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4.4平行四边形的判定定理 提升练习
一．选择题（共13小题）
1．（2023春 新昌县期末）在四边形中，已知，如再加上一个条件，不能判定它是平行四边形的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】若，且，则四边形是平行四边形，故选项不符合题意，
若，且，则四边形是平行四边形，故选项不符合题意，
若，且，则，可得，则四边形是平行四边形，故选项不符合题意，
若，则，无法证明四边形是平行四边形，故选项符合题意；
故选．
2．（2024春 拱墅区校级期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、，故选项不符合条件；
、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故选项不符合题意；
、不能判断出任何一组对边是平行的，故选项不符合题意；
、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项符合题意；
故选．
3．（2023春 上虞区期末）如图，在中，点，分别在边，上，连结，，，，添加下列条件后不能使四边形成为平行四边形的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，
，
由不能判定四边形为平行四边形，故选项符合题意；
故选．
4．（2023春 西湖区期末）如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，，下列结论不一定成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
四边形是平行四边形，
，，，故，，选项成立；
，
，
故选项不成立．
故选．
5．（2023春 杭州期末）如图，点是直线外一点，在上取两点、，分别以、为圆心，、长为半径画弧，两弧交于点，分别连接、、，则四边形是平行四边形．其依据是
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】
【解析】由题意可知，，，
四边形是平行四边形，
故选．
6．（2023春 海曙区期末）在四边形中，，，若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故选．
7．（2024春 瑞安市期中）在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】
【解析】、，，
四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
、，，
四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
、，，
四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
、由，，不能判定这个四边形是平行四边形，故选项符合题意；
故选．
8．（2024春 海曙区校级期中）小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【答案】
【解析】只有③④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选．
9．（2023秋 台州期末）如图，在“”字形图形中，，，，，，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是
A．的长 B．的长 C．的长 D．与的和
【答案】
【解析】延长，交，于点，，
，，
四边形，，为平行四边形，
，，
图形的周长为，
需要知道的长即可，
故选．
10．（2024春 西湖区校级期中）如图，平行四边形中，，是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】四边形是平行四边形，
，；
又，
，
，，
；
；
四边形是平行四边形，故正确；
四边形是平行四边形，
，；
又，
，
，
，
，；
；
；
四边形是平行四边形，故正确；
四边形是平行四边形，
，；
又，
，
，；
；
；
四边形是平行四边形，故正确；
添加后，不能得出，进而得不出四边形是平行四边形，
故选．
11．（2024春 柯城区校级期中）如图，在中，点，是对角线所在直线上的两个不同的点．下列条件中，不能得出四边形是平行四边形的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故不符合题意；
由，，不能证明与全等，
不能确定与是否相等，
不能证明与平行，
不能证明四边形是平行四边形，
故符合题意；
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故不符合题意；
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故不符合题意，
故选．
12．（2024春 西湖区期中）如图，在中，，，，平分，平分，则图中四边形的面积是
A．24 B．12 C． D．
【答案】
【解析】过作于，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
同理：，
，
四边形是平行四边形，
四边形的面积．
故选．
13．（2023春 东阳市期末）平面直角坐标系内有点，，三点，请确定一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标不可以是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】平面直角坐标系内有点，，三点，连接，，构成，过的顶点作其对边平行线，分别交于、、，如图所示：
①在平行四边形中，，
，，
向左平移4个单位长度、向上平移2个单位长度得到，
，
由点的平移可得；
②在平行四边形中，，
，，
向右平移2个单位长度、向上平移2个单位长度得到，
，
由点的平移可得；
③在平行四边形中，，
，，
向左平移2个单位长度、向下平移2个单位长度得到，
，
由点的平移可得；
综上所述，符合题意的点、或三种情况．
故选．
二．填空题（共3小题）
14．（2024春 长兴县期中）平面直角坐标系中，已知点，点，点，点，，以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形，则的值为 或5 ．
【答案】或5．
【解析】如图1，点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得点，
；
如图2，点向左平移4个单位，再向上平移1个单位得点，
；
综上，的值为或5，
故答案为：或5．
15．（2024春 西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，已知，，在轴、轴上分别有两动点、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ，或 ．
【答案】，或
【解析】如图所示，作轴，作轴于点，
，，
，
点、分别在轴、轴上，
当时，则，此时点的坐标为；
当时，则，此时点的坐标为；
当为对角线时，设点的坐标为，则，得，此时点的坐标为；
故答案为：，或．
16．（2024春 吴兴区期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以2个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以1个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线运动，若，两点同时出发，设运动时间为秒，则当 1或3或13 时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形．
【答案】1或3或13．
【解析】，，，
，，轴，
，
当时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，
若时，，，，此时，解得；
若时，，，，此时，解得；
若时，，，，，此时，解得（舍去）；
若时，，，，，此时，解得；
综上所述，当为1或3或13秒时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形．
故答案为1或3或13．
三．解答题（共11小题）
17．（2023春 衢江区期末）点、分别是的边、上的点，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形．
18．（2022秋 婺城区期末）已知：如图，在中，、是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析．
【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，，，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
19．（2023春 宁波期末）如图，，是的对角线上两点，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明见解答；
（2）平行四边形的面积是24．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：作交的延长线于点，则，
，，，
，
，
平行四边形的面积是24．
20．（2023春 东阳市期末）如图所示，在中，点，点分别是，的中点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，求线段的长度．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
点，点分别是，的中点，
，，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过作于点，
则，
由（1）可知，，四边形是平行四边形，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
即线段的长度为．
21．（2023春 钱塘区期末）问题：如图，在平行四边形中，点，在对角线上（不与点，重合），连结，，，．若 ①或② ，求证：四边形是平行四边形．
请在①，②，③中只选择一个作为条件，把序号补充在问题横线上，并完成问题的解答．
