【浙教版九上同步练习】 第四章 相似三角形（培优）检测题（含答案）
文档属性
| 名称 | 【浙教版九上同步练习】 第四章 相似三角形（培优）检测题（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 7.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-01 16:56:27 | ||
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文档简介
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【浙教版九上同步练习】
第四章相似三角形（培优）检测题
一、单选题
1．如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（ ）
A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C． D．AC2=AD AB
2．图，在中，P为AB上一点，在下列四个条件中不能判定和相似的条件是（ ）
A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB
C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4）．点A在 轴的正半轴上，点C在 轴的正半轴上，点P是BC的中点．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P1，则P1的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（3，2）或（ ， ）
C．（3，3）或（ ， ） D．（2，3）或（ ， ）
4．如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
5．如图，在等腰 中， 是 内一点，过点 作三边 ， 的垂线段， 垂足分别为 ，若 ，则 两点间距离是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（ ）
A．△PAB∽△PCA B．△PAB∽△PDA
C．△ABC∽△DBA D．△ABC∽△DCA
二、判断题
7．判断对错一幅地图的比例尺是10∶1，说明图上距离是实际距离的10倍，它是缩小比例尺
8．判断对错.在绘制图纸时，比例尺不一样，图的大小也不一样．
9．判断对错．按照比例尺画的设计图，图上面积和实际面积的比例相同．
10．一幅图的比例尺是1：200000厘米。
11．判断对错。
比例尺是一个长度单位。
三、填空题
12．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝ ，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 .
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，M、N分别是AD、BC的中点，连接MN，则MN将矩形ABCD分成两个矩形，若矩形DMNC与矩形ABCD相似，则AD的长为 ．
14．如图，在矩形 ， ， ， 为线段 上的一动点，且和 ， 不重合，连接 ，过点 作 交 于 ，将 沿 翻折到平面内，使点 恰好落在 边上的点 ，则 长为 .
15．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭的高度为米，小明到凉亭的距离为米，凉亭与观景台底部的距离为米，小杰身高为米．那么观景台的高度为 米．
16．如图，正方形的边长为3，E是边上一点， ，将沿折叠到，延长交于点F．过点E作，交于点P，交的延长线于点H，则= ．
四、计算题
17．
（1）计算：2cos60°+4sin60° tan30°﹣6cos245°.
（2）已知：线段a、b、c，且 .a+b+c＝27，求a﹣b+c的值.
18．先化简再求值：（ + ）÷ ，其中a＝3．
五、解答题
19． 如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC．过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证： BD2=AD·CD；
（2）若CD=6．AD=8，求MC的长．
20．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，四边形ABDE是等腰梯形，AE∥BD，证明：∠C=∠DEB．
六、综合题
21．如图，在四边形 中，AD BC， .对角线 交于点 平分 交 于点 ，连接 .
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， = ，求△ 的面积.
22．如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是（5，2），点P是CB边上一动点（不与点C、点B重合），连结OP、AP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E，交CB边于点M，且∠AOP=∠COM，令CP=x，MP=y．
（1）当x为何值时，OP⊥AP？
（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在x，使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的面积？若存在，请求x的值；若不存在，请说明理由．
23．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC= ，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
七、实践探究题
24． 阅读材料，完成下面问题：
如图，点A是直线外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图．
（1）在直线上任取一点，画线段．（2）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交直线于点．（3）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线（4）以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点，画直线．
（1）利用，可得到平分，请根据作图过程，直接写出这两个三角形全等的判定依据；
（2）若，，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
3．【答案】C
【知识点】位似变换
4．【答案】D
【知识点】相似多边形的性质；位似变换
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
7．【答案】错误
【知识点】比例尺
8．【答案】正确
【知识点】比例尺
9．【答案】错误
【知识点】比例尺
10．【答案】错误
【知识点】比例尺
11．【答案】错误
【知识点】比例尺
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
13．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
14．【答案】 或1
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
15．【答案】22.3
【知识点】相似三角形的应用
16．【答案】1：6
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
17．【答案】（1）解： 原式＝ .
（2）解：设 ，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b+c＝27，
∴2k+3k+4k＝27，
∴k＝3，
∴a＝6，b＝9，c＝12，
∴a﹣b+c＝6﹣9+12＝9.
