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浙教版2024-2025学年九年级上数学第1章二次函数 尖子生测试卷2
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点，点是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下个结论：；，是抛物线上的两个点，若，且，则；在轴上有一动点，当的值最小时，则点的坐标为；若关于的方程无实数根，则的取值范围是其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
（第1题） （第3题）
2．若b≤x≤b＋3时，二次函数y＝x2＋bx＋b2的最小值为15，则b的值为（ ）
A．-或 B．或 C．2或 D．-2或
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）交x轴于A，B两点（B在A左侧），交y轴于点C，且CO＝AO，分别以BC，AC为边向外作正方形BCDE、正方形ACGH，记它们的面积分别为S1，S2，△ABC面积记为S3，当S1+S2＝6S3时，b的值为（ ）
A． B． C． D．
4．设函数的图象与轴交点的横坐标分别为，，函数的图象与轴交点的横坐标分别为，.当和时，函数的值分别为，；当和时，函数的值分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
5．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值满足：当-1≤x≤1时，-1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝-x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”且抛物线经过点A（1，-1）和点B（-1，1），则a的取值范围是（ ）
A． B． 或
C．-1≤a≤1 D．-1≤a＜0或0＜a≤1
6．嘉琪同学在研究二次函数为常数的性质时得到以下结论：这个函数图象的顶点始终在直线上；当时，随的增大而减小，则的取值范围为；点与点在函数图象上，若，则；存在一个的值，使得函数图象与轴的两个交点和函数图象的顶点构成等腰直角三角形其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．已知二次函数 的图象经过点 若自变量 取-4， ，1，3时，对应的函数值分别为 ， ， ， ，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
8．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．规定二次函数的相关函数是.已知点，的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
10．若点与分别是两个函数图象与上的任一点．当时，有-1≤y1-y2≤1成立，则称这两个函数在上是“相邻函数”．例如，点与分别是两个函数与图象上的任一点，当时，，它在上，-1≤y1-y2≤1成立，因此这两个函数在上是“相邻函数”．若函数与在上是“相邻函数”，求a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，已知抛物线．
⑴抛物线与y轴的交点B的坐标为 ；
⑵P是抛物线在第四象限上的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为点A、C，则四边形周长的最大值为 ．
12．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，则正确的结论有 ．（填写序号）
①点都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝30°，∠ADC＝60°，BC＝CD＝3，若线段MN在边AD上运动，且MN＝1，则AD的长为 ，BM2+2BN2的最小值是 .
（第11题） （第13题） （第14题） （第16题）
14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+2x-3的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接AC，BC．已知点E坐标为，点D在线段AC上，且．则四边形BCDE面积的大小为 ．
15．规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数互为“函数”例如：函数与互为“函数”若函数的图象与轴只有一个交点，则它的“函数”图象与轴的交点坐标为 ．
16．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是 ．
三、解答题（本大题有8小题，每题10分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．请结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．
设函数（实数为常数）的图象为图象．
（1）求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）是否存在非负整数，使图象与轴的公共点都是整点？若存在，求所有非负整数的值；若不存在，请说明理由．
18．已知二次函数y1＝ax2﹣bx+c，y2＝cx2﹣bx+a，这里a、b、c为常数，且a＞0，c＜0，a+c≠0．
（1）若b＝0，令y＝y1+y2，求y的函数图象与x轴的交点数；
（2）若x＝x0时，y1＝p，y2＝q，若p＞q，求x0的取值范围；
（3）已知二次函数y1＝ax2﹣bx+c的顶点是（﹣1，﹣4a），且（m﹣1）a﹣b+c≤0，m为正整数，求m的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点时，求的值；
（3）若是抛物线上位于第一象限内的一点，且，求点的坐标．
20．已知抛物线．
（1）求出它的顶点坐标和对称轴；
