{浙教版九上同步练习} 第三章 圆的基本性质（能力提升）检测题（含答案）

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第三章圆的基本性质（能力提升）检测题
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°．把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB'C'，若AB=4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（　　）
A．π B．π C．2π D．4π
2．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BDE＝78°36'，则∠BOC的度数（　　）
A．157°12' B．156°48′ C．78°12' D．156°28′
3．如图，AB是⊙O直径，若∠D=30°，则∠AOE的度数是（　　）
A．30° B．60° C．100° D．120°
4．在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题:
甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦.下面对这两个命题的判断,正确的是（　　）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错
5．一个多边形的每一外角都等于 ，那么这个多边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为　 　．
7．如图，正方形的空地内部要做一个绿化带（阴影部分），已知正方形ABCD外切于⊙O，且边长为10米，则绿化带的周长为　 　．（结果保留π）
8．若扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为　 　.
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2.将△ABC绕点C旋转得到△EDC，使点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则图中△CDF的周长为　 　.
10．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上连接AE.若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为　 　.
11．已知圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，则此圆锥的侧面积为　 　cm2．
三、计算题
12．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′ OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
四、解答题
13．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数．
五、作图题
14．在一次黑板报的评选中，九年级（1）班获得了第一名，其中小颖同学的图案得到了大家的一致好评.她设计的图案是由如图所示的三角形图案绕上面的点按同一个方向依次旋转，，得到的图形组成的，请你画出这个图案，并描述这个图案像什么.
六、综合题
15．如图，已知Rt△ABD中，∠A＝90°，将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，使BC∥AD，过点C作CE⊥BD于点E.
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠ABD＝30°，BE=3，求弧CD的长.
16．如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC＞AD．
下面的证法供你参考：
把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接ED，则有△ACD≌△ABE，DC=EB，∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE．在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞AD
实践探索：
（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：
如图3，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合）．求证：BD+DC＞ AD．
（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论．
（3）已知：如图4，等腰△ABC中，AB=AC，且∠BAC=α（α为钝角），D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC=180°，BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
17．如图， ， 是正六边形的两条对角线.在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：
（1）　 　；
（2）　 　.
七、实践探究题
18．如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．
【探究证明】
（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；
（2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．
（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为　 　，　 　；
（4）图n中，“叠弦三角形”　 　等边三角形（填“是”或“不是”）
（5）图n中，“叠弦角”的度数为　 　（用含n的式子表示）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
2．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
3．【答案】D
【知识点】圆周角定理
4．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
6．【答案】
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
7．【答案】5π+10
【知识点】弧长的计算
8．【答案】3
【知识点】弧长的计算
9．【答案】
【知识点】旋转的性质；三角形的中位线定理
10．【答案】52°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
11．【答案】18π
【知识点】扇形面积的计算
12．【答案】【解答】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，∵OA′ OA=42，而r=4，OA=8，∴OA′=2，∵OB′ OB=42，∴OB′=4，即点B和B′重合，∵∠BOA=60°，OB=OC，∴△OBC为等边三角形，而点A′为OC的中点，∴B′A′⊥OC，在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=，∴A′B′=4sin60°=．
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
13．【答案】（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，
AB=BC，∠ABC=∠C=120°，
在△ABG与△BCH中 ，
∴△ABG≌△BCH；
（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，
∴∠BAG=∠HBC，
∴∠BPG=∠ABG=120°，
∴∠APH=∠BPG=120°．
【知识点】圆内接四边形的性质
14．【答案】解：如图所示：这个图案像风车.
【知识点】利用旋转设计图案
15．【答案】（1）证明：∵∠A=90°，CE⊥BD ∴∠A=∠BEC=90°
∵BC∥AD
∴∠ADB=∠EBC
∵旋转，
∴BD=BC’
∴ △ABD≌△ECB
（2）解：∵ △ABD≌△ECB
∴AD=BE=3
∵∠A=90°，∠ABD=30°
∴BD=2AD=6
∵BC ∥ AD
∴∠A+∠ABC=180°
∴∠ABC=90， ∠DBC=60°
.
