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浙教版2024-2025学年八年级上数学第1章三角形的初步知识 培优测试卷3
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．10
2．如图，已知，要说明，需从下列条件中选一个，错误的是（ ）
A． B． C． D．
（第2题） （第3题） （第4题） （第6题）
3．将一副三角板如图放置，使点 在 上， ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（ ）
A．70° B．68° C．65° D．60°
5．能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，OD平分于点是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．2.8 B．3 C．4.2 D．5
7．如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（ ）
A． B．2 C． D．
（第8题） （第9题） （第10题）
9．如图，AD是△ ABC中∠ BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2， AB＝4，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
10．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在中，，，，则的度数是
（第11题） （第12题） （第13题） （第14题） （第16题）
12．如图：为的角平分线，且，，则和的面积之比为 ．
13．如图，≌，点与点，点与点为对应顶点，交于点，若，，则
14．如图，在中，，平分，若，，则 ．
15．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是 .
16．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点G，，若，，则的面积是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：、，线段．求作：，使，，．
18．已知：如图点C，E，B，F在同一直线上，，，.求证：.
证明：∵ （已知）
∴ （两直线平行内错角相等）
∵（已知）
∴ （等式的性质）
即
在与中，
∵
∴（ ）
∴ （全等三角形对应角相等）
∴（ ）
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，若∠BEC＝75°，求∠DAC的度数．
20．如图，点B、C、D在同一条直线上，，，，．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
21．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，AD、CE交于点H，AE＝CE.
（1）求证：；
（2）若BE=8，CH=3，求线段AB的长.
22．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF.
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数.
23．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝ ；（用α的代数式表示，请直接写出结论）
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
24．如图
（1）如图1，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的AM、 AN上，且AB=AC， CF⊥AE于点F， BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、OCAF的外角，已知AB=AC， 且∠1=∠2=∠BAC．
求证：△ABE≌ △CAF；
（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AB>BC． 点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为27，直接写出△ACF与△BDE的面积之和．
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浙教版2024-2025学年八年级上数学第1章三角形的初步知识 培优测试卷3
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】 设三角形的第三边为x.
由题意：5-3＜x＜5+3，
即2＜x＜8，只有3符合
故答案为：A.
2．如图，已知，要说明，需从下列条件中选一个，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（ASA）；不符合题意；
B、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（AAS）；不符合题意；
C、在△ABD和△ACD中，DB=DC，AD=AD，∠1=∠2，用边边角不能判断这两个三角形全等；符合题意；
D、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）；不符合题意.
故答案为：C.
3．将一副三角板如图放置，使点 在 上， ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵Rt△ABC中，∠C=45°，
∴∠ABC=45°，
∵BC∥DE，∠D=30°，
∴∠DBC=30°，
∴∠ABD=45°-30°=15°，
故选：B．
4．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（ ）
A．70° B．68° C．65° D．60°
【答案】A
【解析】∵△ABC≌△AED，
∴∠C=∠D，
∴∠CED=∠1=40°，
∵△ABC≌△AED，
∴∠B=∠AED，AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠AED=∠AEB，∴∠AED=（180°-∠CED）÷2=70°.
故答案为：A.
5．能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、是锐角，不符合题意；
B、与是两个锐角，不符合题意；
C、是锐角，不符合题意；
D、是钝角，符合题意.
故答案为：D.
6．如图，OD平分于点是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．2.8 B．3 C．4.2 D．5
【答案】A
【解析】如图所示：过点D作DH⊥OB于H，
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB，
∴DE＝DH＝3，
∵F是射线OB上的任一点，根据垂线的性质：垂线段最短，
∴DF≥3，
∴DF的长度不可能是2.8，
故答案为：A.
7．如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，连接AP，由作图可知，所画直线垂直平分线段AC，
∴PA＝PC，
∴PA+PB＝PC+PB＝BC，
故答案为：D．
8．如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】如图：过点A作AD⊥BC于D，
由网格特征和勾股定理可得，，
==
S△ABC＝BC AD，
，
∴AD＝，
故答案为：C.
