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6.3反比例函数的应用 提升练习
本专题主要包括：反比例函数系数k的几何意义、反比例函数与一次函数问题、反比例函数的实际应用、反比例函数的综合（难点）.
一．反比例函数系数k的几何意义
1．（2024春 伊川县期中）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的面积为3的是
A． B．
C． D．
2．（2024春 宜阳县期中）点是反比例函数上一点，过点分别作轴、轴的垂线，点、分别为垂足，则四边形的面积为
A．4 B．8 C．16 D．2
3．（2024春 兰陵县期中）如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象经过矩形的对称中心，与边交于点，且，连接，，，若的面积为3，则的值为
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2024 雨花区一模）如图，、两点分别在函数 和的图象上，线段轴，点在轴上，则的面积为
A．3 B．4 C．6 D．9
5．（2024春 东光县期中）双曲线和的图象如图所示，点是上一点，分别过点作轴，轴，垂足分别为点，点，与交于点，若的面积为2，则的值
A．4 B． C．2 D．
6．（2024春 德惠市期中）如图，在中，轴，点、在反比例函数的图象上，若的面积是8，则的值是
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2024春 仁寿县期中）若反比例函数图象上有一点，过作垂直轴于，为坐标原点，则的面积是 ．
8．（2024 沛县校级一模）如图，，是反比例函数图象上的两点，连接，，过点作轴于点，交于点，若，的面积为2，点的坐标为，则的值为 ．
9．（2024春 朝阳区期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴，点、分别在函数和的图象上．若的面积为5，且，则的值为 ．
10．（2024春 馆陶县期中）如图，正方形的顶点，在轴上，点，正方形的中心为点，点，，，分别在，，，边上，且四边形是正方形．已知反比例函数的图象经过点，．
（1）的值为 ；
（2）图中阴影部分的面积是 ．
11．（2024春 亭湖区校级期中）如图，在反比例函数的图象上有，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，则 ．
12．（2024 禹州市一模）如图，反比例函数的图象过和两点．
（1）求的值．
（2）连接，过点作，交轴于点，连接．求的面积．
13．（2024 抚州模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为．
（1）求的值．
（2）设点在反比例函数图象上，连接，，若的面积是菱形面积的，求点的坐标．
14．（2024春 工业园区校级期中）如图所示，点是反比例函数图象上的一点，轴于点，点是反比例函数图象上的一个动点，且．
（1）直接写出不等式中的范围 ．
（2）求点的坐标．
15．（2024春 伊川县期中）如图，点、分别在反比例函数和的图象上，四边形为平行四边形．
（1） ； ；点的坐标为 ；
（2）求面积；
（3）将平行四边形沿轴向上平移，使点落在反比例函数的图象上的点，则图中两平行四边形重叠的阴影部分的面积为 ．
二．反比例函数与一次函数问题
1．（2024春 东安县期中）如图，直线与反比例函数的图象交于点，，点，的横坐标分别为1，3，则 ．
A．3 B．4 C．2 D．8
2．（2024春 沈丘县期中）如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于、两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值是
A．10 B．11 C．12 D．13
3．（2024 兴庆区校级一模）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内交于点，且点的横坐标为2，当时，自变量的取值范围是
A． B． C．或 D．或
4．（2024 荔湾区一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．则关于的不等式的解集是
A．或 B．或 C．或 D．或
5．（2024 德阳二模）如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是
A．反比例函数的解析式是 B．一次函数的解析式为
C．当时，最大值为1 D．若，则
6．（2024春 江北区期中）已知反比例函数的图象与函数的图象没有交点．若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是
A． B． C． D．
7．（2024 长沙模拟）图中分别为反比例函数与一次函数的图象，已知交点坐标，，直接写出不等式的解： ．
8．（2024 雁塔区三模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，则的值为 ．
9．（2024春 周口期中）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象分别交于，两点，是线段的中点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）直接写出当取什么值时，．
10．（2024 罗庄区一模）如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象交于，两点，与轴交于点．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，且，求点的坐标．
（3）直接写出的解集．
11．（2024 老河口市一模）如图，一次函数与反比例函数为常数，的图象相交于，两点．
（1）求，，的值；
（2）点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，当时，直接写出的取值范围．
三．反比例函数的实际应用
1．（2023秋 赣州期末）下列两个变量成反比例函数关系的是
A．圆的面积与它的半径之间的关系
B．电压一定时，电流与电阻之间的关系
C．速度一定时，路程与时间之间的关系
D．在等腰三角形中，顶角与底角之间的关系
2．（2023秋 宝塔区校级期末）某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地做花面，设这个矩形相邻两边长分别为和，那么关于的函数表达式为
A． B． C． D．
3．（2023秋 长沙县期末）古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力阻力臂动力动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：关于动力臂（单位：的函数表达式正确的是
A． B． C． D．
4．（2024春 邗江区期中）糖固体溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图：轴表示糖水质量，轴表示含糖浓度（含糖浓度：瓶中糖固体质量与糖水质量的比值），其中描述甲、丁的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2024 凉州区一模）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为和，若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段最少需要时间为
A．分 B．40分 C．60分 D．分
6．（2023秋 郑州期末）科技承载梦想，创新始于少年，某校科技社团的学生制作了一艘轮船模型，实验过程中他们发现在某段航行过程中轮船模型的牵引力是其速度的反比例函数，其图象如图所示，下列说法不正确的是
A．该段航行过程中，随的增大而减小 B．时，
C．该段航行过程中，函数表达式为 D．时，
7．（2024 沧州一模）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流（A）与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是
A．当时，
B．与的函数关系式是
C．当时，
D．当时，的取值范围是
8．（2024 广东一模）已知近视眼的度数（度与镜片焦距满足的关系为，则当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为 ．
9．（2023秋 常德期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示．若蓄电池电流为时，电阻为 ．
10．（2023秋 钢城区期末）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系，当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则水温下降过程中，与的函数关系式满足 ．
11．（2023秋 渝中区期末）在对某物体做功一定的情况下，力（牛与此物体在力的方向上移动的距离（米成反比例函数关系，其图象如图所示．当米时，的取值范围是 ．
12．（2023秋 路桥区期末）电磁波的波长（单位：会随着电磁波的频率（单位：的变化而变化．如表是它们的部分对应值：
频率 10 15 20 25
