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浙教版2024-2025学年九年级上数学第3章圆的基本性质 培优测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在直角三角形中，，则的外接圆半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图所示，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE等于（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
3．如图， 是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的直径，点D，C在上，连接，，，如果，那么的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
5．如图，是的直径，四边形内接于，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在⊙О中，弦AB=2，点C是圆上一点且∠ACB=45°，则⊙О的直径为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
（第8题） （第9题） （第10题） （第12题） （第13题）
9． 如图，已知在中，半径垂直于弦，垂足为．如果，，那么（ ）
A．12 B． C．13 D．16
10．如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一个扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则此扇形的半径为
12．如图， 、 、 、 为一个正多边形的顶点， 为正多边形的中心，若 ，则这个正多边形的边数为 .
13．如图，在平面直角坐标系中，点，，点P是的外接圆的圆心，则点P的坐标为 ．
14．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AB垂直平分半径OD，∠ABC＝75°，BC＝ cm，则OC的长为 cm．
15．如图，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
16．如图，中，四边形内接于圆，是直径，，若，则 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为．
（1）求截面中弦的长；
（2）求截面中有水部分弓形的面积．
18．如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；
（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．
19．已知：如图，在圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC，BD交于点P．
（1）求∠APD的度数．
（2）求证：四边形EAPD是菱形．
20．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC．
（1）求证：GE＝BE；
（2）若AG＝6，BG＝4，求CD的长．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，且EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数．
（2） 求证：∠1=∠2．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°， =．过点C作CE⊥AD，垂足为E．
（1）求证：AE=CE．
（2） 若AE=3，DE=，求∠'ABC的度数．
23．如图， 的直径 为10，弦 为6， 是 的中点，弦 和 交于点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）求 的长.
24．已知：的两条弦，相交于点M，且.
（1）如图1，连接.求证：.
（2）如图2，若，点E为弧上一点，，交于点F，连接、.
①求的度数(用含的代数式表示).
②若，，求的面积.
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浙教版2024-2025学年九年级上数学第3章圆的基本性质 培优测试卷1
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在直角三角形中，，则的外接圆半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】 ∵，
∴AB==10，
∴的外接圆半径为AB=5.
故答案为：D.
2．如图所示，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE等于（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】A
【解析】由题可知：AE=AB=3，∠BAE=60°，
是等边三角形，
BE=AB=3.
故答案为：A.
3．如图， 是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ 是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵ ，
∴∠A=40°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D．
4．如图，是的直径，点D，C在上，连接，，，如果，那么的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【解析】如图，连接BD.
∵是的直径，
∴.
∵，
∴，
∴.
故答案为：C.
5．如图，是的直径，四边形内接于，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接OC、OD.
∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD=DA=4，
∴弧AD=弧CD=弧BC，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°.
又OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=4，
∴⊙O的周长=2×4π=8π.
故答案为：C.
6．如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】连接 ， ，
∵多边形 是正六边形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵正六边形的周长是12，
∴ ，
∴ 的半径是2
故答案为：C.
7．已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设扇形的半径为r．
由题意： =6π，
∴r=9，
∴S扇形= =27π，
故选：B．
8．如图，在⊙О中，弦AB=2，点C是圆上一点且∠ACB=45°，则⊙О的直径为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】D
【解析】∵∠ACB=45°，
∴∠O=2∠ACB =90°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴，即，
∴⊙О的直径为4；
故答案为：D．
9． 如图，已知在中，半径垂直于弦，垂足为．如果，，那么（ ）
A．12 B． C．13 D．16
【答案】C
【解析】半径垂直于弦，
，
设，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
故答案为：C
10．如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求最小值即可
作点关于对称的对称点，连接与直线交于点，则
， ，此时为最小值
连接，
平分，，
，
在中，，
，
阴影部分周长的最小值为．
故答案为：A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一个扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则此扇形的半径为
【答案】9
【解析】∵l=，
∴．
故答案为：9．
12．如图， 、 、 、 为一个正多边形的顶点， 为正多边形的中心，若 ，则这个正多边形的边数为 .
【答案】九
【解析】如图，设正多边形的外接圆为 ，连接 ， ，
，
，
而 ，
这个正多边形为正九边形.
故答案为：九.
13．如图，在平面直角坐标系中，点，，点P是的外接圆的圆心，则点P的坐标为 ．
【答案】（2，1）
【解析】分别作出边，的垂直平分线，则它们的交点即为的外接圆的圆心P，如图所示：
则，
故答案为：．
14．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AB垂直平分半径OD，∠ABC＝75°，BC＝ cm，则OC的长为 cm．
【答案】4cm
【解析】连接OA，OB.
