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第6章《反比例函数》章末测试（拔尖卷）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024·湖南株洲·八年级校考期末）如图，函数与在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·广东肇庆·八年级广东肇庆中学校考期末）若点，，，都在反比例函数的图象上，并且，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏徐州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，函数（）与的图像交于点，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．2
4．（2024·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，反比例函数（）、（）的图象分别经过正方形、正方形的顶点D、A，连接、、．则的面积可表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广西贺州·八年级校考期末）如图，点，都在双曲线上，点是轴正半轴上的点，当的周长为最小值时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山东临沂·八年级期末）如图，点A的坐标是（－4，0），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转后得到△．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则点B的坐标是（ ）
A．（0，6） B．（0，8） C．（0，10） D．（0，12）
7．（2024·江苏无锡·八年级统考期末）体育课上，甲、乙、丙、丁四位同学进行跑步训练，如图用四个点分别描述四位同学的跑步时间y（分钟）与平均跑步速度x（米/分钟）的关系，其中描述甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则在这次训练中跑的路程最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（2024·河南·八年级河南省淮滨县第一中学校考期末）如图，正方形的两个顶点，分别在轴和轴的正半轴上，另外两个顶点，在函数的图像上，在正方形的右侧再作一个正方形，使在轴上，在函数图像上，则点的坐标为（）
A． B． C． D．
9．（2024·湖南娄底·八年级统考期末）如图，△OAB，，，…，都是等边三角形，顶点A，，，…，在反比例函数的图象上，则的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·四川眉山·统考一模）函数y＝和y＝在第一象限内的图象如图，点P是y＝的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA＝AP．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024·江苏苏州·八年级统考期末）已知一次函数与反比例函数相交于点，，不等式的解集是 ．
12．（2024·浙江·八年级统考期末）已知点在反比例函数的图象上，将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点仍在该函数图象上，则k的值是
13．（2024·江苏泰州·八年级统考期末）直线与双曲线交于A、B两点，C为第二象限内一点，若A点横坐标为，且，，那么点C的坐标为 ．
14．（2024·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，是常数）在第一象限部分的图像与矩形的两边和分别交于，两点，将沿翻折得到，的延长线恰好经过点．若，则的值是 ．
15．（2024·江苏·八年级期末）如图，反比例函数图象l1的表达式为，图象l2与图象l1关于直线x=1对称，直线y=k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为 ．
16．（2024·浙江宁波·八年级统考期末）如图，点，在反比例函数（，）的图象上，点，在反比例函数（，）的图象上，且轴，过，分别作轴的垂线，垂足为，，交于点，连结交于点．若，则 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2024·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，．对角线相交于点，反比例函数的图象经过点，分别与交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，求反比例函数关系式．
18．（6分）（2024·福建泉州·八年级校联考期末）如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，P在反比例函数的图象上．
(1)求点P的坐标；
(2)若，求的度数；
(3)如果直线的关系式为，且，作反比例函数，过点作x轴的平行线与的图象交于点M，与的图象交于点N，过点N作y轴的平行线与的图象交于点Q，是否存在k的值，使得的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，请说明理由．
19．（8分）（2024·重庆万州·八年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)在第四象限的一次函数图象上有一点P，满足，请求出点P的坐标；
(3)当时，直接写出x的取值范围．
20．（8分）（2024·广东梅州·八年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点C，轴于点D，，点关于直线的对称点为点．
(1)点是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．
21．（8分）（2024·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（）与时间（）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)求与（）的函数表达式；
(2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
(3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？
22．（8分）（2024·江苏·八年级统考期末）定义：平面直角坐标系中，若点M绕点N顺时针旋转，恰好落在函数图象W上，则称点M是点N关于函数图象W的“直旋点”．例如，点是原点O关于函数图象的一个“直旋点”．
(1)在①，②，③三点中，是原点O关于一次函数图象的“直旋点”的有 ___________（填序号）；
(2)点是点关于反比例函数图象的“直旋点”，求k的值；