【知识点】比例的性质；特殊角的三角函数值
18．【答案】解：原式＝（ + ） ＝ ＝ ；
当a＝3时，原式＝ ＝ ．
【知识点】分式的化简求值
19．【答案】（1）解：∵ DB平分∠ADC
∴ ∠ADB=∠BDC
∵ ∠ABD=∠BCD=90°
∴
∴
∴ BD2=AD·CD
（2）解：由（1）知 BD2=AD·CD；
∵ CD=6．AD=8
∴ BD2=48
∴ BD=
∵ ∠BCD=90°
∴ BD2=BC2+CD2；
∴ BC==
∴ ∠BDC=∠ADB=30°，
∵ BM∥CD， ∠BCD=90°
∴∠MBC=90°，∠MBD=∠BDC=30°，∠A=∠AMB=60°
∴ BM=MD=AM
∴ BM=
∴ MC=
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定与性质
20．【答案】证明：由ABDE是等腰梯形，得AB=ED，AD=BE．
由矩形ABCD，得AB=DC，AD=BC，
所以BE=BC，ED=CD．
在△EBD和△CBD中
∴△EBD≌△CBD（SSS），
∴∠BED=∠C．
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；等腰梯形的性质
21．【答案】（1）证明： ，
，
∵ ，
，
∴四边形 是矩形.
（2）解：在 中， ，
，
由（1）已证：四边形 是矩形，
，
平分 ，
，
，
，
，
则 的面积为 .
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；角平分线的定义
22．【答案】（1）解：由题意知，OA=BC=5，AB=OC=2，∠B=∠OCM=90°，BC∥OA，
∵OP⊥AP，
∴∠OPC+∠APB=∠APB+∠PAB=90°，
∴∠OPC=∠PAB，
∴△OPC∽△PAB，
∴ ，即 ，
解得x1=4，x2=1（不合题意，舍去）．
∴当x=4时，OP⊥AP
（2）解：∵BC∥OA，
∴∠CPO=∠AOP，
∵∠AOP=∠COM，
∴∠COM=∠CPO，
∵∠OCM=∠PCO，
∴△OCM∽△PCO，
∴ ，即 ，
∴ ，x的取值范围是2＜x＜5；
（3）解：假设存在x符合题意，
过E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，则DF=AB=2，
∵△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积，
∴ ，
∴ED=4，EF=2，
∵PM∥OA，
∴△EMP∽△EOA，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴由（2） 得， ，
解得 （不合题意舍去），
∴在点P的运动过程中，存在 ，使△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积．
【知识点】相似三角形的应用
23．【答案】（1）解：∵AD=BC，BC= ，
∴AD= ，DC=1﹣ = ．
∴AD2= = ，AC CD=1× = ．
∴AD2=AC CD．
（2）解：∵AD=BC，AD2=AC CD，∴BC2=AC CD，即 ．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴ ，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°
【知识点】相似三角形的判定与性质
24．【答案】（1）解：
（2）解：过点A作，由作图得，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∴
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
v
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【浙教版九上同步练习】
第四章相似三角形（培优）检测题
一、单选题
1．如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（ ）
A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C． D．AC2=AD AB
2．图，在中，P为AB上一点，在下列四个条件中不能判定和相似的条件是（ ）
A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB
C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4）．点A在 轴的正半轴上，点C在 轴的正半轴上，点P是BC的中点．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P1，则P1的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（3，2）或（ ， ）
C．（3，3）或（ ， ） D．（2，3）或（ ， ）
4．如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
5．如图，在等腰 中， 是 内一点，过点 作三边 ， 的垂线段， 垂足分别为 ，若 ，则 两点间距离是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（ ）
A．△PAB∽△PCA B．△PAB∽△PDA
C．△ABC∽△DBA D．△ABC∽△DCA
二、判断题
7．判断对错一幅地图的比例尺是10∶1，说明图上距离是实际距离的10倍，它是缩小比例尺
8．判断对错.在绘制图纸时，比例尺不一样，图的大小也不一样．
9．判断对错．按照比例尺画的设计图，图上面积和实际面积的比例相同．
10．一幅图的比例尺是1：200000厘米。
11．判断对错。
比例尺是一个长度单位。
三、填空题
12．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝ ，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 .
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，M、N分别是AD、BC的中点，连接MN，则MN将矩形ABCD分成两个矩形，若矩形DMNC与矩形ABCD相似，则AD的长为 ．
14．如图，在矩形 ， ， ， 为线段 上的一动点，且和 ， 不重合，连接 ，过点 作 交 于 ，将 沿 翻折到平面内，使点 恰好落在 边上的点 ，则 长为 .
15．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭的高度为米，小明到凉亭的距离为米，凉亭与观景台底部的距离为米，小杰身高为米．那么观景台的高度为 米．
16．如图，正方形的边长为3，E是边上一点， ，将沿折叠到，延长交于点F．过点E作，交于点P，交的延长线于点H，则= ．
四、计算题
17．
（1）计算：2cos60°+4sin60° tan30°﹣6cos245°.
（2）已知：线段a、b、c，且 .a+b+c＝27，求a﹣b+c的值.
