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浙教版2024-2025学年九年级上数学第1章二次函数 尖子生测试卷1
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1． 如图，抛物线的对称轴为x=-1，且过点(，有下列结论：①abc>0； ②a-2b+4c>0； ③25a-10b+4c=0； ④3b+2c>0；其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由图像可知a<0，b<0，c>0，∴abc>0
故①正确．
当x=时，y=0，即
∴ ∴
∴
故②正确．
由对称轴为，与x轴一个交点为（，）可知与x轴另一个交点为（，0）
即
化简得
故③正确．
∵对称轴为 ∴
∴，
将代入有
即
∴
故④错误．
综上所述①②③正确．
故答案为：C．
2． 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】①抛物线的顶点 在第一象限，
，，①正确；
②，
点坐标为，点坐标为，
将点A 代入得，
，②正确；
③∵，
，，
，
设，，
∵开口向下，对称轴在y轴右边，
∴，
∴
，
，
∴
，
，③正确；
④∵，，
，④正确；
故答案为：D．
3．设一元二次方程 的两根分别为 ，且 ，则
满足（ ）
A． B．
C． D． 且
【答案】D
【解析】如图，
令m=0，
则函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0），
故此函数的图象为：
∵m＞0，
∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，
∴α＜1，β＞2.
故答案为：D.
4．已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1A．若x10
C．若x1＞x2，则a（x1+x2-2）＞0 D．若x1＞x2，则a（x1+x2-2）<0
【答案】D
【解析】∵ 直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，
∴
∴b=-2a
∴y=ax2-2ax+c
∵ 点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，
∴y1=ax12-2ax1+c，y2=ax22-2ax2+c
当 x1∴ax12-2ax1+c-（ax22-2ax2+c）＜0
整理得：a（x1-x2）（x1+x2-2）＜0
∵x1-x2＜0
∴a（x1+x2-2）＞0，故A，B不符合题意；
当 x1＞x2，y1∴ax12-2ax1+c-（ax22-2ax2+c）＜0
整理得：a（x1-x2）（x1+x2-2）＜0
∵x1-x2＞0
∴a（x1+x2-2）＜0，故C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A，B两点，C(m，﹣3)是图象上的一点，且AC⊥BC，则a的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】过点C作CD⊥AB于点D.
∵AC⊥BC，
∴AD2+DC2+CD2+BD2=AB2，
设ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2(x1≤x2)，
∴A(x1，0)，B(x2，0).
依题意有(x1﹣m)2+9+(x2﹣m)2+9=(x1﹣x2)2，
化简得：m2﹣m(x1+x2)+9+x1x2=0，
∴m2 m+9 0，
∴am2+bm+c=﹣9a.
∵(m，﹣3)是图象上的一点，
∴am2+bm+c=﹣3，
∴﹣9a=﹣3，
∴a .
故答案为：D.
3，从而即可求得a的值.
6．在平面直角坐标系中，若点P的橫坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点，已知二次函数 （a，b是常数， ）的图象上有且只有一个完美点 ，且当 时，函数 的最小值为 ，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将y=x代入 ，整理得 ，
∵二次函数 （ ， 是常数， ）的图象上有且只有一个完美点 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴顶点坐标为（2，1），
当y=-3时，有 ，
解得：x=0或x=4，
∵当 时，函数 的最小值为 ，最大值为1，
∴ ，
故答案为：C．
7．如图，抛物线与x轴交于点A(－6，0)．点，是抛物线上两点，当t≤x≤t＋3时，二次函数最大值记为，最小值记为，设，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】(1)当点P，Q均在对称轴x＝－2左侧时，有－6≤t<－5，，
，则，
∵m随t的增大而减小，－6≤t<－5，∴
(2)当点P在对称轴x＝－2左侧，Q在对称轴x＝－2右侧时
①若点P距对称轴的距离大于点Q距对称轴的距离时，有－5≤t<－3.5，，
，则，
对称轴：t＝－2，在对称轴左侧m随t的增大而减小，∴
②若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，
当－3.5≤t≤－3时，，，
则，
对称轴：t＝－5，在对称轴左侧m随t的增大而增大，∴
(3)∵－6≤t≤0，∴点P，Q不可能均在对称轴x＝－2右侧．
综上可得：，
故答案为：D．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点D，E，过该函数图象的顶点且与轴平行的直线交抛物线于点B，C．若，则和需满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，即，
整理得，，
解得，，
，
∵点是抛物线的顶点，
∴，∴点的纵坐标为，
令，即，
整理得，，
解得
，
，
整理得，
故答案为：D.