波长 30 20 15 12
（1）在一次函数、二次函数及反比例函数中，哪个函数能反映波长与频率的变化规律？并求出与的函数解析式；
（2）当电磁波的频率不超过时，波长至少是多少米？
13．（2023秋 如皋市期末）某煤气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形煤气储存室，该储存室的底面积为 ，深度为 ．
（1）求与的函数关系式；
（2）公司决定把储存室的底面积定为，施工队施工时应该向地下掘进多深？
14．（2024春 虎丘区校级期中）为了预防春季流行性感冒，学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧
时室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物燃烧后，与成反比例，如图所示．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧后与的函数关系式为 ，自变量取值范围是 ；
（2）当空气中每立方米的含药量低于0.3毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能回到教室？
15．（2024春 工业园区校级期中）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，与之间有如表关系：
厘米 1 2 3 5
米 14 7 2.8
请根据表中的信息解决下列问题：
（1）直接写出与之间的函数表达式是 ；
（2）当某人两腿迈出的步长之差为0.28厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为 米；
（3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于56米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？
16．（2024 江海区一模）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）
（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
17．（2024春 镇海区校级期中）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 如图，果农计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形种植基地，边的长不超过墙的长度．设，．
素材2 现有长的塑料薄膜可用于覆盖在篱笆的外围．（其中薄膜宽度与篱笆高度相同，薄膜与篱笆的间隙忽略不计）
任务1 求关于的函数表达式；
任务2 若塑料薄膜用了，求的长；
任务3 若、都是整数，请设计一个塑料薄膜用料最省的围建方案．
18．（2024春 拱墅区校级期中）在实验课上，小明做了一个试验，如图1，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡，改变托盘与点的距离，记录容器中加人的水的质量，得到下表：
托盘与点的距离 30 25 20 15 10
容器与水的总质量 10 12 15 20 30
加入的水的质量 5 7 10 15 25
把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图2所示的关于的函数图象．
（1）请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象．
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式．
②求关于的函数表达式．
（3）如图1若在容器中加入的水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围．
19．（2024 拱墅区二模）小丽家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当时，求水温与开机时间（分的函数关系式；
（2）求图中的值；
（3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少？
四．反比例函数的综合
1．（2023春 槐荫区期末）如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且，连接、，则的面积是
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
2．（2022秋 泰山区期末）如图，点、都在双曲线上，点、分别是轴、轴上的动点，当四边形的周长取最小值时，所在直线的解析式是
A． B． C． D．
3．（2022秋 渠县校级期末）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：
①与的面积相等；
②四边形的面积不会发生变化；
③与始终相等；
④当点是的中点时，点一定是的中点．
其中一定正确的是
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
4．（2022秋 安化县期末）如图，、是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是
①；②；③若，则平分；④若，则
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
5．（2023秋 九台区期末）如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点在反比例函数的图象上．若点的坐标为，则的值为 ．
6．（2023春 灌云县期末）如图，等腰直角三角形位于第一象限，，直角顶点在直线上，其中点的横坐标为1，且两条直角边、分别平行于轴、轴，若双曲线与有交点，则的取值范围是 ．
7．（2022秋 平江县校级期末）如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于，，，两点，连接、，现有以下4个结论：①；②不等式的解集是；③；④．其中正确结论的序号是 ．（填上你认为正确的所有结论的序号）
8．（2022秋 同江市期末）如图所示，在轴的正半轴上依次截取，过、、、、分别作轴的垂线与反比例函数的图象交于点、、、、，并设△、△、△面积分别为、、，按此作法进行下去，则的值为 为正整数）．
9．（2023春 洛江区期末）如图，已知反比例函数的图象与直线将于交于、两点，直线交轴于点，点是轴正半轴上的一点，
（1）求反比例函数及直线的解析式；
（2）若，求点的坐标；
（3）若点的坐标为，点为轴上的一点，点为直线上的一点，是否存在点和点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2023春 浦东新区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点，直线分别与直线和双曲线交于点、．
（1）求和的值；
（2）当点在线段上时，如果，求的值；
（3）点是轴上一点，如果四边形是菱形，求点的坐标．
11．（2022秋 桃江县期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，且．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出的的取值范围；
（3）反比例函数图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
12．（2023春 龙口市期末）直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）观察图象当时，直接写出关于的不等式的解集；
（3）若点是轴上一动点，当的面积是6时，求出点的坐标．
13．（2022秋 清远期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，．反比例函数的图象分别交、于点、点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接、、，求的面积；
（3）是否存在轴上的一点，使得是不以点为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2022秋 武安市期末）如图，直线与双曲线在第一象限内交于，两点，已知，．
（1）求的值及直线的解析式．
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集．
（3）设点是线段上的一个动点，过点作轴于点，是轴上一点，当的面积为时，请直接写出此时点的坐标．
15．（2022秋 锦江区期末）如图1，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式及，两点的坐标；
（2）是轴上一点，是轴上一点，若以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点的坐标；
（3）如图2，反比例函数的图象上有，两点，点的横坐标为，点的横坐标与点的横坐标互为相反数，连接，，，．若的面积是的面积的3倍，求的值．
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6.3反比例函数的应用 提升练习
本专题主要包括：反比例函数系数k的几何意义、反比例函数与一次函数问题、反比例函数的实际应用、反比例函数的综合（难点）.