（2）当时，有，求的值；
（3）当自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，且，求m的值．
21．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
（1）当时，求抛物线的对称轴；
（2）若抛物线经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）当时，点，在抛物线上．若，请直接写出m的取值范围．
22．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．
23． 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，．
（1）求b的值（用含a的代数式表示）；
（2）若二次函数在时，y的最大值为2，求a的值：
（3）将线段向右平移2个单位得到线段．若线段与抛物线仅有一个交点，求a的取值范围．
24．已知二次函数y＝a（x+2a-1）（x-a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）当a＝1时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
（2）若此函数图象对称轴为直线x＝-2时，求函数的最小值．
（3）设此二次函数的顶点坐标为（m，n），当a≠1时，求的最大值
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浙教版2024-2025学年九年级上数学第1章二次函数 尖子生测试卷2
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点，点是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下个结论：；，是抛物线上的两个点，若，且，则；在轴上有一动点，当的值最小时，则点的坐标为；若关于的方程无实数根，则的取值范围是其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【解析】①∵抛物线开口向上，故a＞0；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
即对称轴在y轴左侧，
∴a与b同号，
故b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
故c＜0；
∴abc＜0，故①错误；
②∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴当x＜-1时，y随x的增大而减小，
又∵x1＜x2，且x1+x2＜-2，
故x1+x2＜2x2＜-2，
则x2＜-1，
∴E，F两点都在对称轴的左侧，
∴y1＞y2．故②错误；
③作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC，如图：
则PC′=PC，
故PC+PD=PC′+PD=C′D，
故此时PC+PD的值最小；
将A（-3，0）代入二次函数y=ax2+bx+c得，9a-3b+c=0，
又∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
即，
∴b=2a，
故9a-6a+c=0，
∴c=-3a；
又∵抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c），
则点C坐标为（0，-3a），
∴点C′坐标为（0，3a）；
当x=-1时，y=-4a，
故D（-1，-4a）；
设直线C′D的函数表达式为y=kx+3a，
将点D坐标代入得-k+3a=-4a，
解得：k=7a，
所以直线C′D的函数表达式为y=7ax+3a；
将y=0代入y=7ax+3a得，
所以点P的坐标为，故③正确；
④∵方程ax2+b（x-2）+c=-4没有实数根，
即方程ax2+bx-2b+c+4=0根的判别式△=b2-4ac＜0，
∴b2-4a·（-2b+c+4）＜0，
∵b=2a，c=-3a，
故整理可得△=b（b-1）＜0；
∵b＞0，
∴b-1＜0，
即b＜1，
∴0＜b＜1；故④错误；
∴正确的有③．
故答案为：A.
2．若b≤x≤b＋3时，二次函数y＝x2＋bx＋b2的最小值为15，则b的值为（ ）
A．-或 B．或 C．2或 D．-2或
【答案】B
【解析】∵二次函数
∴二次函数图象开口向上，对称轴为
①当时，即
∴当时，为最小值，
∴
解得：
②当时，即
在自变量x满足的情况下，y随x增大而增大，
∴当时，为最小值，
∴
解得：
③当时，即
在自变量x满足的情况下，y随x增大而减小，
∴当时，为最小值，
∴
解得：
综上所述，b的值为：或，
故答案为：B.
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）交x轴于A，B两点（B在A左侧），交y轴于点C，且CO＝AO，分别以BC，AC为边向外作正方形BCDE、正方形ACGH，记它们的面积分别为S1，S2，△ABC面积记为S3，当S1+S2＝6S3时，b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 y＝ax2+bx+3，当x=0时，y=3，则C（0，3），
∴OC=OA=3，
∴A（3，0），
∵ S1+S2＝6S3 ，
∴BC2+AC2=6××AB×OC，
即OC2+OB2+OC2+OA2=9+OB2+9+9=6××（OB+3）×3，
解得：OB=9，
∴B（9，0），
设抛物线解析式为y=a(x-9)(x-3)，
把C（0，3）代入得a=，
∴y=(x-9)(x-3)，即y= x2-x+3 ，
∴b=-.
故答案为：B.
4．设函数的图象与轴交点的横坐标分别为，，函数的图象与轴交点的横坐标分别为，.当和时，函数的值分别为，；当和时，函数的值分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵a1、β1是方程x2+bx+c=0的两根，α2、β2是方程x2+dx+e=0的两根，
∴α1+β1=-b，α1·β1=c，α2+β2=-d，α2·β2=e.
