数学：2.2一元二次方程的解法同步练习1（浙教版八年级下）

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2．2 一元二次方程的解法（1）同步练习
解题示范
例 用配方法解下列一元二次方程：
（1）x2+12x=9 964； （2）9x2-12x=1．
审题 本题要求用配方法解一元二次方程，因此方程的左边应先化成（ax+b）2的形式．
方案 对于第（1）小题，配方较为容易，只需两边都加上36即可．对于第（2）小题，联想公式（a+b）2=a2+2ab+b2，应在方程两边都加上4，才能把左边的式子化成（ax+b）的形式．
实施 （1）x2+12x=9 964．
两边都加上36，得x2+12x+36=9 964+36．
即（x+6）2=10 000．
∴ x+6=100，或x+6=-100．
解得x1=94，x2=-106．
（2）9x2-12x=1．
两边都加上4，得9x2-12x+4=1+4，即（3x-2）2=5．
∴ 3x-2=，或3x-2=-．
解得 x1=，x2=．
反思 对二次项系数为1的一元二次方程进行配方，应在方程两边都加上一次项系数一半的平方．
课时训练
1．填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2+2x+________=（x+______）2；（2）x2-6x+________=（x-______）2；
（3）t2-10t+________=（t-_______）2；（4）y2+_____y+121=（y+_______）2．
2．方程（x+1）2=9的解是_________．
3．在横线上填上适当的数或式，使下列等式成立：
（1）x2+px+________=（x+_______）2；（2）x2+x+_________=（x+_______）2．
4．解方程：
（1）x2=121； （2）（x-3）2=16．
5．用配方法解下列方程：
（1）x2-2x=1； （2）x2+24=10x；
（3）x（x+2）=323； （4）x2+6x-91=0．
6．当x取何值时，代数式x2-3x+3的值等于7．
7．用一根长为24m的绳子围成面积为18m2的矩形，请问这个矩形的长与宽各是多少？
8．在实数范围内，方程x2+1=0有解吗？x2-2x+2=0呢？
答案：
1．（1）1；1 （2）9；3 （3）25；5 （4）22；11 2．2或-4
3．（1）（）2； （2）（）2；
4．（1）x1=11，x2=-11 （2）x1=7，x2=-1
5．（1）x1=1+，x2=1- （2）x1=4，x2=6 （3）x1=17，x2=-19 （4）x1=7，x2=-13
6．x等于4或-1 7．长为（6+3）m，宽为（6-3）m
8．在实数范围内x2+1=0无解，x2-2x+2=0也无解．
2．2 一元二次方程的解法（2）同步练习
解题示范
例 用配方法解一元二次方程：4x2-12x+7=0．
审题 本题要求用配方法解方程，因此把方程化为（x+a）2=b或（ax+b）2=c的形式，再用开平方法进行解题．
方案 可采用两种方法进行配方，一是先把二次项系数化为1，再配方；另一种是把4x-12x看作整体进行配方．
实施 方法一：方程两边都除以4，得x2-3x+=0．
移项，得x2-3x=-．
方程两边同加上（）2，得x2-3x+（）2=（）2-．
即（x-）2=．
∴x-=，或x-=-．
解得x1=，x2=．
方法二：由于4x2可以看成（2x）2，-12x可以看成-2×2x·3，因此，可以把4x2-12x配上一个常数项使它们成为完全平方式．
移项，得4x2-12x=-7．
方程两边同加上9，得4x2-12x+9=9-7，
即（2x-3）2=2．
∴2x-3=，或2x-3=-．
解得x1=，x2=．
反思 用配方法解一元二次方程的基本思路是把方程先化为（x+a）2=b或（ax+b）2=c的形式，因此可根据不同方程的特点进行灵活的配方．另外，由于一个正数有正负两个平方根，因此开方时，要防止发生漏根的错误．
课时训练
1．方程x2-8x+6=0的左边配成完全平方式后，所得的方程是（ ）．
（A）（x-6）2=10 （B）（x-4）2=10 （C）（x-6）2=6 （D）（x-4）2=6
2．不论x，y是什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）．
（A）总不小于2 （B）总不小于7； （C）为任意实数 （D）为负数
3．x2-x+_____=（x-______）2．
4．用配方法解下列方程：
（1）x2-3x+1=0； （2）2x2+6=7x；
（3）3x2-9x+2=0； （4）5x2=4-2x；
（5）x2-2x-1=0； （6）0.1x2-x-0.2=0．
5．已知y=2x2+7x-1．当x为何值时，y的值与4x+1的值相等？x为何值时，y的值与x2-19的值互为相反数．
6．一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h=15t-5t2．小球何时能达到10m高？
答案：
1．B 2．A 3．；
4．（1）x1=，x2= （2）x1=2，x2= （3）x1,2=
（4）x1,2=； （5）x1,2=± （6）x1,2=5±3
5．当x=-2或时，y的值与4x+1的值相等；
当x=-4或时，y的值与x2-19的值互为相反数
6．当t=1（s）或2（s）时，小球能达到10m高
2．2 一元二次方程的解法（3）
解题示范
例 用公式法解下列方程：
（1）x2-x-1=0； （2）（x-2）（3x-5）=1．
审题 本例两小题要求使用公式法解一元二次方程，关键要把方程化为一般形式，弄清a，b，c的值．
方案 第（1）小题可先把各项系数化为整数，然后使用公式法．第（2）小题则需先把方程化为一般形式，再求解．
实施 （1）x2-x-1=0，方程两边都乘以5，得2x2-x-5=0．
∴ a=2，b=-1，c=-5，
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-5）=41．
∴ x=，
即x1=，x2=．
（2）（x-2）（3x-5）=1．
原方程可化为3x2-11x+9=0．
∴ a=3，b=-11，c=9．
b2-4a=（-11）2-4×3×9=13．
∴ x=，
即 x1=，x2=．
反思 用公式法解一元二次方程的关键是先弄清方程中的a，b，c的值．当系数不是整数时，要先把系数化为整数，可使计算变得简单．当原方程不是一般形式时，先要把它化为一般形式．
课时训练
1．下列方程中，无实数根的是（ ）．
（A）x2+1=0 （B）x2+x=0 （C）x2+x-1=0 （D）x2-x-1=0
2．方程2x（x-3）+3=0的二次项系数、一次项系数及常数项的和是（ ）．
（A）2 （B）3 （C）-3 （D）-1
3．当x=________时，代数式x2+2x-3的值等于0．
4．若方程x2-6x+5a=0有一根是5，那么a=______，另一根为________．
5．方程3x2+x=1的b2-4ac的值为_______．
6．已知x2-2x-3与x+7的值相等，则x的值是________．
7．用公式法解下列方程：
（1）x2-2x-8=0； （2）x2-3x-2=0；
（3）2x2-9x+8=0； （4）9x2+6x+1=0；
（5）16x2+8x=3； （6）（2x+1）（x+3）=12．
8．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”大意是说：“已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？”请你回答这个问题？
9．判别下列一元二次方程的实数根的情况：
（1）3x2+4x-7=0； （2）x2-4x+4=0； （3）2x2+x+3=0．
答案：
1．A 2．D 3．1或-3 4．1；1 5．12 6．5或-2
7．（1）x1=4，x2=-2 （2）x1,2= （3）x1,2=
（4）x1=x2=-； （5）x1=，x2=- （6）x1=1，x2=-
8．设宽为x尺，则高为（x+6.8）尺．
由题意得x2+（x+6.8）2=102．解得x1=-9.6（舍去），x2=2.8（尺），
∴ 宽为2.8尺，高为9.6尺．
9．（1）有两个不相等实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根
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