一．反比例函数系数k的几何意义
1．（2024春 伊川县期中）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的面积为3的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
【解析】．阴影面积，故符合题意；
．阴影面积，故不符合题意；
．阴影面积，故不符合题意；
．阴影面积，故不符合题意；
故选．
2．（2024春 宜阳县期中）点是反比例函数上一点，过点分别作轴、轴的垂线，点、分别为垂足，则四边形的面积为
A．4 B．8 C．16 D．2
【答案】
【分析】先根据反比例函数系数的几何意义求出的值，再根据图像进行求解四边形的面积即可．
【解析】由题可知，点是反比例函数上一点，
则．
故反比例函数为，
过点分别做轴、轴的垂线，点、分别为垂足，
则图象如下：
，
故四边形的面积为．故选．
3．（2024春 兰陵县期中）如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象经过矩形的对称中心，与边交于点，且，连接，，，若的面积为3，则的值为
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】
【分析】根据中心对称图形性质可知延长线必过点，由矩形性质可知，再依据，推导出面积比，从而可得值．
【解析】点是矩形的对称中心，延长线必过点，
，，，
，，
，
．故选．
4．（2024 雨花区一模）如图，、两点分别在函数 和的图象上，线段轴，点在轴上，则的面积为
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】
【分析】由轴，推的面积等于的面积，因为的面积为，根据已知求出面积．
【解析】连接、，
轴，的面积等于的面积，
的面积：，的面积为：3．故选．
5．（2024春 东光县期中）双曲线和的图象如图所示，点是上一点，分别过点作轴，轴，垂足分别为点，点，与交于点，若的面积为2，则的值
A．4 B． C．2 D．
【答案】
【分析】根据反比例函数值的几何意义求出三角形的面积即可得到值．
【解析】点在反比例函数的图象上，，
，，
点在上，丨丨，
反比例函数图象在第二象限，．故选．
6．（2024春 德惠市期中）如图，在中，轴，点、在反比例函数的图象上，若的面积是8，则的值是
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】
【分析】连接，根据平行四边形的性质得到的面积的面积，，于是得到结论．
【解析】连接，
四边形是平行四边形，的面积是8，
的面积的面积，，，
点、横坐标互为相反数，点、纵坐标也互为相反数，
又轴，，，
，，故选．
7．（2024春 仁寿县期中）若反比例函数图象上有一点，过作垂直轴于，为坐标原点，则的面积是 ．
【答案】9．
【分析】根据反比例函数值的几何意义解答即可．
【解析】如图，
，．
故答案为：9．
8．（2024 沛县校级一模）如图，，是反比例函数图象上的两点，连接，，过点作轴于点，交于点，若，的面积为2，点的坐标为，则的值为 ．
【答案】5．
【分析】先根据，的面积为2，求得的面积，再根据反比例函数中系数的几何意义求出值，进而得出反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求解值．
【解析】，的面积为2，
的面积为3，的面积为5，
，是双曲线上的两点，轴于点，
，则，，
将点代入中，得，
，故答案为：5．
9．（2024春 朝阳区期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴，点、分别在函数和的图象上．若的面积为5，且，则的值为 ．
【答案】．
【分析】连接、，利用平行线间的距离相等，即可求得，利用反比例函数系数的几何意义得出，，即可得出，即，与构成方程组，解方程组即可求解．
【解析】连接、，
的顶点在轴上，垂直于轴，
轴，，
点、分别在函数和的图象上，
，，
，①，
②，
②①得，即，故答案为：．
10．（2024春 馆陶县期中）如图，正方形的顶点，在轴上，点，正方形的中心为点，点，，，分别在，，，边上，且四边形是正方形．已知反比例函数的图象经过点，．
（1）的值为 ；
（2）图中阴影部分的面积是 ．
【答案】（1）8； （2）30．
【分析】（1）作，根据点坐标求出点坐标即可解答；
（2）证明，求出，，即可求出的面积，从而求出阴影面积．
【解析】（1）点，
，，，，
作，如图，
正方形的中心为点，
，，，，
，故答案为：8；
（2）把代入，，
，，
四边形是正方形，，
，
，，
，
图中阴影部分的面积为．故答案为：30．
11．（2024春 亭湖区校级期中）如图，在反比例函数的图象上有，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，则 ．
【答案】．
【分析】根据题意阴影矩形的一边长都为1，将面积为、、、，的矩形向左平移到下方，则有：，最后利用即可．
【解析】，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2024，
阴影矩形的一边长都为1，如图：轴，轴，轴，交于点，
将面积为、、、，的矩形向左平移到下方，则有：
，
当时，，即，
，
根据反比例函数值的几何意义得：，
．故答案为：．
12．（2024 禹州市一模）如图，反比例函数的图象过和两点．
（1）求的值．
（2）连接，过点作，交轴于点，连接．求的面积．
【分析】（1）将点坐标代入解析式求出值即可；
（2）根据题意先求出的解析式，继而得到长，根据三角形面积公式计算即可．
【解析】（1）反比例函数的图象过和两点．
，，
；
（2）由（1）可知，，
，
直线的解析式为，
，
直线的，
设直线的解析式为，把代入解析式得，
直线的解析式是，
令，则，
，
．
13．（2024 抚州模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为．
（1）求的值．
（2）设点在反比例函数图象上，连接，，若的面积是菱形面积的，求点的坐标．
【分析】（1）过点作轴的垂线，垂足为，由点的坐标，利用勾股定理可求出的长，利用菱形的性质可得出的长，可得，，三点共线，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出的值；
（2）根据的面积是菱形面积的，列方程解出即可．
【解析】（1）过点作轴的垂线，垂足为，则，如图1所示．
点的坐标为，
，，．
四边形为菱形，
，，
，，三点共线，
点坐标为．
点在反比例函数的图象上，
；
（2）由（1）知：反比例函数的关系式为，
设点的坐标为，
的面积是菱形面积的，
，
，
或2，
或．
14．（2024春 工业园区校级期中）如图所示，点是反比例函数图象上的一点，轴于点，点是反比例函数图象上的一个动点，且．
（1）直接写出不等式中的范围 ．
（2）求点的坐标．
【分析】（1）构造正比例函数，并作出该函数的图象，与反比例函数的图象交于点，，解方程组，求出点，点，然后结合函数的图象可求出不等式中的范围；
（3）先求出点，则，设点到的距离为，根据得，在根据点是反比例函数图象上的一个动点，分两种情况讨论如下：①当点在左侧时，点的横坐标为，进而可得点的坐标；②当点在右侧时，点的横坐标为，进而可得点的坐标；综上所述即可得出点的坐标．
【解析】（1）正比例函数，并作出该函数的图象，与反比例函数的图象交于点，，如图1所示：
解方程组，得，，
点，点，
由函数的图象可知：当或时，，
不等式中的范围是：或；
（3）点在反比例函数的图象上，
，
，
点的坐标为，
轴于点，
，
设点到的距离为，
，
，
，解得：，
点是反比例函数图象上的一个动点，
①当点在左侧时，点的横坐标为，
此时点的纵坐标为：，点的坐标为；
