∠ADN （∠BCD﹣∠CBD），
∵∠AFM＝∠DFN，∠AMF＝∠DNF＝90°，
∴∠MAD＝∠ADN，
∴∠DAE＝∠EAM+∠MAD＝∠EAM+∠ADN （∠ACB﹣∠ABC） （∠BCD﹣∠CBD） （∠ACD﹣∠ABD）．
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