{浙教版九上同步练习} 第三章 圆的基本性质（培优）检测题（含答案）

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第三章圆的基本性质（培优）检测题
一、单选题
1．如图，在矩形ABCD中，，，E是BC的中点，将沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则CF的长为（　　）
A． B． C． D．
2．已知锐角∠AOB如图，
⑴在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作 ，交射线OB于点D，连接CD；
⑵分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交 于点M，N；
⑶连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）
A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CD D．MN=3CD
3．如图，⊙O外接于△ABC，AD为⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图，在平面直角坐标中，过格点A，B，C做一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的格点的坐标是（　　）
A．(0，3) B．(5，1) C．(6，1) D．(7，1)
5．如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为 （　　）
A．80米 B．96米 C．64米 D．48米
二、填空题
6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD、AD上，则AP+PQ最小值为　 　．
7．如图，抛物线 过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C.若点P为线段OC上的动点，连结BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P从点O运动到点C时，点N运动路径的长为　 　。
8．如图，已知等边 的边长为8，以 为直径的 与边 、 分别交于 、 两点，则劣弧 的长为　 　.
9．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝75°，以C为旋转中心将△ABC顺时针旋转，当点B落在AB上点D处时，点A的对应点为E，则阴影部分面积为　 　.
10．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为　 　.
11．如图，在中，，半径为3cm的是的内切圆，连接、，则图中阴影部分的面积是　 　cm2.（结果用含的式子表示）
三、计算题
12．已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，求AB与CD的长．
四、解答题
13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB．
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD．求证：△ABE是等边三角形．
五、作图题
14．如图，从正三角形出发，利用旋转，作一个飞鸟图．请你也利用正三角形用旋转设计一个图案．
六、综合题
15．如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线.点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1.
（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；
（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F， ，判断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由.
16．情境观察：
（1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．
①写出图1中所有的全等三角形　 　；
②线段AF与线段CE的数量关系是　 　．
（2）如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E．
求证：AE=2CD．
（3）如图3，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，点D在AC上，∠EDC= ∠BAC，DE⊥CE，垂足为E，DE与BC交于点F．求证：DF=2CE．
要求：请你写出辅助线的作法，并在图3中画出辅助线，不需要证明．
17．如图1，半径为R的⊙O内接一个正十边形，AB是其中一条边．
（1）用R和含18°的三角函数的式子表示边长AB.
（2）如图2，作∠ABO的平分线与半径OA交于点C，试猜想（1）中）18°的三角函数和黄金比有怎样的关系，并说明理由.
七、实践探究题
18．定义：如图1，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．
（1）已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则　 　．
（2）如图，在等腰直角中，，、为直线上两点，满足．
①如图2，点、在线段上，求证：点、是线段的勾股分割点；
②如图3，若点在线段上，点在线段的延长线上，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
2．【答案】D
【知识点】平行线的判定；等边三角形的判定与性质；圆周角定理
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
4．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；垂径定理
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
6．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定与性质
7．【答案】
【知识点】勾股定理；弧长的计算
8．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
9．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
10．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
11．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
12．【答案】解：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，由勾股定理得：AB= =10，∵S△ABC= AB CD= AC BC，∴CD= = =4.8
【知识点】勾股定理
13．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB
（2）解：∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形．
【知识点】圆内接四边形的性质
14．【答案】解：先以等边三角形的一边为基础画一个基本图形，再绕等边三角形的两个顶点分别旋转60°后删除原等边三角形.
如图所示：
【知识点】利用旋转设计图案
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵△AB1E1是△ABE旋转所得的，
∴AE=AE1，∠AB1E1=∠AB1E=∠B=90°，
∴B1是EE1的中点，
∴EB1= EE1，
∵M、N分别是AE和AE1的中点，
∴MN∥EB1，MN= EE1，
∴EB1=MN，
∴四边形MEB1N为平行四边形，
（2）解：△AE1F≌△CEB1，
证明：连接FC，
∵EB1=B1E1=E1F，
∴S△AE1F＝S△AEB1＝S△AE1B1= S△EAF，
同理，S△EB1C= SFEC，
∵S△AE1F=S△EB1C，
∴S△EAF=S△FEC，
∵AF∥EC，
∴△AEF底边AF上的高和△FEC底边上的高相等.
∴AF=EC.
∵AF∥EC，
∴∠AFE=∠FEC，
在△AE1F和△CEB1中，
，
∴△AE1F≌△CEB1（SAS）.
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
16．【答案】（1）△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；AF=2CE 问题探究：
（2）证明：延长AB、CD交于点G，如图2‘所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠GAD，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ADG=90°，
在△ADC和△ADG中，
，
∴△ADC≌△ADG（ASA），
∴CD=GD，即CG=2CD，
∵∠BAC=45°，AB=BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBG=90°，
∴∠G+∠BCG=90°，
∵∠G+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠BCG，
在△ABE和△CBG中，
，
∴△ADC≌△CBG中（ASA），
∴AE=CG=2CD
拓展延伸：
（3）解：作DG⊥BC交CE的延长线于G，
如图3所示．
【知识点】全等三角形的判定与性质
17．【答案】（1）解：作OD⊥AB，如图.
由题意，得 ，
∵OA=OB，OD⊥AB，
∴∠AOD=18°，AD=AB，
；
（2）解： 平分 ，
.
，
由(1)得，AB=2Rsin18"，
解得 ： (舍负)，
即 .
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接正多边形；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
18．【答案】（1）
（2）解：①证明：∵，，
∴，
将绕点C逆时针旋转得到，连接，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点、是线段的勾股分割点；
②将绕点C逆时针旋转得到，连接，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理的应用；旋转的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
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