9．如图，AD是△ ABC中∠ BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2， AB＝4，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【答案】A
【解析】S△ACD=S△ABC-S△ABD=7-×4×2=3；
如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴DE=DF=2．
∵S△ACD=3，
∴×AC×2=3，
解得AC=3．
故答案为：A.
10．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解析】∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPC=180°-60°=120°；
∴①正确；
∵BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB， 和相交于点，
∴AP平分∠BAC；
∴②正确；
如果AP=PC，则∠PAC=∠PCA，
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∴△ABC是等边三角形，
与题意△ABC是任意三角形不符，
∴③不正确；
过点P分别作PE⊥AC于点E，作PF⊥AB于点F，作PH⊥BC于点H，
∴∠AFP=∠AGP=90°，∠BAC=60°，
∴∠FPG=120°，
∵∠DPE=∠BPC=120°，
∴∠DPF=∠EPG，
又∵AP平分∠BAC，
∴PE=PF，
∴△PEG≌△PFD，
∴FD=EG，
在Rt△BPF和Rt△BPH中，
∵BP=BP，PF=PH，
∴Rt△BPF≌Rt△BPH，
∴BF=BH，
同理可证：CH=CE，
∵BF=BD+FD，
∴BF=BD+EG，
∵CG=CE-EG，
∴BC=BH+CH=BD+EG+CE-EG，
∴BD+CE=BC；
∴④正确；
∵S△PBA=，S△PCA=，PF=PG，
∴S△PBA∶S△PCA=∶，
∴S△PBA∶S△PCA=AB∶AC.
∴⑤正确。
综上，正确的有：①②④⑤共4个。
故答案为：B。
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在中，，，，则的度数是
【答案】
【解析】∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
∵∠A=20°，∠2=30°，
∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC-∠1）+（∠ACB-∠2）=（∠ABC+∠ACB）-（∠1+∠2）=120°-（20°+30°）=70°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-70°=110°，
故答案为：110°.
12．如图：为的角平分线，且，，则和的面积之比为 ．
【答案】3：5
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，如图所示：
∵AD是△ABC的角平分线，∴DE=DF，
∵AB=3，AC=5，∴，
故答案为：3：5.
13．如图，≌，点与点，点与点为对应顶点，交于点，若，，则
【答案】
【解析】
解：∵△ABC≌△
∴∠ACB=∠C，∠A=∠
∴∠ACB-∠AC=∠C-∠AC
∴∠CB=∠=35°
∵∠DC=90°
∴∠=180°-∠DC-∠=180°-90°-35°=55°
∴∠A=55° 故答案为：55
14．如图，在中，，平分，若，，则 ．
【答案】40°
【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，
在△ADC中，∠2=30°，∠ADC=90°，
∴∠C=180°-∠2-∠ADC=180°-30°-90°=60°，
∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1=2×40°=80°，
在△ABC中，∠C=60°，∠BAC=80°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-60°-80°=40°．
故答案为：40°.
15．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是 .
【答案】9＜AB＜19
【解析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE.
在△ADC和△EDB中，
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，CD=BD，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE（全等三角形的对应边相等）.
∵AC=5，AD=7，∴BE=5，AE=14.
在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE，∴AB边的取值范围是：9＜AB＜19.
故答案为9＜AB＜19.
16．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点G，，若，，则的面积是 .
【答案】
【解析】如图所示：
连接DE.
∵AD⊥BC，CE为AB边的中线，
∴AE=DE=BE.
又∵CD=5=AE，
∴AB=2AE=10.
∵BD=8，
∴Rt△ABD中，AD=6.
∴.
∴.
∵BD：CD=8：5，
∴.
∵DE=AE=DC，DG⊥EC，
∴GE=GC，
∴.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：、，线段．求作：，使，，．
【答案】解：如图，即为所求．
18．已知：如图点C，E，B，F在同一直线上，，，.求证：.