9．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（－，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．－3＜n≤－1或 B．－3＜n＜－1或
C．n≤－1或 D．－3＜n＜－1或n≥1
【答案】A
【解析】 y＝－x2＋4x＋n 的相关函数是，
当线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，如图所示：
此时x=2，y=1，即n+4=1，解得n=-3.
当函数y=x2-4x-n的图象正好经过点（0，1）时，如图：
把（0，1）代入y=x2-4x-n，得n=-1.
此时线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点.
可以发现-3当函数y=-x2+4x+n的图象经过点时，如图：
把（0，1）代入y=-x2+4x+n，得n=1.
此时线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有3个交点.
当y=x2-4x-n的图象经过点 （－，1） 时，如图：
此时把点（－，1）代入y=x2-4x-n，得，解得.
可以发现时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点.
综上所述： －3＜n≤－1或 ，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点.
故答案为：A.
10．定义：平面直角坐标系中，点的横坐标x的绝对值表示为，纵坐标y的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“＋”是四则运算中的加法），若抛物线与直线只有一个交点M，已知点M在第一象限，且，令，则t的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵抛物线与直线只有一个交点M，
∴方程组只有一组实数解，
∴，
∴，
∴，
即，
∴方程可以化为，
即，
∴，
∴
∴，
∵点在第一象限，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∵，
∴t随b的增大而增大，
∵时，，
时，，
∴t的取值范围为．
故答案为：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若关于x的方程恰有三个根，则t的值为 .
【答案】或
【解析】的根的个数即函数与的图象的交点个数，
由题意作函数的图象如图：
结合图象可知，
当过点或与相切时，两函数图象有三个交点，
将代入得
联立和得：，
则，
解得：
或
故答案为：或．
12．在抛物线上，过轴上点作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于，，，，且，分别是线段，的中点，面积的最小值为 ．
【答案】4
【解析】如图：
∵AB⊥CD，设点E坐标（0，m）.
∴可设直线AB的表达式为：，直线CD的表达式为：.
联立 和得：，
整理得：
设A(x1，y1)， B（x2，y2），
∴ x1+x2=4k.
∴
因为点M是AB中点，故M坐标（2k，2k2+m）.
联立 和得：，
整理得：
设C(x3，y3)， D（x4，y4），
∴.
∴.
∴点N的坐标为.
∴，
∴.
∵k≠0，
∴，即k=±1时取得最小值.
∴
∴.
故答案为：4.
13．已知，为x轴上两点，，为二次函数图象上两点，当时，二次函数y随x增大而减小，若，时，恒成立，则A、B两点的最大距离为 ．
【答案】8
【解析】当x=1时，y=3，
抛物线y=x2-mx+m+2的对称轴为直线，
∵当x＜1时，二次函数y随x增大而减小，
，
∴m≥2．
∴m+1≥3，
当x=-2时，y=6+3m，当时，，
∵-2≤x1≤m+1，-2≤x2≤m+1，
∴|y1-y2|的最大值为，
∵|y1-y2|≤16恒成立，
．
∴-12≤m≤4，
∵m≥2，
∴2≤m≤4，
∴m的最大值为4，
∴A、B两点的最大距离为4-（-4）=8．
故答案为：8.