(3)如图1，点在反比例函数图象上，点B是在反比例函数图象上点A右侧的一点，若点B是点A关于函数的“直旋点”，求点B的坐标．
23．（8分）（2024·河南南阳·八年级统考期末）已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（10，8），已知直线AC与双曲线y＝（m≠0）在第一象限内有一交点Q（5，n）．
（1）求直线AC和双曲线的解析式；
（2）若动点P从A点出发，沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止．求△OPQ的面积S与的运动时间t秒的函数关系式，并求当t取何值时S＝10．中小学教育资源及组卷应用平台
第6章《反比例函数》章末测试（拔尖卷）
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024·湖南株洲·八年级校考期末）如图，函数与在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数及一次函数的性质对四个选项进行逐项分析即可．
【详解】解：A.由反比例函数的图象在二、四象限可知，；而一次函数的图象经过二、四象限可知，，即，相矛盾，故A选项错误，不符合题意；
B.由反比例函数的图象在二、四象限可知，；而一次函数的图象经过一、三象限可知，，即，又，一次函数与轴交于正半轴，与一次函数经过一、三、四象限相矛盾，故B选项错误，不符合题意；
C.由反比例函数的图象在一、三象限可知，；而一次函数的图象经过一、三象限可知，，即，相矛盾，故B选项错误，不符合题意；
D.由反比例函数的图象在一、三象限可知，；而一次函数的图象经过二、四象限可知，，即，又，一次函数与轴交于正半轴，与一次函数经过一、二、四象限相符合，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，熟知一次函数与反比例函数的图象的特点是解答此题的关键，利用数形结合的思想解答．
2．（2024·广东肇庆·八年级广东肇庆中学校考期末）若点，，，都在反比例函数的图象上，并且，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论．
【详解】解：反比例函数中，
函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．
∵，
点在第二象限，B、点在第四象限，
∴，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象性质，熟练掌握反比例函数图象性质是解答此题的关键．
3．（2024·江苏徐州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，函数（）与的图像交于点，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】可求，， ，即可求解．
【详解】解：函数（）与的图像交于点，
，，
，，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，整体代换法，分式加减运算，掌握求法是解题的关键．
4．（2024·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，反比例函数（）、（）的图象分别经过正方形、正方形的顶点D、A，连接、、．则的面积可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，根据即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
四边形与四边形都是正方形，
，，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、反比例函数k的几何意义，证明是解决问题的关键．
5．（2024·广西贺州·八年级校考期末）如图，点，都在双曲线上，点是轴正半轴上的点，当的周长为最小值时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意知，，解得，，，则，，如图，作关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则，，的周长为，可知当三点共线时，的周长最小，待定系数法求直线的解析式为，当时，，解得，则．
【详解】解：∵点，都在双曲线上，
∴，
解得，，，
∴，，
如图，作关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则，
∴，
∵的周长为，
∴当三点共线时，的周长最小，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式，轴对称．解题的关键在于明确周长最小的情况．
6．（2024·山东临沂·八年级期末）如图，点A的坐标是（－4，0），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转后得到△．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则点B的坐标是（ ）
A．（0，6） B．（0，8） C．（0，10） D．（0，12）
【答案】B
【分析】作轴于H．证明（AAS），推出OA=BH，，设再表示出点D坐标，再利用D在的图象上列方程，再解方程即可解决问题．
【详解】解：作轴于H．
结合题意可得：，
∴，∠ABO+∠BAO=90°，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴OA=BH，OB=，
设 而为的中点，
则
∵点A的坐标是，
为的中点，
∵反比例函数的图象经过点D，
∴
解得：或
，
则
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转等知识，一元二次方程的解法，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．（2024·江苏无锡·八年级统考期末）体育课上，甲、乙、丙、丁四位同学进行跑步训练，如图用四个点分别描述四位同学的跑步时间y（分钟）与平均跑步速度x（米/分钟）的关系，其中描述甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则在这次训练中跑的路程最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象与性质求解即可．
【详解】解；∵甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，
∴设这个反比例函数表达式为，
若甲，乙，丙，丁，
过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丁点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示，
∵、、、在反比例函数图象上，
∴，
由图可知，，，
∴，，
由题意可知，训练中跑的路程为：，
∴甲和丙训练跑的路程相等，乙训练跑的路程小于甲和丙训练跑的路程，丁训练跑的路程大于甲和丙训练跑的路程，