证明：∵ ▲ （已知）
∴ ▲ （两直线平行内错角相等）
∵（已知）
∴ ▲ ▲ （等式的性质）
即
在与中，
∵
∴（ ）
∴ ▲ （全等三角形对应角相等）
∴（ ）
【答案】AC∥DF；F；BE，BE；AC=DF；SAS；∠ABC=∠DEF；内错角相等，两直线平行
【解析】证明：∵（已知）∴（两直线平行内错角相等）
∵（已知）
∴ BE BE（等式的性质）
即
在与中，
∵
∴（SAS）
∴（全等三角形对应角相等）
∴（内错角相等，两直线平行）
故答案为：AC∥DF；F；BE，BE；AC=DF；SAS；∠ABC=∠DEF；内错角相等，两直线平行.
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，若∠BEC＝75°，求∠DAC的度数．
【答案】解：∵BE平分∠ABC，，
∴
∵，
∴，
∵AD为BC边上的高，∴，
∴．
20．如图，点B、C、D在同一条直线上，，，，．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
21．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，AD、CE交于点H，AE＝CE.
（1）求证：；
（2）若BE=8，CH=3，求线段AB的长.
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠EAH+∠EHA=90°，∠EAH+∠B=90°，
∴∠EHA=∠B，
在△BEC和△HEA中，
，
∴（AAS）.
（2）解：由（1）可知：，
∴BE=EH=8，
∵CH=3，
∴CE=AE=3+8=11，
∴AB=AE+BE=11+8=19.
22．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF.
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数.
【答案】（1）证明：∵在△AED和△CEF中
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠ACF，
∴CF∥AB；
（2）解：∵AC平分∠BCF，
∴∠ACB＝∠ACF，
∵∠A＝∠ACF，
∴∠A＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝50°，
∴2∠A＝130°，
∴∠A＝65°.
23．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝ ；（用α的代数式表示，请直接写出结论）
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
【答案】（1）2α﹣180°
（2）解：结论：∠BPC+∠BQC=180°．
理由：如图②中，
∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB）
（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
（180°+∠A）
=90°∠A，
∴∠Q=180°﹣（90°∠A）=90°∠A，
∵∠BPC=90°∠A，
∴∠BPC+∠BQC=180°．
（3）解：延长CB至F，
∵BQ为△ABC的外角∠MBC的角平分线，
∴BE是△ABC的外角∠ABF的角平分线，
∴∠ABF=2∠EBF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ECB，
∵∠EBF=∠ECB+∠E，
∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E，
即∠ABF=∠ACB+2∠E，
又∵∠ABF=∠ACB+∠A，
∴∠A=2∠E，
∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ
∠ACB∠NCB
=90°，
如果△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠ECQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠ECQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=30°，则∠A=2∠E=60°；
④∠E=2∠Q，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=60°，则∠A=2∠E=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
【解析】（1）如图①中，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）
=180°（∠ABC+∠ACB）
=180°（180°﹣∠A），
=90°∠A，
∵∠BPC=α，
∴∠A=2α﹣180°．
故答案为2α﹣180°．
24．如图
（1）如图1，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的AM、 AN上，且AB=AC， CF⊥AE于点F， BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、OCAF的外角，已知AB=AC， 且∠1=∠2=∠BAC．
求证：△ABE≌ △CAF；
（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AB>BC． 点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为27，直接写出△ACF与△BDE的面积之和．
【答案】（1）证明：∵CF⊥AE， BD⊥AE， ∠MAN=90°，
∴∠BDA=∠AFC=90° ，
∴∠ABD+∠BAD= =90°，∠ABD+∠CAF=90° ，
∴∠ABD=∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌△CAF （AAS）；
（2）证明：∵∠1=∠2=∠BAC， ∠1=∠BAE+∠ABE，
∠BAC=∠BAE+∠CAF， ∠2=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，在△ABE和△CAF中，
∴△ABE≌△CAF （ASA）
（3）解：△ACF与△BDE的面积之和是9
【解析】（3）∵△ABC的面积为27，CD=2BD
∴
由（2）可得△ABE≌△CAF
∴
故答案为：9
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