②当点在右侧时，点的横坐标为，
此时点的纵坐标为：，点的坐标为，如图2所示：
综上所述：点的坐标为或为．
15．（2024春 伊川县期中）如图，点、分别在反比例函数和的图象上，四边形为平行四边形．
（1） ； ；点的坐标为 ；
（2）求面积；
（3）将平行四边形沿轴向上平移，使点落在反比例函数的图象上的点，则图中两平行四边形重叠的阴影部分的面积为 ．
【分析】（1）把、分别在反比例函数和代入即可；
（2）根据平行四边形的面积公式计算即可；
（3）求出点坐标利用三角面积公式计算即可；
【解析】（1）把代入得，，
把代入得，，
、，
，
，，
故答案为：2，5，；
（2）面积，
（3）往上平移后为，设，
是的图象上的点，
，即，
平行四边形沿轴向上平移了个单位，
设的解析式为，代入，
得，即的解析式为，
如图：
当时，，则点，
到的距离，
重叠的阴影部分的面积为，故答案为：．
二．反比例函数与一次函数问题
1．（2024春 东安县期中）如图，直线与反比例函数的图象交于点，，点，的横坐标分别为1，3，则 ．
A．3 B．4 C．2 D．8
【答案】
【分析】由题意可知，，代入利用待定系数法即可求得，，从而得出，，直线为，然后利用即可求解．
【解析】由题意可知，，
把，分别代入得，解得，
，，，直线为，
设直线与轴的交点为，
令，求得，则，
，故选．
2．（2024春 沈丘县期中）如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于、两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值是
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】
【分析】根据题意可得，继而得到，求出值即可．
【解析】如图，连接，
轴，，
点在反比例函数图象上，
，解得．故选．
3．（2024 兴庆区校级一模）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内交于点，且点的横坐标为2，当时，自变量的取值范围是
A． B． C．或 D．或
【答案】
【分析】本题需先根据交点的坐标，再根据图象在上方的对应的函数值大即可求出的取值范围．
【解析】因为的横坐标为2，所以另一个交点的横坐标为，
从观察图象知，当时，或．故选．
4．（2024 荔湾区一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．则关于的不等式的解集是
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】
【分析】依据题意，直接利用图象法由一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的自变量即为所求，进而得解．
【解析】由题意，点，，
不等式的解集是一次函数的图象在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围．
结合图象，或．故选．
5．（2024 德阳二模）如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是
A．反比例函数的解析式是 B．一次函数的解析式为
C．当时，最大值为1 D．若，则
【答案】
【分析】求得反比例函数解析式即可判断；求得直线的解析式即可判断；根据交点坐标结合图象即可判断、．
【解析】、反比例函数的图象过点，
，反比例函数的解析式是，故结论错误；
、把代入得，，
反比例函数和一次函数的图象另一个交点为，
把点，分别代入，得，解得，
一次函数解析式为，故结论错误；
、由图象可知当时，，故结论错误；
、由函数图象知，双曲线在直线下方时的范围是，
若，则，故结论正确；
故选．
6．（2024春 江北区期中）已知反比例函数的图象与函数的图象没有交点．若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先根据两个函数没有交点，确定的符号，再根据函数的增减性，进行判断即可．
【解析】函数经过一、三象限，反比例函数的图象与函数的图象没有交点，
反比例函数的图象在二、四象限，
、、在这个反比例函数的图象上，
点、在第二象限，点在第四象限，
，，，，
，故选．
7．（2024 长沙模拟）图中分别为反比例函数与一次函数的图象，已知交点坐标，，直接写出不等式的解： ．
【答案】或．
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特点求出的值，进而可得出结论．
【解析】点，在反比例函数的图象上，
，解得，
，
由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方．
故答案为：或．
8．（2024 雁塔区三模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，则的值为 ．
【答案】．
【分析】由点为反比例函数与一次函数的交点，可得出、，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．
【解析】反比例函数与一次函数的图象交于点，
，，，，
．故答案为．
9．（2024春 周口期中）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象分别交于，两点，是线段的中点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）直接写出当取什么值时，．
【分析】（1）由过，得，得反比例函数的表达式为；由是线段的中点，得，将，代入，即可得一次函数表达式为；
（2）由，得，即可得的面积的面积的面积；
（3）观察即可得当或时，．
【解析】（1）由过，得，
得反比例函数的表达式为；
由是线段的中点，得，
将，代入，
得一次函数表达式为；
（2）由，得，
得的面积的面积的面积；
（3）当或时，．
10．（2024 罗庄区一模）如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象交于，两点，与轴交于点．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，且，求点的坐标．
（3）直接写出的解集．
【分析】（1）由一次函数解析式可求出点的坐标，再将点代入反比例解析式即可；
（2）首先求出一次函数与反比例函数的交点的坐标，设，再根据，即可列出方程解决问题；
（3）直接根据图象可得不等式的解集．
【解析】（1）将点代入，得，
，
将代入，得，
反比例函数的表达式为；
（2）联立两个函数的表达式得，得或，
，
当时，得，
，
设，
，
，解得或，
或；
（3）由图象可知：当或时，，
的解集为：或．
11．（2024 老河口市一模）如图，一次函数与反比例函数为常数，的图象相交于，两点．
（1）求，，的值；
（2）点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，当时，直接写出的取值范围．
【分析】（1）利用点、在上求、，进而代入反比例函数为常数，求得；
（2）观察图象即可求解．
【解析】（1）一次函数的图象过 ，两点，
，，解得，，
，，
把的坐标代入为常数，，得，；
（2）点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，当时，或．
三．反比例函数的实际应用
1．（2023秋 赣州期末）下列两个变量成反比例函数关系的是
A．圆的面积与它的半径之间的关系
B．电压一定时，电流与电阻之间的关系
C．速度一定时，路程与时间之间的关系
D．在等腰三角形中，顶角与底角之间的关系
【答案】
【分析】根据反比例函数的定义即可判断．
【解析】（A），不是反比例函数关系，故不符合题意；
