{浙教版九上同步练习} 4.5 两个相似三角形的性质及应用（含答案）

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{浙教版九上同步练习}
4..5两个相似三角形的性质及应用
一、单选题
1．如图， 中，点 、 分别在 、 上， ， ，则 与四边形 的面积的比为（　　）
A． B． C． D．
2．在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比.如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（　　）
A．18米 B．16米 C．20米 D．15米
3．在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：如图1，甲组测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．如图2，乙组测得学校旗杆的影长为900cm．则旗杆的长为（　　）.
A．900cm B．1000cm C．1100cm D．1200cm
4．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影子长DE＝1.8m，窗户下沿到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（　　）
A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m
5．下列命题中，正确的个数是（　　）
①等边三角形都相似；②直角三角形都相似；③等腰三角形都相似；④锐角三角形都相似；⑤等腰三角形都全等；⑥有一个角相等的等腰三角形相似；⑦有一个钝角相等的两个等腰三角形相似；⑧全等三角形相似．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC．若AE＝6，EC＝3，DE＝8，则BC＝　 　．
7．如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C.若AC＝4，BC＝2，CD＝1，则CE的长为　 　.
8．如图，在中，点D在边上，，与边交于点E，连接．记，的面积分别为，．
（1）若是的中位线，则　 　；
（2）若，，则线段的长为 　 　．
9．如图△ABC中，G为重心，若AG=2，则AD=　 　。
10．如图，在 中， ， ，D为BC边上的一点，且 .若 的面积为1，则 的面积为　 　.
11． 如图，，若，，，则　 　．
三、解答题
12．如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，求证：AB2=AD AC．
13．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．
四、作图题
14．画出下图中 的重心.
五、综合题
15．问题提出：已知矩形，点为上的一点，，交于点．将绕点顺时针旋转得到，则与有怎样的数量关系．
（1）【问题探究】
探究一：如图，已知正方形，点为上的一点，，交于点．
如图1，直接写出的值　 　；
（2）将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接、，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
（3）探究二：如图，已知矩形，点为上的一点，，交于点．
如图3，若四边形为矩形，，将绕点顺时针旋转得到、的对应点分别为、点，连接、，则的值是否随着的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值．
（4）【一般规律】
如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出与的数量关系．
16．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=3 cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为 cm/s；若设运动的时间为t(s)(0＜t＜3)，解答下列问题：
（1）如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；
（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；
（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．
17．如图，在 中， 为 上一点， .
（1）求证： .
（2）若 ，求 的长.
18．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE，DE．AC与DE相交于点F．
（1）求证：△ADF∽△CEF；
（2）若AD=4，AB=6，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
2．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
6．【答案】12
【知识点】相似三角形的判定与性质
7．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
8．【答案】；．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
9．【答案】3
【知识点】三角形的重心及应用
10．【答案】4
【知识点】相似三角形的判定与性质
11．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
12．【答案】解∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴ ，
∴AB2=AD AC．
【知识点】相似三角形的判定与性质
13．【答案】解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠CBA＝∠EDA＝90°，∵∠CAB＝∠EAD，∴ ABC∽ ADE，∴ ，又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5，∴ ，∴AB＝17，即河宽为17米
【知识点】相似三角形的判定与性质
14．【答案】解：如解图所示，作三角形的两条中线交于点 ，点 即为所求.
【知识点】三角形的重心及应用；作图-线段垂直平分线
15．【答案】（1）
（2）解：，
理由：由（1）知，，，
，
由旋转知，，
，
，
；
（3）解：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到
即
；
（4）解：如图3，四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
即．
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
16．【答案】（1）解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=3cm，
∴AB=6，
由运动知，BP=2t，AQ= ，
∴AP=6﹣2t，
∵△APC∽△ACB，
∴t= ；
（2）解：存在，
理由：如图②，由运动知，BP=2t，AQ= ，
∴AP=6﹣2t，CQ= ，
∵点P是CQ的垂直平分线上，
过点P作PM⊥AC，
∴QM=CM=
∴AM=AQ+QM= = (3+t)
∵∠ACB=90°，∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC
∴
∴解得t=1；
（3）解：不存在
理由：由运动知，BP=2t， ，
∴AP=6﹣2t，
假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，
∴PQ∥BG，PQ=BG，
∴△APQ∽△ABC， ，
∴ ，
∴BP=2t=3，
∴PQ≠BP，
∴平行四边形PQGB不可能是菱形．即：线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；相似三角形的判定与性质
17．【答案】（1）证明：如图所示：
，
∴
（2）解： ，
，即 ，
解得： ，
【知识点】相似三角形的判定与性质
18．【答案】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB．
（2）解：∵E为AB的中点，∴CE= AB=AE，∴∠EAC=∠ECA；∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF；
∵CE= AB=3，AD=4，∴ = = ，∴ =
【知识点】平行线的判定；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
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