∴丁训练跑的路程最多，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质的实际应用，理解题意，熟练掌握反比例函数图象与性质是解题的关键．
8．（2024·河南·八年级河南省淮滨县第一中学校考期末）如图，正方形的两个顶点，分别在轴和轴的正半轴上，另外两个顶点，在函数的图像上，在正方形的右侧再作一个正方形，使在轴上，在函数图像上，则点的坐标为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别过点作，过点作，根据全等求出各边之间的关系，设，表示出的坐标代入反比例函数，求解即可．
【详解】解：分别过点作，过点作，如下图：
则，
在正方形中，，
∴
∴
∴
同理可得：，
由题意可知：四边形为矩形，
设
则，
则，，
代入反比例函数得①，②，③
由①得，代入②得，化简得，解得（负值舍去）
将代入①得，
代入③得，化简得
由求根公式可得（负值舍去）
，令代入反比例函数得，解得
点的坐标为
故选B．
【点睛】此题考查了反比例函数与几何的综合应用，涉及了全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及一元二次方程的求解，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
9．（2024·湖南娄底·八年级统考期末）如图，△OAB，，，…，都是等边三角形，顶点A，，，…，在反比例函数的图象上，则的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点A1作A1D⊥x轴于点D，过点A2作A2E⊥x轴于点E，先在△OCA中，表示出OC和AC的长度，表示出A1的坐标，代入反比例函数解析式，求出OC的长度和OA的长度，表示出B的坐标，同理可求得B1、B2的坐标，即可发现一般规律．
【详解】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点A1作A1D⊥x轴于点D，过点A2作A2E⊥x轴于点E，
是等边三角形，
，
，
设OC的长度为t，则A的坐标为，
把A 代入得，
解得（舍去），
，
，
设BD的长度为m，同理得到，则的坐标为，
把 代入得，
解得（舍去），
，
，
设的长度为n，同理得到，则的坐标为，
把 代入得，
解得（舍去），
，
，
综上可得：的横坐标为．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．还考查了等边三角形的性质、勾股定理，灵活运用各类知识求出A1、A2、 A3的坐标是解题的关键．
10．（2024·四川眉山·统考一模）函数y＝和y＝在第一象限内的图象如图，点P是y＝的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA＝AP．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】C
【详解】解：∵A、B是反比函数上的点，∴S△OBD=S△OAC=，故①正确；
当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；
∵P是的图象上一动点，∴S矩形PDOC=4，∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确；
连接OP，=4，∴AC=PC，PA=PC，∴=3，∴AC=AP；故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．故选C．
点睛：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024·江苏苏州·八年级统考期末）已知一次函数与反比例函数相交于点，，不等式的解集是 ．
【答案】或
【分析】图象法解不等式即可．
【详解】解：∵一次函数与反比例函数相交于点，，
∴，
∴，；
作出一次函数和反比例函数的图象如图所示：
由图可知：的解集为：或；
故答案为：或
【点睛】本题考查图象法解不等式，解题的关键是正确的画出一次函数和反比例函数的就图象．
12．（2024·浙江·八年级统考期末）已知点在反比例函数的图象上，将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点仍在该函数图象上，则k的值是
【答案】
【分析】根据点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”求得点P平移后的点的坐标，根据两点均在反比例函数的图象上，将两点坐标代入反比例函数解析式中求解即可．
【详解】解：∵点，
∴将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点的坐标为，
依题意，得，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、点的坐标平移规律，解题的关键是由点坐标表示出平移后的点的坐标．
13．（2024·江苏泰州·八年级统考期末）直线与双曲线交于A、B两点，C为第二象限内一点，若A点横坐标为，且，，那么点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】连接，作轴于点D，作轴于点E，把代入得：，得出，，证明≌，得出，，即可得出答案．
【详解】解：连接，作轴于点D，作轴于点E，如图所示：
把代入得：，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
∴≌，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，反比例函数的几何综合，解题的关键是数形结合，作出辅助线，构造全等三角形，证明≌．
14．（2024·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，是常数）在第一象限部分的图像与矩形的两边和分别交于，两点，将沿翻折得到，的延长线恰好经过点．若，则的值是 ．
【答案】
【分析】设，根据矩形的性质和翻折的性质可得，，根据等角对等边和勾股定理可得，，继而得到，，可得，根据点在反比例函数图像上，可得点的纵坐标，可得，再求出，即可得到的值．
【详解】解：设，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
将沿翻折得到，的延长线恰好经过点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在反比例函数图像上，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数图像上，，即点的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法确定解析式，函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理等知识．掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键．