14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，抛物线顶点为．若直线交直线于点，且，则的值为 ．
【答案】或
【解析】∵抛物线与轴交于点 ，
∴点A坐标（0，－3）.
∵ =a(x-2)2－4a－3
∴顶点坐标是P（2，－4a－3），对称轴是x=2，
∴B点坐标（4，－3）.
∴AB=4.
∴，
∴BC=3.
∴C(1，－3)或者C（7，－3）
∴当C坐标为(1，－3)时，直线OP的解析式：y=－3x.
把x=2代入得，y=-6，即－4a－3=－6，
∴.
∴当C坐标为(7，－3)时，直线OP的解析式：
把x=2代入得，，即，
∴.
故答案为：或.
15．已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）经过点（2，0），且2①方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
②若对任意的实数m，都有bm-b≥am2-a，则
③若抛物线经过点（-1，0），在抛物线上有且仅有2个点到x轴的距离等于n（n>0），则；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，且都在y轴右侧，若4a+c>0，则（x1-x2）（y1-y2）>0.
其中正确的是 （填写序号）.
【答案】①②③
【解析】①∵a<0， 2∴，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根 ，结论①正确；
②∵y=ax2+bx+c，经过点（2，0），∴4a+2b+c=0.
若对任意的实数m，都有bm-b≥am2-a ，即－am2+bm+a－b≥0总成立，
则，
∵总成立，
∴b－2a=0，b=2a.
∴4a+2b+c=8a+c=0，c=－8a.
∵2∴2<－8a<3，
∴，结论②正确；
③∵抛物线经过点（-1，0） 和 点（2，0）时，对称轴为，
∴4a+2b+c=0，a-b+c=0，
解得：a+b=0，
∴b=－a，
c=-a+b=－2a，
当时，抛物线有最大值
当 时，抛物线上有4个点到x轴的距离等于n；
当 时，抛物线上有3个点到x轴的距离等于n；
当 时，抛物线上有且仅有2个点到x轴的距离等于n；结论③正确；
④∵4a+2b+c=0，∴4a+c=－2b>0，∴b<0，
故对称轴，
∵a<0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小.
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，且都在y轴右侧，
故x1y2，即（x1-x2）（y1-y2）<0，结论④错误；
故答案为：①②③.
16．对于一个四位自然数M ，满足千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“智慧数”．例如，，因为，所以5241是“智慧数”则最小的“智慧数”是 ；若“智慧数”，使二次函数与x轴有且只有一个交点，且满足，则满足条件的M的最大值为 ．
【答案】1010；6936
【解析】对于一个四位数，当各个数位上的数字最小时，这个四位数最小，
千位上的数字为1，百位上的数字为0，
又千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，
十位上的数字为1，个位上的数字为0，
最小的“智慧数”是1010；
“智慧数”，
显然，，，，且，，，均为整数，
根据“智慧数”的定义得：，
二次函数与轴有且只有一个交点，
，
，
整理得：，
，
，
又，
，
解得：，
“智慧数”为最大，
、均为最大，
取最大值6，取最大值9，此时，，
的最大值为：6936．
故答案为：1010；6936．
三、解答题（本大题有8小题，每题10分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是，与轴交于点，已知两点的坐标分别为。
（1）当时，若和是抛物线上任意两点，且，当时，求的值；
（2）若二次函数的图象与线段只有一个公共点，求的取值范围。
【答案】（1）解：解法一：当时，，
故抛物线的对称轴为直线，
，
和关于对称轴直线对称，
则，
，
。
解法二：当时，，
，
，
，
，
即
，
，即，
（2）解：抛物线的顶点是，点
①当时，，
抛物线与轴交点在点下方，顶点在直线下方，
如图1：
在中，令，得，
，
当时抛物线过点，
由结合图可知，当时，二次函数的图象与线段只有一个公共点；
②当时，
若顶点在线段时，如图2：
此时，
解得；
若顶点在直线上方，即时，如图3：
二次函数的图象与线段只有一个公共点，，
解得；
此时也满足，
综上所述，二次函数的图象与线段只有一个公共点，的取值范围是或或。
18．已知，关于的二次函数．
（1）若函数经过点，求拋物线的对称轴．
（2）若点P(t-2，p)，Q(t+3，q)均在抛物钱y=2x2-4tx-3上，则p q(填">"，“<"或"=”).
