数学：6.3正方形同步练习1（浙教版八年级下）

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6.3 正方形 同步练习
【知识盘点】
1．我们把有一组邻边_______，并且有一个角是_______的_________的叫做正方形．
2．正方形既是特殊的________，又是特殊的_________，所以它同时具有______和________的性质．
（1）正方形的四个角_______，四条边________；
（2）正方形的对角线_____，并且_________，每条对角线平分_________．
3．判定一个四边形是正方形除根据定义判别外，通常还有如下方法：
（1）有一组邻边相等的_________是正方形；
（2）有一个角是直角的________是正方形．
4．若一个四边形有四条对称轴，则这个四边形是______．
5．若正方形的一条对角线长为a，则这个正方形的面积是______．
6．如图1所示，在正方形ABCD中，延长BC至E，使CE=CA，连结AE，则∠CAE=_____度．
(1) (2) (3)
【基础过关】
7．正方形具有而一般菱形不具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分
C．对角线相等 D．每一条对角线平分一组对角
8．如图2所示，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图3所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，则图中等腰直角三角形有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
(4) (5)
10．如图4所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是BC上任意一点，EG⊥BD于G，EF⊥AC于F，若AC=10，则EG+EF的值为（ ）
A．10 B．4 C．8 D．5
11．如图5所示，在正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP，PC为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【应用拓展】
12．如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC，DB相交于点O，点E是OB上的一点，DF⊥CE于F，交OC于G，求证：OE=OG．
13．如图所示，已知D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE=CF．
求证：（1）△ABC是等腰三角形；（2）在什么条件下，四边形AFDE是正方形？请证明之．
14．如图所示，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连结AP，EF，求证：AP=EF．
【综合提高】
15．已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1，将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB，BC，CD，DA，AB，……连续地翻转n次，使顶点P最终回到原来的起始位置．
（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动．图2是当k=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图．请你探索：若k=1，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n=_____时，顶点P第一次回到原来的起始位置．
（2）若k=2，则n=_____时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若k=3，则n=_____时，顶点P第一次回到原来的起始位置．
（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）．
(2)
答案:
1．相等，直角，平行四边形
2．矩形，菱形，矩形，菱形
（1）都是直角，相等
（2）相等，互相垂直平分，一组对角
3．（2）矩形 （3）菱形
4．正方形 5．a2 6．22.5° 7．C 8．B 9．C 10．D 11．B
12．略 13．（1）略 （2）正方形，略
14．提示：连结PC
15．（1）12 （2）24，12
（3）当k是3的倍数时，n=4k；当k不是3的倍数时，n=12k
(1)
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