15．（2024·江苏·八年级期末）如图，反比例函数图象l1的表达式为，图象l2与图象l1关于直线x=1对称，直线y=k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为 ．
【答案】
【详解】利用函数的对称性质确定l2的解析式，再联立方程，通过方程跟与系数的关系求出的值．
解：∵图象l2与图象l1关于直线x=1对称，即f（x）与f（2﹣x）关于直线x=1对称，
∴反比例函数l2为：y，
∵直线y=k2x与l2交于A，B两点，
∴，
整理得：，
∴，（根与系数的关系），
∵A为中点，
∴，
∴，
∴，，
∴ ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，函数的对称性，一元二次方程根与系数的关系，求出函数l2的解析式是解题关键．
16．（2024·浙江宁波·八年级统考期末）如图，点，在反比例函数（，）的图象上，点，在反比例函数（，）的图象上，且轴，过，分别作轴的垂线，垂足为，，交于点，连结交于点．若，则 ．
【答案】1
【分析】如图，由组合图形位置构成关系，得，，由反比例函数解析式k的几何意义，得，，得出结论．
【详解】如图，
∵点在反比例函数（，）的图象上，点在反比例函数（，）的图象上
∴
∴
∵
∴
∴
而，
∴
∴
∴
∴
故答案为：1
【点睛】本题考查反比例函数解析式k的几何意义，组合图形求面积，理解反比例函数解析式k的几何意义是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2024·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，．对角线相交于点，反比例函数的图象经过点，分别与交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，求反比例函数关系式．
【答案】(1)28
(2)
【分析】（1）先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到 ,然后把 点坐标代入 ,可求得 的值;
（2）利用勾股定理计算出 ,则 5 ，所以 ， 设 ，则 , ，利用反比例函数图象上点的坐标得到 ，解得 ，从而得到反比例函数解析式为 ；
【详解】（1）矩形的顶点在轴的正半轴上，，
，
对角线相交于点，
点为的中点，
如图，过作于点，则为的中点，
易得点的坐标为，把代人，得．
（2）
，
，
设，则，
反比例函数的图象经过点，
，解得，
反比例函数关系式为．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，也考查了反比例函数的性质
18．（6分）（2024·福建泉州·八年级校联考期末）如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，P在反比例函数的图象上．
(1)求点P的坐标；
(2)若，求的度数；
(3)如果直线的关系式为，且，作反比例函数，过点作x轴的平行线与的图象交于点M，与的图象交于点N，过点N作y轴的平行线与的图象交于点Q，是否存在k的值，使得的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，当时，和是定值
【分析】（1）过P作轴于C，作轴于点D，于E，根据角平分线性质得，设，则，代入反比例函数解析式求得a的值即可；
（2）由等腰直角三角形的性质求出，再由角平分线的定义求得和的度数，进而由三角形外角的性质求得结果；
（3）由已知条件求出M、N、Q的坐标，再求得的表达式，根据是定值求出的值和的值即可．
【详解】（1）解：过P作轴于C，作轴于点D，于E，如图1，
∵和分别是和的平分线，
∴，
设，则，
把代入得：，
∴（负值舍去），
∴；
（2）如图1，∵，，
∴，
∴，
∵和分别是和的平分线，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）把代入中，得，
∴，
把代入中，得，
∴，
把代入中，得，
∴，
当时，
∴，
当时，；
当时，
∴，
当时，，但，故此情况舍去，
综上：当时，的和是定值．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
19．（8分）（2024·重庆万州·八年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)在第四象限的一次函数图象上有一点P，满足，请求出点P的坐标；
(3)当时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)点P的坐标为；
(3)x的取值范围是或．
【分析】（1）先将点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k，从而求出反比例函数的解析式，最后将A点的坐标代入反比例函数解析式就可以求出a的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）由直线解析式求得C、D的坐标，进而求得，进一步根据题意得到的长度，利用距离公式求得点P的坐标；
（3）通过图象观察就可以直接看出当时，x的取值范围．
【详解】（1）解：∵比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵在双曲线上，
∴，
∴，
∴，
∵一次函数的图象经过A、B两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式；
（2）解：在中，当时，；当时，则，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
设点P的坐标为，
则，
解得或（舍去），
将代入，得，
∴P的坐标为；
（3）解：观察图象可知，当时，x的取值范围是或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
20．（8分）（2024·广东梅州·八年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点C，轴于点D，，点关于直线的对称点为点．
(1)点是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．
【答案】(1)点在这个反比例函数的图象上，理由见解析
(2)①；②
【分析】（1）设点的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，如图，连接交于，得到，再结合，轴，进而求得，于是得到点在这个反比例函数的图像上；
（2）①根据正方形的性质得到，垂直平分，求得，设点的坐标为，得到（负值舍去），求得，，把，代入得，解方程组即可得到结论；②延长交轴于，根据已知条件得到点与点关于轴对称，求得，则点即为符合条件的点，求得直线的解析式为，于是得到结论．
【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图象上，
理由：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴设点的坐标为，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，平分，