（3）记，当时，始终成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：将点代入函数，解得，
，
拋物线的对称轴为直线．
（2）<
（3）解：.
I．对称轴
当时，，解得（舍去）
II．对称轴
此时，解得
III．对称轴
当时，，解得（舍去）
综上所述，-1.5＜t＜0.5.
【解析】（2）抛物线的对称轴为：x=，
∵a=2＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点距离对称轴越近函数值越小，
而，，
∴，
∴p＜q.
19．若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“最值差函数”．
（1）函数①；②；③．其中函数 是在上的“最值差函数”；（填序号）
（2）已知函数．
①当时，函数G是在上的“最值差函数”，求t的值；
②函数G是在（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求a的取值范围．
【答案】（1）②
（2）解：①解：当时，二次函数
为，对称轴为直线．
当时，，
当时，，
当时，．
若，则，
∴
解得（舍去）；
若，则，
∴
解得（舍去），；
若，则，
∴
解得，（舍去）；
若，则，
∴
解得（舍去）．
综上所述，，．
②∵，
∴，
∴，
∵二次函数的对称轴为直线
∴当时，y随x的增大而增大
∴当时取得最大值，时取得最小值，
∴，
∴m，k为整数，且，
∴m的值为3，
又∵，
∴
∴．
【解析】（1） ①在的最大值记为 最小值记
， 故不符合题意；
② 在的最大值记为 最小值记
， 故符合题意；
③ 在的最大值记为 最小值记
， 故不符合题意；
故答案为： ② .
20．在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且经过和两点．
（1）求和的值用含的代数式表示；
（2）若该抛物线开口向下，且经过，两点，当时，随的增大而减小，求的取值范围；
（3）已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】（1）解：把和代入，
得：，
解得：
（2）解：抛物线经过，两点，
抛物线的对称轴为：直线，
抛物线开口向下，当时，随的增大而减小，
，即
（3）解：∵，
∴抛物线为：.
当时，如图，
抛物线与线段只有一个交点，根据抛物线的图象可知，抛物线不经过点N.
故时，，即，
解得：.
当时，若抛物线的顶点在线段上时，则，
解得：，，
当时，，
此时，顶点横坐标满足，符合题意；
∴当时，如图，抛物线与线段只有一个交点，
如图，
当时，.
此时顶点横坐标不满足，不符合题意，舍去；
若抛物线与线段有两个交点，且其中一个交点恰好为点 时，如图④：
把代入，得：
，
解得：，
故当x=2时，y>5，则抛物线不经过点N，和线段有1个交点，
解，
得.
综上所述：的取值范围为：或或时． 抛物线与线段恰有一个公共点.