∵当x=α2和β2时，函数y的值分别为A1，B1，
∴A1=α22+bα2+c=α22-(α1+β1)α2+α1β1=(α2-α1)(α2-β1)，
B1=β22+bβ2+c=β22-(α1+β1)β2+α1·β1=(β2-α1)(β2-β1).
∵当x=α1和β1时，函数y2的值分别为A2，B2，
A2=α12+bα1+c=α12-(α2+β2)α1+α2β2=(α1-α2)(α1-β2)，
B2=β12+bβ1+c=β12-(α2+β2)β1+α2·β2=(β1-α2)(β1-β2).
∴A1B1=(α2-α1)(α2-β1)(β2-α1)(β2-β1)，
A2B2=(α1-α2)(α1-β2)(β1-α2)(β1-β2)=(α2-α1)(α2-β1)(β2-α1)(β2-β1)，
∴A1B1=A2B2.
故答案为：A.
5．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值满足：当-1≤x≤1时，-1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝-x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”且抛物线经过点A（1，-1）和点B（-1，1），则a的取值范围是（ ）
A． B． 或
C．-1≤a≤1 D．-1≤a＜0或0＜a≤1
【答案】B
【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，-1）和点B（-1，1），
∴将点A、B分别代入解析式y＝ax2+bx+c（a≠0），可得，
解得：a=-c，b=-1，
∴抛物线的解析式为y＝ax2-x-a，
∴抛物线的对称轴为直线x=，
①当a<0时，抛物线的开口向下，且，
∴根据题意可作出如图所示的草图：
∴当≤-1时，此时≤a<0，符合题意；
当-1<<0时，图象不符合-1≤y≤1，舍掉；
②当a>0时，抛物线的开口向上，且，
∴根据题意可作出如图所示的草图：
∴当≥1时，此时0
当0<<1时，图象不符合-1≤y≤1，舍掉；
综上，a的取值范围为或，
故答案为：B.
6．嘉琪同学在研究二次函数为常数的性质时得到以下结论：这个函数图象的顶点始终在直线上；当时，随的增大而减小，则的取值范围为；点与点在函数图象上，若，则；存在一个的值，使得函数图象与轴的两个交点和函数图象的顶点构成等腰直角三角形其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【解析】二次函数 为常数顶点坐标为（h，-h+1）且当x=h时，y=-h+1，
这个函数图象的顶点始终在直线 上，故 正确；
当时，y随x的增大而减小，且a=-1<0，
则h的取值范围为 ，故 正确；
，二次函数为常数的对称轴为直线x=h，
点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，
故 正确；
存假设存在一个h的值，使得函数图象函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，
令y=0，得
解得：
顶点坐标为（h，-h+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，
解得：h=0或h=1，
当h=1时，二次函数此时顶点为（1，0），与x轴的交点也为（1，0），不构成三角形，所以舍去；
存在h=0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，故 正确.
故答案为：D.
7．已知二次函数 的图象经过点 若自变量 取-4， ，1，3时，对应的函数值分别为 ， ， ， ，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】D
【解析】 二次函数 的图象经过点 ，
，
，
二次函数的解析式为 ，
函数的对称轴为直线 ，
不妨设 ，
，
，
A、当 ，即 时，
不一定大于 ，故此选项错误，不符合题意；
B、若 ，即 时，
则 不一定大于 ，故此选项错误，不符合题意；
C、若 ，即 时，
则 不一定小于0，故此选项错误，不符合题意；
D、若 ，即 时，
则 一定小于0，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
8．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得三倍点所在直线的解析式为y=3x，
∵在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
∴在的范围内，二次函数与y=3x至少存在一个交点，
∴，
整理得，
∴，
解得c≥-4，
∴，
∵，
∴，
解得-4≤c＜5，-4≤c＜-3，
综上所述，，
故答案为：D
9．规定二次函数的相关函数是.已知点，的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【解析】如图1，
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有1个公共点，
∴当x=2时y=1，
∴-4+8+n=1，
解之：n=-3；
如图2，
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有3个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n与y轴的交点的纵坐标为1，
∴-n=1
解之：n=-1，
∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有2个公共点，
如图3，
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有3个公共点，
∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1）
∴n=1
如图4
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有2个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n经过点M
∴
解之：，
∴当时线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰好有2个公共点，
∴n的取值范围为 或.