（B）由于，是反比例函数关系，故符合题意；
（C）由于，不是反比例含关系，故不符合题意；
（D）由于，所以，不是反比例函数关系，故不符合题意；
故选．
2．（2023秋 宝塔区校级期末）某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地做花面，设这个矩形相邻两边长分别为和，那么关于的函数表达式为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】直接利用矩形面积求法，进而得出关于的函数表达式．
【解析】某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地做花面，设这个矩形相邻两边长分别为和，关于的函数表达式为：，即．故选．
3．（2023秋 长沙县期末）古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力阻力臂动力动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：关于动力臂（单位：的函数表达式正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据所给公式列式，整理即可得答案．
【解析】阻力阻力臂动力动力臂，
，整理得：，故选．
4．（2024春 邗江区期中）糖固体溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图：轴表示糖水质量，轴表示含糖浓度（含糖浓度：瓶中糖固体质量与糖水质量的比值），其中描述甲、丁的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】
【分析】根据题意可知，的值即为糖水中含糖固体质量，再根据图象即可确定乙瓶糖水中含糖固体质量最多，丙瓶糖水中含糖固体质量最少，甲、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同．
【解析】根据题意，可知的值即为糖水中含糖固体质量，
描述甲、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
甲、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同，
点乙在反比例函数图象上面，点丙在反比例函数图象下面，
乙瓶的的值最大，即糖水中含糖固体质量最多，丙瓶的的值最小，即糖水中含糖固体质量最少，
故选．
5．（2024 凉州区一模）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为和，若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段最少需要时间为
A．分 B．40分 C．60分 D．分
【答案】
【分析】把点代入，求得的值，再把点代入求出的解析式中，求得的值，然后把代入，求出的值即可．
【解析】由题意得，函数经过点，把代入，得，则解析式为，
再把代入，得；把代入，得，
小时分钟，
则汽车通过该路段最少需要40分钟；故选．
6．（2023秋 郑州期末）科技承载梦想，创新始于少年，某校科技社团的学生制作了一艘轮船模型，实验过程中他们发现在某段航行过程中轮船模型的牵引力是其速度的反比例函数，其图象如图所示，下列说法不正确的是
A．该段航行过程中，随的增大而减小 B．时，
C．该段航行过程中，函数表达式为 D．时，
【答案】
【分析】根据图像和反比例函数的性质，逐项判断各项的正误即可．
【解析】、根据图像可知，是定值，随的增大而减小，选项正确，不符合题意；
、当时，，选项错误，符合题意；
、根据图表信息，函数表达式为，选项正确，不符合题意；
、当时，，选项正确，不符合题意．
故选．
7．（2024 沧州一模）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流（A）与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是
A．当时，
B．与的函数关系式是
C．当时，
D．当时，的取值范围是
【答案】
【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
【解析】设与的函数关系式是，
该图象经过点，，，
与的函数关系式是，故选项不符合题意；
当时，，当时，，
反比例函数随的增大而减小，
当时，，当时，，故选项，不符合题意；
时，，当时，，
当时，的取值范围是，故符合题意；
故选．
8．（2024 广东一模）已知近视眼的度数（度与镜片焦距满足的关系为，则当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为 ．
【答案】0.5．
【分析】令，求得的值即可．
【解析】令，即：，解得：，
故200度近视眼镜镜片的焦距为0.5米．故答案为：0.5．
9．（2023秋 常德期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示．若蓄电池电流为时，电阻为 ．
【答案】12．
【分析】根据函数图象可用电阻表示电流的函数解析式为，再把代入可得的值，进而可得函数解析式．
【解析】设用电阻表示电流的函数解析式为，
过，，，
当蓄电池电流为时，，解得：．故答案为：12．
10．（2023秋 钢城区期末）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系，当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则水温下降过程中，与的函数关系式满足 ．
【答案】．
【分析】根据题意和图象，可以求出水温下降过程中，与的函数关系式．
【解析】由题意可，
升温过程中，当时，所用的时间，
设水温下降过程中，与的函数关系式满足，
点在该函数图象上，，解得，即，故答案为：．
11．（2023秋 渝中区期末）在对某物体做功一定的情况下，力（牛与此物体在力的方向上移动的距离（米成反比例函数关系，其图象如图所示．当米时，的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】设函数关系为，将代入上式得：解得，进而求解．
【解析】由题意，设函数关系为，
将代入上式得：解得，则函数的表达式为，
当时，，故答案为：．
12．（2023秋 路桥区期末）电磁波的波长（单位：会随着电磁波的频率（单位：的变化而变化．如表是它们的部分对应值：
频率 10 15 20 25
波长 30 20 15 12
（1）在一次函数、二次函数及反比例函数中，哪个函数能反映波长与频率的变化规律？并求出与的函数解析式；
（2）当电磁波的频率不超过时，波长至少是多少米？
【分析】（1）设解析式为 ，用待定系数法求解即可；
（2）把值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长．
【解析】（1）根据表中数据可知，是定值，
反比例函数能反映波长与频率的变化规律，
设波长关于频率的函数解析式为 ，
把点代入上式中得：，
解得，
与的函数解析式为；
（2），
，
波长至少是6米．
13．（2023秋 如皋市期末）某煤气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形煤气储存室，该储存室的底面积为 ，深度为 ．
（1）求与的函数关系式；
（2）公司决定把储存室的底面积定为，施工队施工时应该向地下掘进多深？
【分析】（1）根据“底面积深度容积”可求出与的函数关系式；
（2）将，代入（1）中的函数关系式，即可求出答案．
【解析】（1）由题意，得，
与的函数关系式为：；
（2）当时，，
解得，
答：施工队施工时应该向地下掘进．
