【浙教版九上同步练习】 3.3 垂径定理（含答案）

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【浙教版九上同步练习】 3.3垂径定理
一、填空题
1．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在墙壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”问题题意为：如图，有一圆柱形木材埋在墙壁中，不知其直径大小.用锯去锯这木材，锯口深1寸(即CD＝1寸)，锯道长1尺(即AB＝1尺)，问这圆形木材直径是多少？(注：1尺＝10寸)由此，可求出这圆形木材直径为　 　寸.
2．如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB垂直，垂足为D，若OD＝3，则弦AB的长为　 　.
3．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为　 　．
4．在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和 ，则∠BAC的度数为　 　．
二、单选题
5．如图，是直径为的圆柱形排水管的截面示意图．已知管内积水（即弓形部分）的水面宽为，则积水的深度为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10，CD＝8，则OE为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．3.5
7．如图所示，的直径CD垂直弦AB于点，且，则AB的长是（　　）.
A．3 B．4 C．6 D．8
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，AM⊥CD，BN⊥CD，垂足分别为M、N．已知CD=5，MN=，则线段DN的长为（　　）
A． B． C．1 D．
三、解答题
9．如图，直径为 的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度 为 ，求水的最大深度 .
10．如图为桥洞的形状，其正视图是由 和矩形ABCD构成．O点为 所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求 所在⊙O的半径DO．
11．如图，已知AD是⊙O的直径，AB、BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足是点E，BC=8，DE=2，求⊙O的半径长和sin∠BAD的值．
四、作图题
12．已知：在△ABC中，AB＝AC．
（1）求作：△ABC的外接圆，圆心为O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则⊙O的半径长为　 　．
五、综合题
13．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图所示）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长
14．如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长
15．如图，已知⊙O的弦AB垂直平分半径OC，连接AO并延长交⊙O于点E，连接DE，若AB＝4 ，请完成下列计算
（1）求⊙O的半径长；
（2）求DE的长．
六、实践探究题
16．根据素材解决问题．
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB=16m，拱顶离水面的距离CD=4m．
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF=3m，EH=10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x (吨)满足函数关系式y= x．
问题解决
任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径．
任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形桥拱？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
答案解析部分
1．【答案】26
【知识点】垂径定理
2．【答案】8
【知识点】垂径定理
3．【答案】（6，0）
【知识点】点的坐标；垂径定理的应用
4．【答案】15°或105°
【知识点】垂径定理
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
8．【答案】B
【知识点】垂径定理
9．【答案】解：∵ 的直径为 ，∴ .
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ .
答：水的最大深度为 .
【知识点】垂径定理
10．【答案】解：∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，
∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO﹣2，在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2，则DO2=（DO﹣2）2+42，解得：DO=5．
答：弧CD所在⊙O的半径DO为5m．
【知识点】垂径定理
11．【答案】解：设⊙O的半径为r，
∵直径AD⊥BC，
∴BE=CE=BC=X8=4，∠AEB=90°，
在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB2=0E2+BE2，即r2=42+（r﹣2）2，
解得：r=5，
即⊙O的半径长为5，
∴AE=5+3=8，
∵在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB==4，
∴sin∠BAD=．
【知识点】垂径定理
12．【答案】（1）解：如图⊙O即为所求．
（2）5
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
13．【答案】（1）证明：过点O作OE⊥AB于E，
则CE=DE，AE=BE．
∴AE－CE=BE－DE即AC=BD
（2）解：连接OC，OA由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，∴OE=6∴CE= AE=
∴AC=AE-CE=8-2
【知识点】勾股定理；垂径定理
14．【答案】（1）证明：过点O作 OE⊥AB于 E，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，∴AC=BD
（2）解：由(1)知 OE=6，OA=10，∴AE=8，∵OE=6，OC=8∴ CE =
∴AC=AE-CE=8-2
【知识点】垂径定理
15．【答案】（1）解：连接BE，
∵⊙O的半径OC⊥弦AB于点D，AB＝ ，
∴AD＝BD＝ ，
设OA＝x，
∵弦AB垂直平分半径OC，
∴OD＝ x，
在Rt△AOD中，AD2+OD2＝OA2，
∴2+ ＝x2，
解得：x＝4，
即⊙O的半径长是4；
（2）解：由（1）∴OA＝OE＝4，OD＝2，
∵AD＝BD
∴BE＝2OD＝4，
∵AE是直径，
∴∠B＝90°，
∴DE＝
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理
16．【答案】解：任务1：记圆心为点O，则点O在CD延长线上，连结AO(如图1)，
设桥拱的半径为r，
∵AD=BD= AB=8，OD=r-4，
∴(r-4)2 +82=r2，∴r=10，
即圆形拱桥的半径为10米；
任务2： 根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱 ，理由如下：
当EH是⊙O的弦时，记EH与OC的交点为M(如图2)，
则EM= EH=5，
∴OM= ，
∴DM = -6<3，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱．
为了能顺利通过，
船在水面部分至少需要下降的高度y=3-( -6)=(9-)米．
∵y= x，∴x=100（9 - ）= (900- )吨，
：．至少需要增加(900-)吨的货物
【知识点】垂径定理的应用；一次函数的性质
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