故答案为：A
10．若点与分别是两个函数图象与上的任一点．当时，有-1≤y1-y2≤1成立，则称这两个函数在上是“相邻函数”．例如，点与分别是两个函数与图象上的任一点，当时，，它在上，-1≤y1-y2≤1成立，因此这两个函数在上是“相邻函数”．若函数与在上是“相邻函数”，求a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵函数y=x2-x与y=ax在0≤x≤2上是“相邻函数”，
∴函数y=x2-(a+1)x在0≤x≤2上-1≤y≤1，
根据抛物线y=x2-(a+1)x的对称轴位置不同，分四种情况：
①当，即a≤-1时，y最小=0，y最大=4-2（a+1）≤1，解得a≥，∴此种情况无解；
②当0≤≤1，即-1≤a≤1时，y最小=，y最大=4-2（a+1）≤1，解得≤a≤1；
③当1≤≤2，即1＜a≤-3时，y最小=，y最大=0，解得-3≤a≤1，∴此种情况无解；
④当2＜，即a＞3时，y最小=4-2（a+1）≥-1，y最大=0，解得a≤，∴此种情况无解，
综上可知，函数y=x2-x与y=ax在0≤x≤2上是“相邻函数”，则a的取值范围为：≤a≤1.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，已知抛物线．
⑴抛物线与y轴的交点B的坐标为 ；
⑵P是抛物线在第四象限上的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为点A、C，则四边形周长的最大值为 ．
【答案】；
【解析】（1），
当时，，
∴．
故答案为：
（2）设，则，
∴令四边形周长为，，
∵，
∴时，取最大值，为．
故答案为：
12．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，则正确的结论有 ．（填写序号）
①点都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
【答案】①③
【解析】
解：①由题意得：（1，0）、（3，8）
∴2（1+3）=2×4=8
=0+8=8
∴
∴
∵（1，0），（-2，-2）
∴=2[1+（-2）]=2（-1）=-2
=0+（-2）=-2
∴
∴
即点、
故①正确；
②设点A（m，n）
∵点A在直线y=x+2上
∴n=m+2
∵点A是点（1，0）的“倍增点”
∴2（m+1）=0+n
即2（m+1）=0+m+2
2m+2=m+2
∴m=0
∴n=m+2=2
即A（0，2）
故点A的坐标（0，2）
故②错误；
③设点M（a，b）在抛物线
∴-2a-3
∵点M是（1，0）的“倍增点”
∴2（a+1）=0+b
即2（a+1）=-2a-3
2a+2=-2a-3
-4a-5=0
(a-5)(a+1)=0
∴a=5或a=1
此时当a=5时，b=－3=12
当a=1时，b=－3=-4
∴点M（5，12）或点M（1，4）
∴在抛物线上存在两个点是（1，0）的“倍增点”
故③正确.
故答案为：①③
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝30°，∠ADC＝60°，BC＝CD＝3，若线段MN在边AD上运动，且MN＝1，则AD的长为 ，BM2+2BN2的最小值是 .
【答案】9；
【解析】过点C作，
∵，，
∴，，
过点B作，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴由勾股定理得，
∴；
需使最小，点F在线段的之间，
设，则，
∴
，
∵，开口向上，
∴当时取得最小值为．
故答案为：9，．
14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+2x-3的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接AC，BC．已知点E坐标为，点D在线段AC上，且．则四边形BCDE面积的大小为 ．
【答案】
【解析】∵二次函数y=x2+2x-3的图象与坐标轴相交于A，B，C三点；
故将y=0代入y=x2+2x-3得：x2+2x-3=0，
解得：x=-3或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0），
将x=0代入y=x2+2x-3得：y=-3，
∴C（0，-3）；
设AC所在直线的解析式为y=kx+b，
将A（-3，0），C（0，-3）代入得：
，
解得：，
故AC所在直线的解析式为y=-x-3；
设D（x，-x-3）（-3＜x＜0），
∵A（-3，0），D（x，-x-3）；
∴，
即；
解得：
∴；
∵，A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）；
∴；AB=4，OC=3；
∴；
故答案为：.
