【浙教版九上同步练习】 第四章 相似三角形（能力提升）检测题（含答案）

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【浙教版九上同步练习】
第四章相似三角形（能力提升）检测题
一、单选题
1．如图，在正△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且 ＝ ，AE=BE，则有（　　）
A．△AED∽△ABC B．△ADB∽△BED
C．△BCD∽△ABC D．△AED∽△CBD
2．如图所示，若，则需满足（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），且BC＝3，则线段EF的长度为（　　）
A．2 B．4 C． D．6
4．如图，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA=4，OA′=8，则四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的周长的比为（　　）

A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
5．如图，在平行四边形 中， 为 的中点， ， 交于点 ，若随机向平行四边形 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相似的是（　　）
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
二、判断题
7．把线段比例尺 改写成数字比例尺是 。
8．比例尺既可以大于1，也可以小于1，就是不能等于1。
9．判断对错.任何图纸上的图上距离都小于实际距离
10．一幅图的比例尺是1：200000厘米。
11．判断对错。
比例尺是一个长度单位。
三、填空题
12．如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是　 　．
13．有一块多边形草坪，在设计图纸上的面积为300cm2，其中一条边的长度为5cm，经测量，这条边的实际长度为15m，则这块草坪的实际面积是　 　.
14．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF=　 　．
15．如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m.则旗杆的高度为　 　m.
16．如图，正方形ABCD中，，，点P在BC上运动（不与B，C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为　 　.
四、计算题
17．已知a、b、c满足 ，且 ，分别求出a、b、c的值.
18．
（1）先化简，再求值： ，其中 ， ；
（2）若 ，求 的值.
五、解答题
19．已知有一块三角形材料，其中，高，现需要在三角形上裁下一个正方形材料做零件，使得正方形的顶点、分别在边，上，、在上，裁下的正方形的边长是多少？
20．如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2=PA PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D．
（1）求证：△PAE∽△PEC；
（2）求证：PE为⊙O的切线；
（3）若∠B=30°，AP=AC，求证：DO=DP．
六、综合题
21．如图1，△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上，且BE=CD，EP∥AC交直线CD于点P，交直线AB于点F，∠ADP=∠ACB．
（1）图1中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；
（2）若将“点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上”改为“点D在线段BA延长线上，点E在线段BC延长线上”，其他条件不变（如图2）．当∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2时，求线段PE的长．
22．如图，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点O）20米的点A沿AO方向行走14米到点C处，小明在A处，头顶B在路灯投影下形成的影子在M处．
（1）已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小明在C处，头顶D在路灯投影下形成的影子N的位置．
（2）若路灯（点P）距地面8米，小明从A到C时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
23．如图，在正方形 中，点 是对角线上一点， 的延长线交 于点 ，交 的延长线于点 ，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
七、实践探究题
24．“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC．
（1）实践与操作：利用尺规作∠B的平分线，交边AC于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）猜想与证明：请你利用所学知识，证明点D是边AC的黄金分割点．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
4．【答案】A
【知识点】位似变换
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
7．【答案】正确
【知识点】比例尺
8．【答案】错误
【知识点】比例尺
9．【答案】错误
【知识点】比例尺
10．【答案】错误
【知识点】比例尺
11．【答案】错误
【知识点】比例尺
12．【答案】－1
【知识点】点的坐标；相似三角形的判定与性质
13．【答案】2700m2
【知识点】相似多边形的性质
14．【答案】5
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
15．【答案】12
【知识点】相似三角形的应用
16．【答案】4
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
17．【答案】解：设 .
可得： ，
把a、b、c代入 ，得： ，
所以 ， ， .
【知识点】比例的性质
18．【答案】（1）解：原式
，
当 ， 时，
原式 ；
（2）解：原式
当 时，即 ，
原式 ；
【知识点】代数式求值；分式的化简求值；比例的性质；利用整式的混合运算化简求值
19．【答案】解：∵正方形的边在上，
，
∴，
∵是的高，
∴，
∴设，则，
∴，
∴解得：，
∴这个正方形零件的边长为.
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
20．【答案】（1）解：∵PE2=PA PC，
∴ ，
∵∠APE=∠EPC，
∴△PAE∽△PEC；
（2）如图1，
连接BE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠OBE=∠PCE，
∴∠OEB=∠PCE，
∵△PAE∽△PEC，
∴∠PEA=∠PCE，
∴∠PEA=∠OEB，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠OEB+∠OEA=90°，
∵∠PEA+∠OEA=90°，
∴∠OEP=90°，
∵点E在⊙O上，
∴PE是⊙O的切线；
（3）如图，
过点O作OM⊥AC于M，
∴AM= AC，
∵BC⊥AC，
∴OM∥BC，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOM=30°，
∴OM= AM= AC，
∵AP= AC，
∴OM= AP，
∵PC=AC+AP=2AP+AP=3AP，
∴PE2=PA×PC=PA×3PA，
∴PE= PA，
∴OM=PE，
∵∠PED=∠OMD=90°，∠ODM=∠PDE，
∴△ODM≌△PDE，
∴OD=DP．
【知识点】全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
21．【答案】（1）解：AC=BF．证明如下：
如图1，∵∠ADP=∠ACD+∠A，∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠ADP=∠ACB，
∴∠BCD=∠A，
又∵∠CBD=∠ABC，
∴△CBD∽△ABC，
∴ = ，①
∵FE∥AC，
∴ = ，②
由①②可得， = ，
∵BE=CD，
∴BF=AC；
（2）解：如图2，∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠ACB=30°=∠ADP，
∴∠BCD=60°，∠ACD=60°﹣30°=30°，
∵PE∥AC，
∴∠E=∠ACB=30°，∠CPE=∠ACD=30°，
∴CP=CE，
∵BE=CD，
∴BC=DP，
∵∠ABC=90°，∠D=30°，
∴BC= CD，
∴DP= CD，即P为CD的中点，
又∵PF∥AC，
∴F是AD的中点，
∴FP是△ADC的中位线，
∴FP= AC，
∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴AB= AC，
∴FP=AB=2，
∵DP=CP=BC，CP=CE，
∴BC=CE，即C为BE的中点，
又∵EF∥AC，
∴A为FB的中点，
∴AC是△BEF的中位线，
∴EF=2AC=4AB=8，
∴PE=EF﹣FP=8﹣2=6．
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
22．【答案】（1）解：如图
（2）解：设在A处时影长AM为x米，在C处时影长CN为y米
由 ，解得x=5，
由 ，解得y=1.5，
∴x﹣y=5﹣1.5=3.5
∴变短了，变短了3.5米．
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的应用
23．【答案】（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDB=45°，
又AD=CD，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG=CG；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，
∴∠FCB=∠F，
由（1）可知△ADG≌△CDG，
∴∠DAG=∠DCG，
∴∠DAB-∠DAG=∠DCB-∠DCG，即∠BCF=∠BAG，
∴∠EAG=∠F，
又∠EGA=∠AGF，
∴△AEG∽△FAG，
∴ ，即GA2=GE GF，
∴GA=3或GA=-3（舍去），
根据（1）中的结论AG=CG，
∴CG=3.
【知识点】平行线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
24．【答案】（1）解：如图所示，BD即为所求；
（2）证明：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∴AD＝BD，∠BDC＝72°，
∴BD＝BC，
∴AD＝BC，
∵∠BCD＝∠ACB，∠CBD＝∠CAB，
∴△BCD∽△ACB，
∴BC：AC＝CD：BC，
∴AD：AC＝CD：AD，
∴AD2＝CD CA，
∴点D是边AC的黄金分割点．
【知识点】黄金分割；作图-角的平分线
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