如图．连接交于，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵轴于，
∴轴，
∴，
∵，
∴点在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①∵四边形为正方形，
∴，垂直平分，
∴，
设点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
把，代入得，
∴；
②延长交轴于，
∵，
∴点与点关于轴对称，
∴，
则点即为符合条件的点，
由①知，，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
故当最大时，点的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．（8分）（2024·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（）与时间（）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)求与（）的函数表达式；
(2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
(3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？
【答案】(1)
(2)这种蔬菜一天内最适合生长的时间为
(3)恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害
【分析】（1）当时，设双曲线的解析式为，把的坐标代入，得出，解出即可得出答案；
（2）根据待定系数法求出线段解析式，再根据题意：大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，结合图象，把代入线段的解析式，得出时间，再把代入（1）中双曲线，得出时间，两时间相减，即可得出答案；
（3）先求解时，对应的双曲线函数图象上点的横坐标，再利用坐标含义可得答案．
【详解】（1）解：当时，设双曲线的解析式为，
∵过双曲线，
∴把的坐标代入，
可得：，
解得：，
∴函数表达式为：；
（2）解：设线段解析式为，
∵线段过点，，
代入得，
解得：，
∴解析式为：，
∵大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，
当时，代入，
可得：，
解得：，
当，代入，
可得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∵（），
∴这种蔬菜一天内最适合生长的时间为；
（3）解：当时，可得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴（），
∴恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式和一次函数解析式，反比例函数的性质，理解反比例函数图象上的点的坐标含义是解本题的关键．
22．（8分）（2024·江苏·八年级统考期末）定义：平面直角坐标系中，若点M绕点N顺时针旋转，恰好落在函数图象W上，则称点M是点N关于函数图象W的“直旋点”．例如，点是原点O关于函数图象的一个“直旋点”．
(1)在①，②，③三点中，是原点O关于一次函数图象的“直旋点”的有 ___________（填序号）；
(2)点是点关于反比例函数图象的“直旋点”，求k的值；
(3)如图1，点在反比例函数图象上，点B是在反比例函数图象上点A右侧的一点，若点B是点A关于函数的“直旋点”，求点B的坐标．
【答案】(1)③
(2)
(3)点B的坐标为
【分析】（1）根据“直旋点”的定义进行判断即可；
（2）设点M绕点N顺时针旋转的对应点为，过点M作轴于点A，过点作轴于点B，证明，得出，，即可得出的坐标为，求出k的值即可；
（3）设点B绕点A顺时针旋转的对应点为点C，连接，，过点A作x轴的平行线，过点B作于点E，过点C作于点E，求出反比例函数解析式为，设点B的坐标为，得出，，证明，得出，，求出点C的坐标为：，根据点C在函数图象上，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：①点绕原点顺时针旋转的对应点为，把代入得：，
∴不在函数的图象上，
∴不是原点O关于一次函数图象的“直旋点”；
②绕原点顺时针旋转的对应点为，把代入得：，
∴不在函数的图象上，
∴不是原点O关于一次函数图象的“直旋点”；
③绕原点顺时针旋转的对应点为，把代入得：，
∴在函数的图象上，
∴是原点O关于一次函数图象的“直旋点”；
综上分析可知，是原点O关于一次函数图象的“直旋点”的有③．
故答案为：③．
（2）解：设点M绕点N顺时针旋转的对应点为，过点M作轴于点A，过点作轴于点B，如图所示：
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据旋转可知，，
∴，
∴，，
∴，
∴的坐标为，
把代入得：．
（3）解：设点B绕点A顺时针旋转的对应点为点C，连接，，过点A作x轴的平行线，过点B作于点E，过点C作于点E，如图所示：
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵点B在函数图象上，
∴设点B的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
根据旋转可知，，
∴，
∴，，
∴点C的坐标为：，
∵点C在函数图象上，
∴，
解得：，（舍去），
∴点B的坐标为．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
23．（8分）（2024·河南南阳·八年级统考期末）已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（10，8），已知直线AC与双曲线y＝（m≠0）在第一象限内有一交点Q（5，n）．
（1）求直线AC和双曲线的解析式；
（2）若动点P从A点出发，沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止．求△OPQ的面积S与的运动时间t秒的函数关系式，并求当t取何值时S＝10．
【答案】（1）直线AC的解析式为：，双曲线为：；（2），当t＝2.5秒或t＝7秒时，S＝10．
【分析】（1）设直线的解析式为．将、两点代入其中，即利用待定系数法求一次函数解析式；然后利用一次函数图象上点的坐标特征，将点代入函数关系式求得值；最后将点代入双曲线的解析式，求得值，即可求得双曲线的解析式；
（2）分类讨论：当时，；当时，．
【详解】解：(1)设直线的解析式为，过、，
，
解得：，
直线的解析式为，
又在直线上，
，
又双曲线过，
，
双曲线的解析式为：；
（2）当时，，
过作，垂足为，如图1，
，，
，
当时，
解得，
当时，，
过作，垂足为，如图2
，，
，
当时，，
解得，
综上，，
当秒时，的面积不存在，
当秒或秒时，．
【点睛】此题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，分类讨论是本题的关键．