【答案】①或②，证明见解析．
【解析】①或②，
故答案为：①或②，
证明如下：
①四边形是平行四边形，
，，
，
又，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
②四边形是平行四边形，
，，
，
又，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
22．（2023春 上虞区期末）如图，在中，点，分别在边，上，且，连结，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连结，若平分，，，，求的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）13．
【解析】（1）证明：四边形平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
设，
，
，
，
，
．
23.．（2024春 海曙区校级期中）如图，已知，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）9.6．
【解析】（1）证明：，，
垂直平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过作于，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
由（1），
，，
，
，
，
，
．
24．（2024春 海曙区期中）如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
25．（2024春 海曙区校级期中）如图，在中，点是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点，，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
甲方案 乙方案
分别取，的中点， 作于点，于点
请回答下列问题：
（1）选择其中一种你认为正确的方案进行证明；
（2）在（1）的基础上，若，，求的面积．
【答案】（1）甲和乙方案都正确；证明见解答；
（2）的面积是32．
【解析】（1）甲方案，证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是对角线的中点，
，
、分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
故甲方案正确；
乙方案，证明：于点，于点，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
故乙方案正确；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积是32．
26．（2024春 海曙区校级期中）如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）过作线段交于点，交于点．若，，，求的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】（1）证明：，
，，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
27．（2024春 宁波期中）在中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接、如图1．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，过点作的垂线，与、、分别交于点、、如图2．
①当．时，求的长；
②求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析．
【解析】（1）证明：在平行四边形中，点是对角线的中点，
，，
，
在与中，
，
，
且，
四边形是平行四边形；
（2）①解：如图，过点作于点，
，，，
，
，
，，
，
，
，
②证明：，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
．中小学教育资源及组卷应用平台
4.4平行四边形的判定定理 提升练习
一．选择题（共13小题）
1．（2023春 新昌县期末）在四边形中，已知，如再加上一个条件，不能判定它是平行四边形的是
A． B． C． D．
2．（2024春 拱墅区校级期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是
A． B．
C． D．
3．（2023春 上虞区期末）如图，在中，点，分别在边，上，连结，，，，添加下列条件后不能使四边形成为平行四边形的是
A． B． C． D．
4．（2023春 西湖区期末）如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，，下列结论不一定成立的是
A． B． C． D．
5．（2023春 杭州期末）如图，点是直线外一点，在上取两点、，分别以、为圆心，、长为半径画弧，两弧交于点，分别连接、、，则四边形是平行四边形．其依据是
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
6．（2023春 海曙区期末）在四边形中，，，若，则的度数是
A． B． C． D．
7．（2024春 瑞安市期中）在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是
A．， B．，
C．， D．，
8．（2024春 海曙区校级期中）小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
9．（2023秋 台州期末）如图，在“”字形图形中，，，，，，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是
A．的长 B．的长 C．的长 D．与的和
10．（2024春 西湖区校级期中）如图，平行四边形中，，是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是
A． B． C． D．
11．（2024春 柯城区校级期中）如图，在中，点，是对角线所在直线上的两个不同的点．下列条件中，不能得出四边形是平行四边形的是
A． B． C． D．
12．（2024春 西湖区期中）如图，在中，，，，平分，平分，则图中四边形的面积是
A．24 B．12 C． D．
13．（2023春 东阳市期末）平面直角坐标系内有点，，三点，请确定一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标不可以是
A． B． C． D．
二．填空题（共3小题）
14．（2024春 长兴县期中）平面直角坐标系中，已知点，点，点，点，，以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形，则的值为 ．
15．（2024春 西湖区校级期中）在平面直角坐标系中，已知，，在轴、轴上分别有两动点、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ．
16．（2024春 吴兴区期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以2个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以1个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线运动，若，两点同时出发，设运动时间为秒，则当 时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形．
三．解答题（共11小题）
17．（2023春 衢江区期末）点、分别是的边、上的点，，求证：四边形是平行四边形．
18．（2022秋 婺城区期末）已知：如图，在中，、是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形．
19．（2023春 宁波期末）如图，，是的对角线上两点，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求平行四边形的面积．
20．（2023春 东阳市期末）如图所示，在中，点，点分别是，的中点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，求线段的长度．
21．（2023春 钱塘区期末）问题：如图，在平行四边形中，点，在对角线上（不与点，重合），连结，，，．若 ，求证：四边形是平行四边形．
请在①，②，③中只选择一个作为条件，把序号补充在问题横线上，并完成问题的解答．
22．（2023春 上虞区期末）如图，在中，点，分别在边，上，且，连结，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连结，若平分，，，，求的长．
23.．（2024春 海曙区校级期中）如图，已知，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
24．（2024春 海曙区期中）如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的度数．
25．（2024春 海曙区校级期中）如图，在中，点是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点，，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
甲方案 乙方案
分别取，的中点， 作于点，于点
请回答下列问题：
（1）选择其中一种你认为正确的方案进行证明；
（2）在（1）的基础上，若，，求的面积．
26．（2024春 海曙区校级期中）如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）过作线段交于点，交于点．若，，，求的度数．
27．（2024春 宁波期中）在中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接、如图1．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，过点作的垂线，与、、分别交于点、、如图2．
①当．时，求的长；
②求证：．