15．规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数互为“函数”例如：函数与互为“函数”若函数的图象与轴只有一个交点，则它的“函数”图象与轴的交点坐标为 ．
【答案】（3，0）或（4，0）
【解析】因为函数的图象与x轴只有一个交点，所以可以分成两种情况讨论：①当k=0时，为一次函数，它的解析式为：y=-x-3，∴它的"Y函数"为：y=x-3，令y=0，则：x-3=0，∴x=3，此时它的"Y函数"图象与x轴的交点坐标为：（3，0）；②当k≠0时，是二次函数，因为图象与x轴只有一个交点，所以方程有两个相等的实数根，，∴k=-1，所以此时二次函数解析式为：，它的顶点坐标为：（-4，0），所以它的"Y函数"图象的顶点坐标为（4，0），即与x轴的交点坐标为（4，0）。综上所述，"Y函数"图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）。
故答案为：（3，0）或（4，0）.
16．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是 ．
【答案】或
【解析】如图，
把 代入 ，
得 ，
，
当时，，
，
当时，，
，，
，，
设直线的解析式为，
得，解得，
直线的解析式为，
设，
， ，
，
，
，
，
当时，，
，
在直线上找一点，使得，
，
设，
，
，(舍去)，
当时，，
，
综上所述，或，
故答案为：或.
三、解答题（本大题有8小题，每题10分，共80分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．请结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．
设函数（实数为常数）的图象为图象．
（1）求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）是否存在非负整数，使图象与轴的公共点都是整点？若存在，求所有非负整数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：①当，即时，函数为一次函数．
当时，，解得：，
∴图象与轴有公共点；
②当，即时，函数为二次函数．
当时，为一元二次方程，
，
∵，∴，
∴一元二次方程总有实数根，
∴图象与轴总有公共点．
综上所述，无论取什么实数，图象与轴总有公共点．
（2）解：存在非负整数，使图象与轴的公共点都是整点．
理由如下：
①当时，由（1）知，图象与轴有公共点，不符合题意；
②当时，函数为二次函数，
当时，为一元二次方程，将方程左边分解因式，
可得：，∴或，
∴或，
∵是非负整数，∴，∴，
∴当是8的因数且时，是整数，
∴或或，∴或或，
综上所述，存在非负整数，使图象与轴的公共点都是整点，
非负整数的值为0或2或6．
18．已知二次函数y1＝ax2﹣bx+c，y2＝cx2﹣bx+a，这里a、b、c为常数，且a＞0，c＜0，a+c≠0．
（1）若b＝0，令y＝y1+y2，求y的函数图象与x轴的交点数；
（2）若x＝x0时，y1＝p，y2＝q，若p＞q，求x0的取值范围；
（3）已知二次函数y1＝ax2﹣bx+c的顶点是（﹣1，﹣4a），且（m﹣1）a﹣b+c≤0，m为正整数，求m的值．
【答案】（1）解：当时，
令，则，
，
，
，
方程没有实数根，即抛物线与轴没有交点；
（2）解：
抛物线的开口向上，抛物线，开口向下，
当时，，
，
当时，
，
当B<0时，如图1，若，
即，则或，
即或，
当时，如图2，若，即，则或，
即或，
综上所述，若，则的取值范围为
或；
（3）解：二次函数的顶点是，
，
，
为正整数，
的值为2或1.