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
16．【答案】（1）解：把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接ED
则有△ACD≌△ABE，DC=EB，∵AD=AE，∠DAE=90°∴△ADE是等腰直角三角形∴DE= AD，在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞ AD
（2）解：把△ABD旋转，使AB与AC重合，然后绕AC旋转，得到△ACD′，则BD=CD′，在△CDD′中，CD+CD′＞DD′，即BD+CD＞DD′，∵△ADD′是钝角三角形，则DD′＞ AD当D运动到B的位置时，DD′=BC= AD．∴BD+DC≥ AD
（3）解：猜想1：BD+DC＜2AD证明如下：如图，把△ACD绕点A顺时针旋转α，得到△ABE则有△ACD≌△ABE，DC=EB，∠ACD=∠ABE，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°，∴∠ABD+∠ABE=180°，
即：E、B、D三点共线．∵AD=AE，∴在△ADE中，AE+AD＞ED，即BD+DC＜2AD．
【知识点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；旋转的性质
17．【答案】（1）∠F=∠E
（2）∠F=120°
【知识点】圆内接正多边形
18．【答案】（1）解：如图1，
∵四ABCD是正方形，
由旋转知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，
∴∠DAP=∠D'AO，
∴△APD≌△AOD'（ASA）
∴AP=AO，
∵∠OAP=60°，
∴△AOP是等边三角形，
（2）解：如图2，
作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．
∵五ABCDE是正五边形，
由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°
∴∠EAP=∠E'AO
∴△APE≌△AOE'（ASA）
∴∠OAE'=∠PAE．
在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°， AE=AB
∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS），
∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．
在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AO，AM=AN
∴Rt△APM≌Rt△AON （HL）．
∴∠PAM=∠OAN，
∴∠PAE=∠OAB
∴∠OAE'=∠OAB （等量代换）．
【归纳猜想】
（3）15°；24°
（4）是
（5）60°﹣
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定；旋转的性质；正多边形的性质
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第三章圆的基本性质（能力提升）检测题
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°．把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB'C'，若AB=4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（　　）
A．π B．π C．2π D．4π
2．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BDE＝78°36'，则∠BOC的度数（　　）
A．157°12' B．156°48′ C．78°12' D．156°28′
3．如图，AB是⊙O直径，若∠D=30°，则∠AOE的度数是（　　）
A．30° B．60° C．100° D．120°
4．在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题:
甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦.下面对这两个命题的判断,正确的是（　　）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错
5．一个多边形的每一外角都等于 ，那么这个多边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为　 　．
7．如图，正方形的空地内部要做一个绿化带（阴影部分），已知正方形ABCD外切于⊙O，且边长为10米，则绿化带的周长为　 　．（结果保留π）
8．若扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为　 　.
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2.将△ABC绕点C旋转得到△EDC，使点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则图中△CDF的周长为　 　.
10．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上连接AE.若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为　 　.
11．已知圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，则此圆锥的侧面积为　 　cm2．
三、计算题
12．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′ OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
四、解答题
13．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数．
五、作图题
14．在一次黑板报的评选中，九年级（1）班获得了第一名，其中小颖同学的图案得到了大家的一致好评.她设计的图案是由如图所示的三角形图案绕上面的点按同一个方向依次旋转，，得到的图形组成的，请你画出这个图案，并描述这个图案像什么.
六、综合题
15．如图，已知Rt△ABD中，∠A＝90°，将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，使BC∥AD，过点C作CE⊥BD于点E.
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠ABD＝30°，BE=3，求弧CD的长.
16．如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC＞AD．
下面的证法供你参考：
把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接ED，则有△ACD≌△ABE，DC=EB，∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE．在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞AD
实践探索：
（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：
如图3，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合）．求证：BD+DC＞ AD．
（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论．
（3）已知：如图4，等腰△ABC中，AB=AC，且∠BAC=α（α为钝角），D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC=180°，BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
17．如图， ， 是正六边形的两条对角线.在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：
（1）　 　；
（2）　 　.
