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浙教版2024-2025学年八年级上数学第2章特殊三角形 培优测试卷 1
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，故D符合题意．
故答案为：D.
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【答案】B
【解答】A、∵4 2+5 2≠6 2，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12= ，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
3．等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A．50° B．65°或50° C．65° D．80°
【答案】C
【解析】解：∵等腰三角形的顶角是50°，
∴底角为：（180°-50°）÷2=65°.
故答案为：C.
4．下列命题中是真命题的是（ ）
A．等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线
B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等
【答案】A
【解析】解：A、等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线（三线合一），A正确；
B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，B错误；
C、等腰三角形可能是锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，C错误；
D、有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定全等，D错误；
故答案为：A.
5．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米.若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．4米
【答案】A
【解析】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，
由题意可知：AB＝AC＝5米，CF＝3米，∠AFC=90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即 AF2+9=25，
解得：AF＝4米，
∴BF＝AB-AF＝5-4＝1米，
∴此时木马上升的高度为1米.
故答案为：A．
6．如图，的面积为，平分，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠CBP，
∵BP⊥AP，∴∠APB=∠BPD=90°，
∴∠BAP=∠BDP，∴AB=BD，
∴AP=PD，∴S△APB=S△BPD，S△APC=S△CPD，
∴S△APB+S△APC=S△BPD+S△CPD=S△BPC=S△ABC=×10=5.
故答案为：C.
7．在锐角中，，，高，则BC的长度为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】C
【解析】解：如图，
AD是锐角△ABC的高，
，，
在中，
在中，
故答案为：C.
8．如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：作交于点，则，
是边长为的等边三角形，，，
∵EG∥AC，∴∠BEG=∠A=60°，∠BGE=∠C=60°，
是等边三角形，
又点是边的中点，，，
，
，在和中，，
，
，
的长为，
故答案为：D
9．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝6，点D是BC边上一点，且BD＝2，点P是线段AB上一动点，则PC＋PD的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：过点C作CM⊥AB于M，延长CM到C′，使MC′＝MC，连接DC′，交AB于P，连接CP，如图：
此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．
∵∠ABC＝30°，
∴CM＝ BC，∠BCC′＝60°，
∴CC′＝2CM＝BC，
∴△BCC′是等边三角形，
作C′E⊥BC于E，
∴BE＝EC＝ BC＝3，C′E＝ BC＝3 ，
∵BD＝2，
∴DE＝1，
根据勾股定理可得 ．
故选：A．
10．如图，在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：∵，，，
∴BD=DC，∠ACB=∠ABC=30°，
∴OB=OC，
∴∠OBD=∠OCD，
∵OB=OP，
∴OC=OP，
∴∠APO=∠OCP，
∵∠OCP-∠OCB=∠ACB=30°，
∴，故①正确；
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠PBO，
∵∠PBO=∠PBA+∠ABD+∠OBC=∠PBA+30°+∠APO-30°，
∴∠PBO=∠PBA+∠APO，
∵在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即∠OPB+∠APO+∠PBA+∠ABC+∠ACB=180°，
∴2∠OPB+60°=180°，
∴∠OPB=60°，
∴△BPO是正三角形，故②正确；
在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，如图所示：
∵∠PAE=60°，
∴△PAE是等边三角形，
∴AP=PE=AE，∠APE=60°，
∵∠BPE=∠APB-∠APE，∠OPA=∠APB-∠BPO，
∴∠BPE=∠OPA，
∵OP=BP，
∴△BPE≌△OPA（SAS），
∴BE=AO，
∵AB-BE=AE，
∴AB-OA=AP，
∴，故③正确；
延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF=60°，
∵∠ABO+∠OBF=60°，∠ABO+∠PBA=60°，
∴∠PBA=∠OBF，
∵PB=OB，AB=BF，
∴△APB≌△FOB（SAS），
∴，
如要证，需证，由题意无法证明，故④错误；
所以正确的个数有3个；
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是
【答案】11或13
【解析】解：有两种情况：①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长=3+3+5=11；
②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长=5+5+3=13．
故答案为：11或13．
12．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米．
【答案】13
【解析】连接AB，过点B作BC∥地面交12米高的树于点C，如图，
由题意可得BC=12米，AC=12-7=5米，
由勾股定理可得(米)，
故答案为：13.
13．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．
【答案】15
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=∠CGD=30°，
∵DF=DE，
∴∠E=∠DFE=15°．
故答案为：15．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝1.3cm，则BF＝ cm．
【答案】2.6
【解析】∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC，
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），
∴S△ABC=2S△ABD=2×AB×DE=AB×DE=3AB，
∵S△ABC=AC×BF，
∴AC×BF=3AB，
∵AB=AC，
∴BF=1.3，
解得：BF=2.6，
故答案为：2.6.
15．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 .
【答案】3或 或
【解析】解：当 时，如图1，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
；
当 时，如图2，
，
，
，
在直角三角形 中，
；
， ，如图3，
，
，
为等边三角形，
，
故答案为3或 或 .