18．先化简再求值：（ + ）÷ ，其中a＝3．
五、解答题
19． 如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC．过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证： BD2=AD·CD；
（2）若CD=6．AD=8，求MC的长．
20．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，四边形ABDE是等腰梯形，AE∥BD，证明：∠C=∠DEB．
六、综合题
21．如图，在四边形 中，AD BC， .对角线 交于点 平分 交 于点 ，连接 .
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， = ，求△ 的面积.
22．如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是（5，2），点P是CB边上一动点（不与点C、点B重合），连结OP、AP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E，交CB边于点M，且∠AOP=∠COM，令CP=x，MP=y．
（1）当x为何值时，OP⊥AP？
（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在x，使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的面积？若存在，请求x的值；若不存在，请说明理由．
23．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC= ，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
七、实践探究题
24． 阅读材料，完成下面问题：
如图，点A是直线外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图．
（1）在直线上任取一点，画线段．（2）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交直线于点．（3）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线（4）以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点，画直线．
（1）利用，可得到平分，请根据作图过程，直接写出这两个三角形全等的判定依据；
（2）若，，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
3．【答案】C
【知识点】位似变换
4．【答案】D
【知识点】相似多边形的性质；位似变换
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
7．【答案】错误
【知识点】比例尺
8．【答案】正确
【知识点】比例尺
9．【答案】错误
【知识点】比例尺
10．【答案】错误
【知识点】比例尺
11．【答案】错误
【知识点】比例尺
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
13．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
14．【答案】 或1
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
15．【答案】22.3
【知识点】相似三角形的应用
16．【答案】1：6
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
17．【答案】（1）解： 原式＝ .
（2）解：设 ，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b+c＝27，
∴2k+3k+4k＝27，
∴k＝3，
∴a＝6，b＝9，c＝12，
∴a﹣b+c＝6﹣9+12＝9.
【知识点】比例的性质；特殊角的三角函数值
18．【答案】解：原式＝（ + ） ＝ ＝ ；
当a＝3时，原式＝ ＝ ．
【知识点】分式的化简求值
19．【答案】（1）解：∵ DB平分∠ADC
∴ ∠ADB=∠BDC
∵ ∠ABD=∠BCD=90°
∴
∴
∴ BD2=AD·CD
（2）解：由（1）知 BD2=AD·CD；
∵ CD=6．AD=8
∴ BD2=48
∴ BD=
∵ ∠BCD=90°
∴ BD2=BC2+CD2；
∴ BC==
∴ ∠BDC=∠ADB=30°，
∵ BM∥CD， ∠BCD=90°
∴∠MBC=90°，∠MBD=∠BDC=30°，∠A=∠AMB=60°
∴ BM=MD=AM
∴ BM=
∴ MC=
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定与性质
20．【答案】证明：由ABDE是等腰梯形，得AB=ED，AD=BE．
由矩形ABCD，得AB=DC，AD=BC，
所以BE=BC，ED=CD．
在△EBD和△CBD中
∴△EBD≌△CBD（SSS），
∴∠BED=∠C．
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；等腰梯形的性质
21．【答案】（1）证明： ，
，
∵ ，
，
∴四边形 是矩形.
（2）解：在 中， ，
，
由（1）已证：四边形 是矩形，
，
平分 ，
，
，
，
，
则 的面积为 .
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；角平分线的定义
22．【答案】（1）解：由题意知，OA=BC=5，AB=OC=2，∠B=∠OCM=90°，BC∥OA，
∵OP⊥AP，
∴∠OPC+∠APB=∠APB+∠PAB=90°，
∴∠OPC=∠PAB，
∴△OPC∽△PAB，
∴ ，即 ，
解得x1=4，x2=1（不合题意，舍去）．
∴当x=4时，OP⊥AP
（2）解：∵BC∥OA，
∴∠CPO=∠AOP，
∵∠AOP=∠COM，
∴∠COM=∠CPO，
∵∠OCM=∠PCO，
∴△OCM∽△PCO，
∴ ，即 ，
∴ ，x的取值范围是2＜x＜5；
（3）解：假设存在x符合题意，
过E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，则DF=AB=2，
∵△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积，
∴ ，
∴ED=4，EF=2，
∵PM∥OA，
∴△EMP∽△EOA，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴由（2） 得， ，
解得 （不合题意舍去），
∴在点P的运动过程中，存在 ，使△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积．
【知识点】相似三角形的应用
23．【答案】（1）解：∵AD=BC，BC= ，
∴AD= ，DC=1﹣ = ．
∴AD2= = ，AC CD=1× = ．
∴AD2=AC CD．
（2）解：∵AD=BC，AD2=AC CD，∴BC2=AC CD，即 ．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴ ，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°
【知识点】相似三角形的判定与性质
24．【答案】（1）解：
（2）解：过点A作，由作图得，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∴
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
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