七、实践探究题
18．如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．
【探究证明】
（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；
（2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．
（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为　 　，　 　；
（4）图n中，“叠弦三角形”　 　等边三角形（填“是”或“不是”）
（5）图n中，“叠弦角”的度数为　 　（用含n的式子表示）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
2．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
3．【答案】D
【知识点】圆周角定理
4．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
6．【答案】
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
7．【答案】5π+10
【知识点】弧长的计算
8．【答案】3
【知识点】弧长的计算
9．【答案】
【知识点】旋转的性质；三角形的中位线定理
10．【答案】52°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
11．【答案】18π
【知识点】扇形面积的计算
12．【答案】【解答】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，∵OA′ OA=42，而r=4，OA=8，∴OA′=2，∵OB′ OB=42，∴OB′=4，即点B和B′重合，∵∠BOA=60°，OB=OC，∴△OBC为等边三角形，而点A′为OC的中点，∴B′A′⊥OC，在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=，∴A′B′=4sin60°=．
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
13．【答案】（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，
AB=BC，∠ABC=∠C=120°，
在△ABG与△BCH中 ，
∴△ABG≌△BCH；
（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，
∴∠BAG=∠HBC，
∴∠BPG=∠ABG=120°，
∴∠APH=∠BPG=120°．
【知识点】圆内接四边形的性质
14．【答案】解：如图所示：这个图案像风车.
【知识点】利用旋转设计图案
15．【答案】（1）证明：∵∠A=90°，CE⊥BD ∴∠A=∠BEC=90°
∵BC∥AD
∴∠ADB=∠EBC
∵旋转，
∴BD=BC’
∴ △ABD≌△ECB
（2）解：∵ △ABD≌△ECB
∴AD=BE=3
∵∠A=90°，∠ABD=30°
∴BD=2AD=6
∵BC ∥ AD
∴∠A+∠ABC=180°
∴∠ABC=90， ∠DBC=60°
.
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
16．【答案】（1）解：把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接ED
则有△ACD≌△ABE，DC=EB，∵AD=AE，∠DAE=90°∴△ADE是等腰直角三角形∴DE= AD，在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞ AD
（2）解：把△ABD旋转，使AB与AC重合，然后绕AC旋转，得到△ACD′，则BD=CD′，在△CDD′中，CD+CD′＞DD′，即BD+CD＞DD′，∵△ADD′是钝角三角形，则DD′＞ AD当D运动到B的位置时，DD′=BC= AD．∴BD+DC≥ AD
（3）解：猜想1：BD+DC＜2AD证明如下：如图，把△ACD绕点A顺时针旋转α，得到△ABE则有△ACD≌△ABE，DC=EB，∠ACD=∠ABE，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°，∴∠ABD+∠ABE=180°，
即：E、B、D三点共线．∵AD=AE，∴在△ADE中，AE+AD＞ED，即BD+DC＜2AD．
【知识点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；旋转的性质
17．【答案】（1）∠F=∠E
（2）∠F=120°
【知识点】圆内接正多边形
18．【答案】（1）解：如图1，
∵四ABCD是正方形，
由旋转知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，
∴∠DAP=∠D'AO，
∴△APD≌△AOD'（ASA）
∴AP=AO，
∵∠OAP=60°，
∴△AOP是等边三角形，
（2）解：如图2，
作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．
∵五ABCDE是正五边形，
由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°
∴∠EAP=∠E'AO
∴△APE≌△AOE'（ASA）
∴∠OAE'=∠PAE．
在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°， AE=AB
∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS），
∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．
在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AO，AM=AN
∴Rt△APM≌Rt△AON （HL）．
∴∠PAM=∠OAN，
∴∠PAE=∠OAB
∴∠OAE'=∠OAB （等量代换）．
【归纳猜想】
（3）15°；24°
（4）是
（5）60°﹣
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定；旋转的性质；正多边形的性质
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