因为AB垂直平分半径OD，
所以
所以
又因为
所以
又因为OB=OC，
所以
则△OBC是等腰直角三角形，
所以
故答案为：4.
15．如图，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意得当为的边上的高时，直径最短，
如图，连接，过O点作，
在中，，
∴，即此时圆的直径最小为8，
∵，
由等腰三角形的性质可得：，
由垂径定理可得：，
∴，
在中，，∴，
∴，
∵
∴最小时，最小，也就是最小，
∵
∴，，
∴，即最小为，
故答案为：
16．如图，中，四边形内接于圆，是直径，，若，则 ．
【答案】
【解析】如图，过A点作，交的延长线与点E，
，
为的直径，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为．
（1）求截面中弦的长；
（2）求截面中有水部分弓形的面积．
【答案】（1）解：如图：
作交于，连结
∴OB=12cm.
是圆心，，
cm，
(cm)，
（cm），
cm．
即弦AB长cm.
（2）解：连结
，，
，
(cm2)．
即截面中有水部分弓形的面积为cm2．
18．如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；
（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．
【答案】（1）解：如图1，点P就是所求作的点。
（2）解：如图2，CD为AB边上的高。
19．已知：如图，在圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC，BD交于点P．
（1）求∠APD的度数．
（2）求证：四边形EAPD是菱形．
【答案】（1）解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，
∴，
∴，
∴∠BPC=180°-2×36°=108°，
∴∠APD=∠BPC=108°，
（2）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴， AB=BC=CD=DE=AE，
∴∠ABP=∠ABC-∠DBC=108°-36°=72°；
则∠ABP+∠DBC=108°+72°=180°；
∴BD∥AE，
同理可得AC∥DE，
∴四边形DEAP是平行四边形，
∵AE=DE，
∴四边形EAPD是菱形．
20．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC．
（1）求证：GE＝BE；
（2）若AG＝6，BG＝4，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵D是的中点，
∴∠ECG＝∠ECB，
∵CD⊥AB，
∴∠CEG＝∠CEB＝90°，
∴∠CGE＝∠CBE，
∴CG＝CB，
∵CE⊥BG，
∴EG＝EB；
（2）解：∵AG＝6，BG＝4，
∴AB＝6+4＝10，
∴OC＝OB＝AB＝5，
∴OG＝OB﹣BG＝5﹣4＝1，
由（1）知GE＝BE＝BG＝2，
∴OE＝OG+GE＝1+2＝3，
∴CE＝＝4，
∵直径AB⊥CD，
∴CD＝2CE＝2×4＝8．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，且EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数．
（2） 求证：∠1=∠2．
【答案】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB，∴∠BCD=180°-2×39°=102°．
又∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠BAD=180°- 102°=78．
（2）解：∵∠CBD=∠CDB，∠BAC=∠CDB，∴∠CBD=∠BAC．
∵EC=BC，∴∠CBE=∠CEB．又∵∠CEB=∠BAE+∠2，∠CBE=∠CBD+∠1，
∴∠BAE+∠2=∠CBD+∠1，∴∠1=∠2．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°， =．过点C作CE⊥AD，垂足为E．
（1）求证：AE=CE．
（2） 若AE=3，DE=，求∠'ABC的度数．
【答案】（1）证明：如图，作BF⊥CE于点F．
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180° ，得∠BCD= 90°．
又由∠BCF+∠DCE=90°，∠D+∠DCE=90° ，得∠BCF=∠D．
∵，∴BC=CD，∴Rt△BCF≌Rt△CDE，∴BF=CE．
∵AE=BF，∴AE= EC．
（2）解：由(1)，得AE=CE=3．在Rt△CDE中，DE= ，CE=3，∴CD=，
∴DE= CD，∴∠DCE=30°，∠D=60°．∵∠ABC+∠D=180°，
∴∠ABC=120°．
23．如图， 的直径 为10，弦 为6， 是 的中点，弦 和 交于点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）求 的长.
【答案】（1）证明：∵∴
又∵ ， ∴
∴
（2）解：连接 ， ， ，
∵ 为 的直径∴ ，
在 中，
∵ 是弧 的中点 ∴ ∴
又∵
∴ ，即
∴
∴ ，
∴
在 延长线上截取 ，连
在圆内接四边形 中，
又∵∴
∴
∴
∴
∴在等腰 中，
24．已知：的两条弦，相交于点M，且.
（1）如图1，连接.求证：.
（2）如图2，若，点E为弧上一点，，交于点F，连接、.
①求的度数(用含的代数式表示).
②若，，求的面积.
【答案】（1）证明：如图1，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①.
理由如下：
连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
∴，
∴.
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