14．（2024春 虎丘区校级期中）为了预防春季流行性感冒，学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧
时室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物燃烧后，与成反比例，如图所示．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧后与的函数关系式为 ，自变量取值范围是 ；
（2）当空气中每立方米的含药量低于0.3毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能回到教室？
【分析】（1）待定系数法求出正比例函数解析式并写出自变量取值范围即可；
（2）先求出反比例函数解析式，将代入解析式求出即可．
【解析】（1）正比例函数过，设正比例函数解析式为，
，解得，
正比例函数解析式为：．
故答案为：，．
（2）点在反比例函数图象上，
反比例函数解析式为：，
当时，（分钟）．
答：从消毒开始，至少需要40分钟后，学生才能回到教室．
15．（2024春 工业园区校级期中）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，与之间有如表关系：
厘米 1 2 3 5
米 14 7 2.8
请根据表中的信息解决下列问题：
（1）直接写出与之间的函数表达式是 ；
（2）当某人两腿迈出的步长之差为0.28厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为 米；
（3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于56米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？
【分析】（1）设与之间的函数表达式为，解方程即可得到结论；
（2）把代入反比例函数的解析式即可得到结论；
（3）根据题意列不等式即可得到结论．
【解析】（1）设与之间的函数表达式为，
，
，
与之间的函数表达式为，故答案为：；
（2）当时，（米，
当某人两腿迈出的步长之差为0.28厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为50米；
故答案为：50；
（3）当时，即，
，
某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于56米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.25厘米．
16．（2024 江海区一模）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）
（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
【分析】（1）先用待定系数法分别求出和的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；
（2）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．
【解析】（1）设线段所在的直线的解析式为，
把代入得，，
．
设、所在双曲线的解析式为，
把代入得，，
当时，，
当时，，
第30分钟注意力更集中．
（2）令，，
令，，
，
经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
17．（2024春 镇海区校级期中）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 如图，果农计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形种植基地，边的长不超过墙的长度．设，．
素材2 现有长的塑料薄膜可用于覆盖在篱笆的外围．（其中薄膜宽度与篱笆高度相同，薄膜与篱笆的间隙忽略不计）
任务1 求关于的函数表达式；
任务2 若塑料薄膜用了，求的长；
任务3 若、都是整数，请设计一个塑料薄膜用料最省的围建方案．
【分析】任务一：根据矩形的面积公式即可作答；
任务二：根据篱笆的周长列出关于的方程式即可，然后再检验；
任务三：根据已知条件找到符合条件的值，再进行比较即可．
【解析】任务一：，
，
故关于的函数表达式为．
任务二：，
即，
解得：，，
经检验，是原分式方程的解，
当，，不符合题意，舍去，
，，
故的长度为．
任务三：、都是整数，且，
可以为20、24、25、30、50、60、75、150、300，
又，即，
可以为20、24、25、30，
共有四种围建方案，
方案一：，，此时塑料薄膜用料为，
方案一：，，此时塑料薄膜用料为，
方案一：，，此时塑料薄膜用料为，
方案一：，，此时塑料薄膜用料为，
塑料薄膜用料最省的围建方案为，．
18．（2024春 拱墅区校级期中）在实验课上，小明做了一个试验，如图1，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡，改变托盘与点的距离，记录容器中加人的水的质量，得到下表：
托盘与点的距离 30 25 20 15 10
容器与水的总质量 10 12 15 20 30
加入的水的质量 5 7 10 15 25
把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图2所示的关于的函数图象．
（1）请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象．
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式．
②求关于的函数表达式．
（3）如图1若在容器中加入的水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围．
【分析】（1）将各点用光滑的曲线连接起来即可；
（2）①根据函数图象和表格中的数据可知，是的反比例函数，利用待定系数法求解即可；
②根据表格中和之间的关系作答即可；
（3）将关于的表达式代入并解不等式即可．
【解析】（1）关于的函数图象如图所示：
（2）①根据函数图象和表格中的数据可知，是的反比例函数．
设求关于的函数表达式为，
将坐标代入，得，
解得，
关于的函数表达式为．
②根据表格中的数据可知，，
．
（3），，
，
．
19．（2024 拱墅区二模）小丽家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当时，求水温与开机时间（分的函数关系式；
（2）求图中的值；
（3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少？
【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可；
（2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值；
（3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可．
【解析】（1）当时，设水温与开机时间（分的函数关系为：，
依据题意，得，
解得：，
此函数解析式为：；
（2）当，设水温与开机时间（分的函数关系式为：，
依据题意，得：，
即，
故，
当时，，
解得：；
（3），
当时，，
答：小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为．
四．反比例函数的综合
1．（2023春 槐荫区期末）如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且，连接、，则的面积是