21．顶点为的二次函数满足以下三个条件的任意两个：
其与轴的交点为；
其与轴的交点为和；
该函数其最大值为．
（1）从以上条件任选两个，求出函数的表达式；
（2）若存在直线，二次函数上的存在一个点，使得等于到直线的距离，求出点的坐标．
【答案】（1）解：选择条件和，
二次函数与轴的交点为，
，
二次函数与轴的交点为和，
将点和代入函数，
，，
函数的表达式，
答：函数的表达式为：
（2）解：设点的坐标为，
点为函数的顶点，
点的坐标为，
直线，
点到直线的距离，
，
设，
到直线的距离等于，
，
，
或，
点或，
答：点的坐标为：或
22．如图，抛物线y1＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣3，0），点B，点D是抛物线y1的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线y1所对应的函数解析式；
（2）如图1，点M是抛物线y1上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接MC，若∠MCB＝∠DAC，求m的值；
（3）如图2，将抛物线y1平移后得到顶点为B的抛物线y2．点P为抛物线y1上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线y2于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y2于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等时，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：由题意得：，
解得．
抛物线y1所对应的函数解析式为；
（2）解：当x＝﹣1时，，
∴D（﹣1，1），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AD的解析式为，
如答图1，当M点在x轴上方时，
∵∠M1CB＝∠DAC，
∴DA∥CM1，
设直线CM1的解析式为，
∵直线经过点C，
解得：，
∴直线CM1的解析式为，，
解得：，（舍去），
，
综合以上可得m的值为；
（3）解：∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0），
∴，
即．
设，则，
，
①如答图2，当P在Q点上方时，
PQ＝1﹣m，QR＝2﹣2m，
∵△PQR与△ACD全等，
∴当PQ＝DC且QR＝AC时，m＝0，
，
当PQ＝AC且QR＝DC时，无解；
②如答图3，当点P在Q点下方时，
同理：PQ＝m﹣1，QR＝2m﹣2，m﹣1＝1，
∴m＝2，
则，．
综合可得点坐标为或.
23．二次函数是常数）的图象与轴交于A，B两点。
（1）若A，B两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的对称轴；
（2）若函数的图象经过点，且时，求的最大值；
（3）若一次函数是常数，，它的图象与的图象都经过轴上同一点，且.当函数的图象与轴仅有一个交点时，求的值.
【答案】（1）解：函数的表达式为.
函数的对称轴为直线；
（2）解：二次函数，
函数的图象经过点，
当时，有最大值为2.
的最大值为2；
（3）解：由题意得，二次函数是常数）的图象与轴交于两点，①若两函数的图象都经过轴上同一点，
则，
.
函数的图象与轴仅有一个交点，
整理，得，
②若两函数的图象都经过x轴上同一点
则，
函数的图象与轴仅有一个交点，
整理，得，
综上所述，当函数的图象与轴仅有一个交点时，的值为4或-4.
24． 如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x-3）＝a（x2-2x-3），
则-3a＝3，
解得：a＝-1，
故抛物线的表达式为：y＝-x2+2x+3；
（2）解：由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝-x+3，
如图，过点P作y轴的平行线交CB于点H，
设点P（x，-x2+2x+3），则点H（x，-x+3），
则S△PBC＝S△PHC+S△PHB=×PH×OB=（-x2+2x+x-3）=-（x-）2+≤，
即△PBC的面积的最大值为，此时点P（，）；
（3）解：存在，点N的坐标为：（4，-）或（4，）或（-2， ）或（-2，）．
【解析】（3）存在，理由：
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC=
∵抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3，
∴对称轴为：x＝1，
设点M（1，t），N（x，y），
若BC为菱形的边长，菱形BCMN，
则BC2＝CM2，即18＝12+（t-3）2，
解得：t1=+3，t2=-+3，
∵，
∴x＝4，y＝t-3，
∴N1（4，），N2（4，-）；
若BC为菱形的边长，菱形BCNM，
则BC2＝BM2，即18＝（3-1）2+t2，
解得：t3=，t4=-，
∵，
∴x＝-2，y＝3+t，
∴N3（-2，），N4（-2，）；
即点N的坐标为：（4，-）或（4，）或（-2， ）或（-2，）．
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浙教版2024-2025学年九年级上数学第1章二次函数 尖子生测试卷1
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1． 如图，抛物线的对称轴为x=-1，且过点(，有下列结论：①abc>0； ②a-2b+4c>0； ③25a-10b+4c=0； ④3b+2c>0；其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（第1题） （第2题） （第5题） （第7题） （第8题）
2． 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
3．设一元二次方程 的两根分别为 ，且 ，则
满足（ ）
A． B． C． D． 且
4．已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1A．若x10
C．若x1＞x2，则a（x1+x2-2）＞0 D．若x1＞x2，则a（x1+x2-2）<0
5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A，B两点，C(m，﹣3)是图象上的一点，且AC⊥BC，则a的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．在平面直角坐标系中，若点P的橫坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点，已知二次函数 （a，b是常数， ）的图象上有且只有一个完美点 ，且当 时，函数 的最小值为 ，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，抛物线与x轴交于点A(－6，0)．点，是抛物线上两点，当t≤x≤t＋3时，二次函数最大值记为，最小值记为，设，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点D，E，过该函数图象的顶点且与轴平行的直线交抛物线于点B，C．若，则和需满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
9．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（－，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．－3＜n≤－1或 B．－3＜n＜－1或
C．n≤－1或 D．－3＜n＜－1或n≥1
10．定义：平面直角坐标系中，点的横坐标x的绝对值表示为，纵坐标y的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“＋”是四则运算中的加法），若抛物线与直线只有一个交点M，已知点M在第一象限，且，令，则t的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若关于x的方程恰有三个根，则t的值为 .
