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浙教版2024-2025学年九年级上数学第4章相似三角形 培优测试卷1
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
可以假设，，
．
故答案为：B
2．在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据黄金分割点的概念，可知AP=BQ= ，
则PQ=AP+BQ-AB=
故答案为：C
3． 如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果：：，，那么的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵：：， EF=DF-DE，
∴：：，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：C.
4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，
在B、C、D选项中的三角形都没有135°，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和 ，
因为 ，所以A选项中的三角形与△ABC相似.
故答案为：A.
5．如图，在菱形中，E为边上一点，交于点O，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
则，
故答案为：B．
6．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则GF的长为（ ）
A．3cm B．2 cm C．2.5cm D．3.5cm
【答案】A
【解析】由题意可知：∠GFB=∠DEC=90 ，
∴∠B+∠BGF=90 ，
∵∠BAC=90 ，
∴∠B+∠C=90 ，∴∠BGF=∠C，
∴△BGF∽△DCE，
∴ ，
∵BF=4.5cm，CE=2cm，GF=DE，
∴ ，
∴GF=3cm.
故答案为：A.
7．如图，菱形中，对角线、交于点，，垂足为点，分别交、及的延长线于点、、，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，∴，
∴四边形是平行 四边形，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵ ∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
8．如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】四边形是矩形，，，
，，，
点E、F分别为、的中点，
，，
，，
，．
由勾股定理得：，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：A．
9．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点G在CA的延长线上，GB=GE，若BE+CG=10，＝，则AF的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】过点G作GH⊥BE，垂足为点H，
设BE＝2x，
∵，，
∴CG＝10－2x，AG＝3x，
∴AC＝CG－AG＝10－5x，
∵和都是等边三角形，
∴BC＝AC＝10－5x，CD＝DE＝CE＝BC－BE＝10－7x，∠ABC＝∠DEC＝∠C＝60°，
∵GB＝GE，GH⊥BE，
∴BH＝HE＝x，
∴CH＝CE＋HE＝10－6x，
∵∠GHC＝90°，∠C＝60°，
∴∠HGC＝30°，
∴CH＝CG，
∴10－6x＝（10－2x），
解得：x＝1，
∴AG＝3x＝3，CG＝10－2x＝8，CD＝DE＝10－7x＝3，
∴GD＝CG－CD＝5，
∵∠ABC＝∠DEC，
∴AB//DE，
∴，
∴，
即，
解得，
故答案为：C．
10．的边上有、、三点，各点位置如图所示.若，，，则根据图中标示的长度，求四边形与的面积比为何？（ ）
A．1：3 B．1：4 C．2：5 D．3：8
【答案】D
【解析】，，
∽，
，
，
，
，
，
，
：：，
同法可证∽，
，
，
：：，
：：∶，
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，是斜边上的高，，，＝ ．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：
12．边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】15
【解析】如图，
∵ 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起 ，
∴DE=CD=10，BC=6，AB=4，∠D=∠ACH=∠ABG=90°，
∴BE∥CF∥BG，
∴△ABG∽△ACF∽△ADE，
∴，
∴，
解之：BG=2，CF=5，
∴HF=6-5=1，NG=6-2=4，
∴S阴影部分=.
故答案为：15
13． 如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是 ．
【答案】
【解析】过作，交于，如图所示：
则，即：，，
，即：，
∴．
故答案为：
14．如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且，，，则等边的边长为 ．
【答案】
【解析】是等边三角形，
，；
，
；
，
，
，
，
又，
；
，
，
即；
解得．
故答案为：6．
15．如图，在等腰中，，，点在边上，，点在边上，，垂足为，则的长为 ．
【答案】
【解析】过作 于，则∠AHD=90°
在等腰中，，，
，，
∴∠ADH=90°-∠CAD=45°=∠CAD，
，
∴CH=AC-AH=15-DH，
，
，
又∵∠ANH=∠DNF，
，
，
，
，CE+BE=BC=15，
∴，
∴，
，
，
故答案为：．
16．在平面直角坐标系中，，，C在直线上运动，存在一点P，满足，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】∵C在直线y=x上运动，∴∠COQ=45°，
∵∠PAB=∠POA+∠OPA，且∠POA+∠OPA=∠APB，
∴∠PAB=∠APB，
∴AB=PB，
∵A（2，0），B(3，0），
∴OA=2，OB=3，
AB=OB-OA=1=BP，
∴点P在以B为圆心，1个单位长度为半径的圆上，
在AB上取点Q，使BQ=，
∵，且∠QBP=∠PBO，∴△QBP∽△PBO，
∴，∴PQ=OP，
∴当Q、P、C共线且QC⊥OC时，CP+OP=CP+PQ有最小值，最小值为CQ的长，
此时OQ=OB-BQ=，∠COQ=45°，
∴△COQ是等腰直角三角形，
由勾股定理得：CQ=OC=OQ=×=.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知，，是的三边长，且．
（1）求的值；
（2）若的周长为81，求三边，，的长．
【答案】（1）解：因为，
设，则，
则
（2）解：令，得
所以，，．
18． 如图，中，，，D为边上一点，．
（1）求证：；
（2）如果，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵，
∴
∴，
∵，