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】
【分析】分别过、两点作轴的垂线，构成直角梯形，根据，判断为直角梯形的中位线，得出，根据双曲线解析式确定、两点的坐标及、的长，根据求解．
【解析】分别过、两点作轴，轴，垂足为、，
，，
设，则，
故．
解法二：过，两点作轴的垂线，由求两个三角形全等，再求面积，故选．
2．（2022秋 泰山区期末）如图，点、都在双曲线上，点、分别是轴、轴上的动点，当四边形的周长取最小值时，所在直线的解析式是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先把点坐标和点坐标代入反比例函数进行中可确定点的坐标为、点坐标为，再作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，根据对称的性质得到点坐标为，点坐标为，分别交轴、轴于点、点，根据两点之间线段最短得此时四边形的周长最小，然后利用待定系数法确定的解析式．
【解析】分别把点、代入双曲线得，，则点的坐标为、点坐标为，
作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，所以点坐标为，点坐标为，
连接分别交轴、轴于点、点，此时四边形的周长最小，
设直线的解析式为，
把，分别代入，解得，
所以直线的解析式为．故选．
3．（2022秋 渠县校级期末）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：
①与的面积相等；
②四边形的面积不会发生变化；
③与始终相等；
④当点是的中点时，点一定是的中点．
其中一定正确的是
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】
【分析】本题考查的是反比例函数中的几何意义，无论如何变化，只要知道过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是个恒等值即易解题．
【解析】由反比例函数系数的几何意义判断各结论：
①与的面积相等；正确，由于、在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为；
②四边形的面积不会发生变化；正确，由于矩形、三角形、三角形为定值，则四边形的面积不会发生变化；
③与始终相等；错误，不一定，只有当四边形为正方形时满足；
④连接，点是的中点，
则和的面积相等，
的面积的面积，与的面积相等，
与的面积相等，
和面积相等，
点一定是的中点．
故一定正确的是①②④．故选．
4．（2022秋 安化县期末）如图，、是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是
①；②；③若，则平分；④若，则
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】由点是动点，进而判断出①错误，设出点的坐标，进而得出，，利用三角形面积公式计算即可判断出②正确，利用角平分线定理的逆定理判断出③正确，先求出矩形，进而得出，最后用三角形的面积公式即可得出结论．
【解析】点是动点，
与不一定相等，
与不一定全等，故①不正确；
设，
轴，，，
轴，，，，
，
，故②正确；
如图，过点作于，于，
，，
，，
，，
，，
是的平分线，故③正确；
如图1，延长交轴于，延长交轴于，
轴，轴，四边形是矩形，
点，在双曲线上，，
，，，
，，
，，
，故④错误；
正确的有②③，故选．
5．（2023秋 九台区期末）如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点在反比例函数的图象上．若点的坐标为，则的值为 ．
【答案】
【分析】由点的坐标为，矩形的边分别平行于坐标轴，可设点坐标为，点坐标为，则点坐标为，又矩形的对角线经过坐标原点，则直线的解析式可设为，然后把点，点分别代入得到，，易得，再利用点在反比例函数的图象上，根据反比例函数图象上点的坐标特点得到，解方程即可得到的值．
【解析】点的坐标为，矩形的边分别平行于坐标轴，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
设点坐标为，点坐标为，则点坐标为，
矩形的对角线经过坐标原点，
直线的解析式可设为，
把点，点分别代入得，，，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
．故答案为．
6．（2023春 灌云县期末）如图，等腰直角三角形位于第一象限，，直角顶点在直线上，其中点的横坐标为1，且两条直角边、分别平行于轴、轴，若双曲线与有交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设直线与交于点，分别过、两点作轴的垂线，垂足为、，则，而，则，，为等腰直角三角形，为的中点，由中点坐标公式求点坐标，当双曲线与有唯一交点时，这个交点分别为、，由此可求的取值范围．
【解析】如图，设直线与交于点，分别过、两点作轴的垂线，垂足为、，交于，
点的横坐标为1，点在直线上，
，
又，轴，轴，
，，且为等腰直角三角形，
的中点坐标为，，即为，
点满足直线，
点即为点坐标，点坐标为，
，或，
当双曲线与有唯一交点时，．
故答案为：．
7．（2022秋 平江县校级期末）如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于，，，两点，连接、，现有以下4个结论：①；②不等式的解集是；③；④．其中正确结论的序号是 ．（填上你认为正确的所有结论的序号）
【答案】①③④．
【分析】①根据直线与系数的关系、双曲线与系数的关系进行判断；
②根据图示直接得到答案；
③联立直线与双曲线方程，建立方程组，利用函数图象上点的坐标特征和解方程组得到：，整理为，解该方程即可进行判断；
④把，，，代入，求得，，根据三角形的面积公式即可得到．
【解析】①如图所示，直线经过第一、三象限，则．
双曲线经过第一、三象限，则．
所以．故结论①正确；
②如图所示：不等式的解集是或；故结论②不正确；
③把，，，的坐标代入得，，，
把，，，的坐标代入，得，
，
，
，
，
，
；故结论③正确；
④把，，，的坐标代入得，，解得，
直线解析式为，
点，，
把，，，的坐标代入，得，
，
，．故结论④正确．
故答案为：①③④．
8．（2022秋 同江市期末）如图所示，在轴的正半轴上依次截取，过、、、、分别作轴的垂线与反比例函数的图象交于点、、、、，并设△、△、△面积分别为、、，按此作法进行下去，则的值为 为正整数）．
【答案】．
【分析】根据反比例函数中的几何意义再结合图象即可解答．
【解析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，．
又因为
所以，，，，．
依此类推：的值为．故答案为：．
9．（2023春 洛江区期末）如图，已知反比例函数的图象与直线将于交于、两点，直线交轴于点，点是轴正半轴上的一点，
（1）求反比例函数及直线的解析式；
（2）若，求点的坐标；
（3）若点的坐标为，点为轴上的一点，点为直线上的一点，是否存在点和点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法求得，再求得，再运用待定系数法求得直线的解析式为：即可；
（2）先求得，设，，则，根据，建立方程求解即可得出答案；
（3）运用待定系数法可得直线的解析式为：；设、，分三种情况：当、为平行四边形的对角线时，、的中点重合；当、为平行四边形的对角线时，、的中点重合；当、为平行四边形的对角线时，、的中点重合；分别建立方程求解即可得出答案．
【解析】（1）将代入，得，
解得：，
反比例函数的解析式为：；
将代入，
得，