12．在抛物线上，过轴上点作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于，，，，且，分别是线段，的中点，面积的最小值为 ．
13．已知，为x轴上两点，，为二次函数图象上两点，当时，二次函数y随x增大而减小，若，时，恒成立，则A、B两点的最大距离为 ．
14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，抛物线顶点为．若直线交直线于点，且，则的值为 ．
15．已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）经过点（2，0），且2①方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
②若对任意的实数m，都有bm-b≥am2-a，则
③若抛物线经过点（-1，0），在抛物线上有且仅有2个点到x轴的距离等于n（n>0），则；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，且都在y轴右侧，若4a+c>0，则（x1-x2）（y1-y2）>0.
其中正确的是 （填写序号）.
16．对于一个四位自然数M ，满足千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“智慧数”．例如，，因为，所以5241是“智慧数”则最小的“智慧数”是 ；若“智慧数”，使二次函数与x轴有且只有一个交点，且满足，则满足条件的M的最大值为 ．
三、解答题（本题有8小题，每题10分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是，与轴交于点，已知两点的坐标分别为。
（1）当时，若和是抛物线上任意两点，且，当时，求的值；
（2）若二次函数的图象与线段只有一个公共点，求的取值范围。
18．已知，关于的二次函数．
（1）若函数经过点，求拋物线的对称轴．
（2）若点P(t-2，p)，Q(t+3，q)均在抛物钱y=2x2-4tx-3上，则p q(填">"，“<"或"=”).
（3）记，当时，始终成立，求的取值范围．
19．若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“最值差函数”．
（1）函数①；②；③．其中函数 是在上的“最值差函数”；（填序号）
（2）已知函数．
①当时，函数G是在上的“最值差函数”，求t的值；
②函数G是在（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求a的取值范围．
20．在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且经过和两点．
（1）求和的值用含的代数式表示；
（2）若该抛物线开口向下，且经过，两点，当时，随的增大而减小，求的取值范围；
（3）已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围．
21．顶点为的二次函数满足以下三个条件的任意两个：
其与轴的交点为；
其与轴的交点为和；
该函数其最大值为．
（1）从以上条件任选两个，求出函数的表达式；
（2）若存在直线，二次函数上的存在一个点，使得等于到直线的距离，求出点的坐标．
22．如图，抛物线y1＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣3，0），点B，点D是抛物线y1的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线y1所对应的函数解析式；
（2）如图1，点M是抛物线y1上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接MC，若∠MCB＝∠DAC，求m的值；
（3）如图2，将抛物线y1平移后得到顶点为B的抛物线y2．点P为抛物线y1上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线y2于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y2于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等时，请直接写出点P的坐标．
23．二次函数是常数）的图象与轴交于A，B两点。
（1）若A，B两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的对称轴；
（2）若函数的图象经过点，且时，求的最大值；
（3）若一次函数是常数，，它的图象与的图象都经过轴上同一点，且.当函数的图象与轴仅有一个交点时，求的值.
24． 如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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