∴．
19．已知：如图，在中，，是中点，点在延长线上，点在边上，．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：，，
，，
，；
（2）证明：点是的中点，，
由（1）可知：，
，，
又，，
，
20．如图，在矩形中，，点在上，，为的中点，连结，，分别交于点，，连结．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：∵矩形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
为中点，
∴是的中位线，
∴；
（2）解：由（1）知是的中位线，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
解得，．
21．中，于点，于点，交于点，连接．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：，，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
．
22． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AB，垂足为B，交AC于点E．
（1）求证：．
（2）若AE＝13，AB＝12，求EC的长．
【答案】（1）证明：证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOE＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
∵EB⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴∠EBO+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠EBO，
又∵∠BOE＝∠AOB，
∴△BEO∽△ABO，
∴；
（2）解：∵∠ABE＝∠BOE＝90°，∠AEB＝∠BEO，
∴△ABE∽△BOE，
∴，
已知AE＝13，AB＝12，由勾股定理得：EB＝＝＝5，
∴，
∴EO＝，
∴AO＝AE-EO＝13-＝，
∴EC＝AC-OE＝AO-EO＝.
23． 如图1，在中，，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，．
（1）求的度数；
（2）如图2，若的平分线交于点F，交的延长线于点E，连结．
①证明：；
②证明：．
【答案】（1）解：设，
∵，
∴，
由旋转可知，，，
∴
∴，
∴
（2）解：①证明：∵，，
∴，
又∵平分，
∴，，则
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②证明：延长至，使，
∵，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即：
24．正方形边长为3，点E是上一点，连结交于点F．
（1）如图1，若，求的值；
（2）如图1，，若，求m的值．
（3）如图2，点G为上一点，且满足，设，试探究y与x的函数关系．
【答案】（1）解：由题意得：
∴
∴
即：
解得：
（2）解：∵，
∴
∴
由（1）可得：
∴
∴
∵，
∴
解得：
（3）解：由（1）得：
即：
解得：
∵，
∴
∴
即：
∴
整理得：
∵
∴，
又
∴
故：
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浙教版2024-2025学年九年级上数学第4章相似三角形 培优测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ=（ ）
A． B． C． D．
3． 如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果：：，，那么的长等于（ ）
A． B． C． D．
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在菱形中，E为边上一点，交于点O，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则GF的长为（ ）
A．3cm B．2 cm C．2.5cm D．3.5cm
7．如图，菱形中，对角线、交于点，，垂足为点，分别交、及的延长线于点、、，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（第7题） （第8题） （第9题）
8．如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ）
A． B．1 C． D．
9．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点G在CA的延长线上，GB=GE，若BE+CG=10，＝，则AF的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
10．的边上有、、三点，各点位置如图所示.若，，，则根据图中标示的长度，求四边形与的面积比为何？（ ）
A．1：3 B．1：4 C．2：5 D．3：8
（第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，是斜边上的高，，，＝ ．
12．边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．
13． 如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是 ．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且，，，则等边的边长为 ．
15．如图，在等腰中，，，点在边上，，点在边上，，垂足为，则的长为 ．
16．在平面直角坐标系中，，，C在直线上运动，存在一点P，满足，则的最小值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知，，是的三边长，且．
（1）求的值；
（2）若的周长为81，求三边，，的长．
18． 如图，中，，，D为边上一点，．
（1）求证：；
（2）如果，求的长．
19．已知：如图，在中，，是中点，点在延长线上，点在边上，．求证：
（1）；
（2）．
20．如图，在矩形中，，点在上，，为的中点，连结，，分别交于点，，连结．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
21．中，于点，于点，交于点，连接．求证：
（1）；
（2）．
22． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AB，垂足为B，交AC于点E．
（1）求证：．
（2）若AE＝13，AB＝12，求EC的长．
23． 如图1，在中，，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，．
（1）求的度数；
（2）如图2，若的平分线交于点F，交的延长线于点E，连结．
①证明：；
②证明：．
24．正方形边长为3，点E是上一点，连结交于点F．
（1）如图1，若，求的值；
（2）如图1，，若，求m的值．
（3）如图2，点G为上一点，且满足，设，试探究y与x的函数关系．
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