，
直线经过、两点，
，
解得：，
直线的解析式为：；
（2）在中，令，得，
，
点是轴正半轴上的一点，
设，，
，
，
，即，
解得：；
点的坐标为；
（3）若点的坐标为，点为轴上的一点，点为直线上的一点，是否存在点和点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）存在．点的坐标为或或．
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为：；
设、，
又、，
当、为平行四边形的对角线时，、的中点重合，
，
解得：，
；
当、为平行四边形的对角线时，、的中点重合，
解得
；
当、为平行四边形的对角线时，、的中点重合，
解得
．
综上所述，点的坐标为或或．
10．（2023春 浦东新区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点，直线分别与直线和双曲线交于点、．
（1）求和的值；
（2）当点在线段上时，如果，求的值；
（3）点是轴上一点，如果四边形是菱形，求点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法将点分别代入直线和双曲线的解析式中，即可求出和的值；
（2）由题意可得，，可得，利用，建立方程求解即可；
（3）过点作轴于点，运用勾股定理求出，由于四边形是菱形，可得，建立方程求解即可．
【解析】（1）把点代入，得：，
解得：；
把点代入，得：，
解得：；
（2）在直线中，令，得：，
，
，
令，得：，
解得：，
，
直线分别与直线和双曲线交于点、．
，，
点在线段上，
，
，
，
，
解得：，，
经检验，，都是原方程的解，但，
；
（3）如图，过点作轴于点，
，，，
，
，
，
又有，
四边形是菱形，
，
，
解得：，，
当时，，，
，
，
；
当时，，，，，
，
，
；
综上所述，点的坐标为或．
11．（2022秋 桃江县期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，且．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出的的取值范围；
（3）反比例函数图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）先根据题意得出点坐标，再将、两点的坐标代入求出的值，故可得出一次函数的解析式，把点代入反比例函数即可得出的值，进而得出结论；
（2）利用图象法，写出反比例函数图象和一次函数图象的上方的自变量的取值范围即可；
（3）根据菱形的性质即可得出结论．
【解析】（1），，，
为的中点，即，
，，
将与代入得：
，
解得：，
一次函数解析式为，
将代入反比例解析式得：，即反比例函数解析式为．
（2）观察图象可知，时，的取值范围．
（3）如图所示，
点，
，，
以、为边构造菱形，
四边形为菱形，
垂直且平分，
轴，，
点，
反比例函数解析式为，
当时，，
点在反比例函数的图象上．
12．（2023春 龙口市期末）直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）观察图象当时，直接写出关于的不等式的解集；
（3）若点是轴上一动点，当的面积是6时，求出点的坐标．
【分析】（1）根据一次函数表达式，先求出，两点坐标，再确定反比例；
（2）观察图象即可得出答案；
（3）利用三角形面积公式可求出，进而求点坐标．
【解析】（1）点和点在直线上，
，
，．
，，
把代入中，得．
反比例函数的表达式为．
（2）要使当时，满足，只要一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，也就是直线的图象在反比例的上方，在，两点之间，
当时，的解集为．
（3）直线的表达式为，当时，．
点坐标为，
，
．
，
的坐标为或．
13．（2022秋 清远期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，．反比例函数的图象分别交、于点、点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接、、，求的面积；
（3）是否存在轴上的一点，使得是不以点为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意得到点的坐标为，根据待定系数法可得的值，即可；
（2）求出点与点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出；
（3）设点坐标为，求出点与点的坐标，运用分类讨论思想结合勾股定理解决问题．
【解析】（1）四边形是矩形，
，，
，
，，
所以点的坐标为，
点在反比例函数上，代入，得到，
故反比例函数解析式为；
（2）如图1，连接、、，
，
时，，
，
即，，，
，
；
（3）存在轴上的一点，使得是不以点为直角顶点的直角三角形，理由如下：
如图2，
设所求点坐标为，
，，
，
，
，
当时，
，
即，，
解得，，
故；
当时，
，
即，，
解得，，
故，
综上所述；存在点，坐标为，．
14．（2022秋 武安市期末）如图，直线与双曲线在第一象限内交于，两点，已知，．
（1）求的值及直线的解析式．
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集．
（3）设点是线段上的一个动点，过点作轴于点，是轴上一点，当的面积为时，请直接写出此时点的坐标．
【分析】（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到和的值，再根据待定系数法即可得出直线的解析式；
（2）依据直线与双曲线的上下位置关系，即可得到不等式的解集．
（3）设点，用含的代数式表示出的面积，再根据二次函数的最值即可得到点的坐标．
【解析】（1）点在双曲线上，
，
双曲线的解析式为．
在双曲线，
，
．
直线过、两点，
，解得
直线的解析式为
（2）根据函数图象得不等式的解集为或．
（3）点的坐标为．
提示：设点，且，
则．
当时，
解得，
此时点的坐标为．
15．（2022秋 锦江区期末）如图1，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式及，两点的坐标；
（2）是轴上一点，是轴上一点，若以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点的坐标；
（3）如图2，反比例函数的图象上有，两点，点的横坐标为，点的横坐标与点的横坐标互为相反数，连接，，，．若的面积是的面积的3倍，求的值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）将向右平移3个单位向上平移3个单位得到点，同样向右平移3个单位向上平移3个单位得到，进而求解；
（3）设直线交轴于点，过点作直线交轴于点，过点作直线交轴于点，由的面积是的面积的3倍，得到，进而求解．
【解析】（1）将点的坐标代入一次函数表达式得：，即点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：，
即反比例函数的表达式为：，
联立一次函数和上式得：，
解得：（舍去）或，
故点；
（2）设点，
当是边时，将向右平移3个单位向上平移3个单位得到点，同样向右平移3个单位向上平移3个单位得到，
则，
解得：或，
故点的坐标为或；
（3）设点，则点，
设直线交轴于点，过点作直线交轴于点，过点作直线交轴于点，
的面积是的面积的3倍，
，
直线的表达式为：，
则直线的表达式为：，
则点，
同理可得：点，
，即，
解得：（舍去负值），
即．
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