16．如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则 ．
【答案】
【解析】解：连接BG，
∵AD⊥BC，AB=AC，∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC，CD=BD=BC=6，
∵DE平分∠ADC，∴∠EDG=∠EDC，
∵EF⊥AB，
∴∠AFG=90°，∴∠FAG+∠AGF=90°即∠FAG+∠DGE=90°，
∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠DGE=∠C，
在△DGE和△DCE中
∴△DGE≌△DCE（AAS）
∴DG=CD=6；
∴AD=AG+DG=2+6=8，
在Rt△ABC中
，
，
∴，
解之：，
在Rt△AFG中：
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17． 如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且．
（1）求证：．
（2）连接AD，求证：AD⊥BC．
【答案】（1）证明：是的中点，，
，，
，
在Rt和中， ，
≌
；
（2）解：，
，
△ABC是等腰三角形，
是的中点，
是△ABC底边上的中线，
也是△ABC底边上的高， 即AD⊥BC
18．如图，，垂足分别为．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）；
（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，
∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC＝AB BC＝×4×3＝6，
∴S△ADC＝6，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，
答：四边形ABCD的面积是12．
19．如图，△ABC中，AB=AC，点E，D，F分别在三边上，且BE=CD，CF=BD．
（1）求证：△BDE≌△CFD；
（2）若∠EDF=50°，求∠A的度数．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（SAS）．
（2）解：∵△BDE≌△CFD，
∴∠BDE=∠CFD．
∵∠EDF=50°，
∴∠BDE+∠FDC=130°，
∴∠CFD+∠FDC=130°，
∴∠C=180°-∠CFD-∠FDC=50°，
∴∠B+∠C=2∠C=100°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=80°．
20．如图，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿线段BC方向，在线段BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在线段BC上方，作等边△AMN，连结CN．
（1）当∠BAM＝ °时，AB＝2BM；
（2）请添加一个条件： ，使得△ABC为等边三角形；当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC．
【答案】（1）30
（2）解：添加一个条件AB＝AC，可得△ABC为等边三角形；故答案为：AB＝AC；如图1中，
∵△ABC与△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM与△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴BM＝CN，∴AC＝BC＝CN+MC．
【解析】解：（1）当∠BAM＝30°时，
∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AB＝2BM；
故答案为：30；
21．如图，在等边中，点D，E分别在边上，且 与相交于点P，于点Q
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
22．如图，、都是等边三角形，、分别是的两条高，、交于点．
（1）求的度数
（2）连接
①求证：
②求的值
【答案】（1）解： 是等边三角形，是中点
，
同理，
（）；
（2）解：①证明：由（1）可得，
，，
（），
得，
在和中可得 ．
②设，由①得，
在中 ，，
又，所以，
所以．
23．如图，在中，，D是的中点，，，点E、F分别为垂足．
（1）若，则的度数为 ，的角度为 ；
（2）求证：是等腰三角形；
（3）当是等边三角形时，求的度数．
【答案】（1）40°；50°
（2）证明：∵，D是的中点，
∴，
∵，，
∴
在和中
∴
∴，
∴为等腰三角形．
（3）解：∵为等边三角形，
∴
∵，
∴
∵，，
∴
∴，
∴．
【解析】解：（1）∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠B=∠C=40°，
∵DF⊥AC，
∴∠FDC=90°-∠C=50°；
故答案为：40°；50°.
24． 如图，在等腰中，，，为上一点，于点．
（1）如图，若，求的度数．
（2）如图，过作于点，求证：≌．
（3）若，，，求的值．
【答案】（1）解：，，
，
，
，
；
（2）证明：，，
，，
，
在和中，
，
≌；
（3）解：，，
，
，
，
于点，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
的值为．
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浙教版2024-2025学年八年级上数学第2章特殊三角形 培优测试卷 1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
3．等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A．50° B．65°或50° C．65° D．80°
4．下列命题中是真命题的是（ ）
A．等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线
B．有一个角是60°的三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等
5．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米.若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．4米
（第5题） （第6题） （第8题） （第9题） （第10题）
6．如图，的面积为，平分，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．在锐角中，，，高，则BC的长度为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
8．如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝6，点D是BC边上一点，且BD＝2，点P是线段AB上一动点，则PC＋PD的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是
12．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米．
13．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝1.3cm，则BF＝ cm．
15．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 .
16．如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17． 如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且．
（1）求证：．
（2）连接AD，求证：AD⊥BC．
18．如图，，垂足分别为．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
19．如图，△ABC中，AB=AC，点E，D，F分别在三边上，且BE=CD，CF=BD．
（1）求证：△BDE≌△CFD；
（2）若∠EDF=50°，求∠A的度数．
20．如图，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿线段BC方向，在线段BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在线段BC上方，作等边△AMN，连结CN．
（1）当∠BAM＝ °时，AB＝2BM；
（2）请添加一个条件： ，使得△ABC为等边三角形；当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC．
21．如图，在等边中，点D，E分别在边上，且 与相交于点P，于点Q
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若，求的长．
22．如图，、都是等边三角形，、分别是的两条高，、交于点．
（1）求的度数
（2）连接
①求证：
②求的值
23．如图，在中，，D是的中点，，，点E、F分别为垂足．
（1）若，则的度数为 ，的角度为 ；
（2）求证：是等腰三角形；
（3）当是等边三角形时，求的度数．
24． 如图，在等腰中，，，为上一点，于点．
（1）如图，若，求的度数．
（2）如图，过作于点，求证：≌．
（3）若，，，求的值．
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