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点时，求的值；
（3）若是抛物线上位于第一象限内的一点，且，求点的坐标．
【答案】（1）解：把点代入抛物线，得
解得：
∴
（2）解：
当抛物线向左平移个单位时，
把代入得：，
解得：（舍），
．
（3）解：如图：
过点作轴，交于点
∵A（0，3），B（-1，2），C(3，0)，
，，
，
，
∵A（0，3），C(3，0)，
直线解析式：
设，则
，
，
，
解得：，
，
20．已知抛物线．
（1）求出它的顶点坐标和对称轴；
（2）当时，有，求的值；
（3）当自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，且，求m的值．
【答案】（1）解：由抛物线，
则顶点坐标，对称轴；
（2）解：∵，且对称轴在范围内，
∴，
∵
∴，
则；
（3）解：由（1）知抛物线的对称轴为直线，
①当时，如图，
当时，，
当时，，
则，解得；
②当时，如图，
即，
当时，，
当时，，
则，解得(舍去)；
③当时，如图，
即，
当时，，
当时，，
则，解得(舍去)或(舍去)；
④当时，如图，
即，
当时，，
当时，，
则，解得；
综上所述，或．
21．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
（1）当时，求抛物线的对称轴；
（2）若抛物线经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）当时，点，在抛物线上．若，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：∵，为抛物线上的对称点，
∴，
抛物线的对称轴；
（2）解：∵过，，
∴，，，
∴对称轴．
①当时，
∵时，y随x的增大而增大，
∴，，
∴．
②当时，
∵时，y随x的增大而增大，
∴，，
∴，
综上：a的取值范围是或；
（3）解：m的取值范围为或．
【解析】（3）解：∵点在抛物线上，
，
∵点，在抛物线上，
∴对称轴为直线，
①如图所示：
，
且，
；
②如图所示：
，
，
，
综上所述，m的取值范围为或．
22．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为
将代入解析式得：
∴抛物线的解析式为
令，则
解得：
∴入水处B点的坐标
（2）解：距点E的水平距离为5米，对应的横坐标为：
将代入解析式得：
∵
∴该运动员此次跳水失误了
（3）解：∵，，点E的坐标为
∴点M、N的坐标分别为：
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为顶点C距水面4米
，
∴当抛物线经过点时，把点M代入得：
同理，当抛物线经过点时，
由点D在之间可得：
23． 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，．
（1）求b的值（用含a的代数式表示）；
（2）若二次函数在时，y的最大值为2，求a的值：
（3）将线段向右平移2个单位得到线段．若线段与抛物线仅有一个交点，求a的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象开口向上，经过点，，
∴，，
∴；
（2）解：∵二次函数，，在时，y的最大值为2，
则其对称轴为：，
∴当时，随的增大而增大，
则时，有最大值2，
即，得．
∴；
（3）解：∵线段AB向右平移2个单位得到线段A'B'，
∴，，
设A'B'的解析式为，
则：，
解得：，
∴直线A'B'的解析式为，
∵抛物线在的范围内仅有一个交点，
∴即方程在的范围内仅有一个根，
整理得在的范围内只有一个解，
即抛物线在的范围内与x轴只有一个交点，
观察图象可知，时，，时，，
∴，
解得，，
∴．
当方程有等根时，，
∴，
∴，
解得或0（舍弃），
当时，交点的横坐标为1，不符合题意，舍弃．
综上，的取值范围为．
24．已知二次函数y＝a（x+2a-1）（x-a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）当a＝1时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
（2）若此函数图象对称轴为直线x＝-2时，求函数的最小值．
（3）设此二次函数的顶点坐标为（m，n），当a≠1时，求的最大值
【答案】（1）解：(1)当a= 1时，
y= (x＋2-1)(a -1＋2)=(x＋1)(x＋1)=(x＋1)3
即y =x2+2x＋1，
∴函数的表达式为y = x2+2x +1，
∴函数图象的顶点坐标为(-1，0)；
（2）解：
当 时， 即
解得： ， 此函数图象与 轴的交点坐标为
此函数图象对称轴为直线 ，
解得： ，
， 函数图象开口向上，
当 时， 函数有最小值， 此时
函数的最小值为 -27 ；
（3）解： 此函数图象与 轴的交点坐标为 ，
此二次函数的顶点坐标为 ，
，
∴=
∵
∴
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