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专题突破一：全等三角形综合之多结论问题(20道)
（选填压轴题专练）
一、选择题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，已知平分平分，且．则下列结论：①平分，②，③，④点是线段上任意一点，则．正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的判定与性质．由，平分，平分，得，，，再由，可得，①正确；进而得，②正确；由得，③正确；点是线段上任意一点，由与不平行，与不平行，得，故，④不正确，所以有3个正确．
【详解】解：
平分
平分
平分,故①正确；
,故②正确；
，故③正确；
如图，点是线段上任意一点
与不平行，与不平行
，故④不正确，
所以，正确的个数有3个．
故选：C．
2．已知：如图，平分，，，下列结论：①；②；③， .其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．过作，交的延长线于，证，进而得出①正确，再证，进而得到③④正确，没有条件能证明②，进而即可解决问题．
【详解】解：如图，过作，交的延长线于，
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故③正确；
，故④正确；
，
，故②错误，
综上所述：正确的是①③④．
故选：D．
3．如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】B
【分析】根据已知条件无法判定与相等，进而可对结论进行判断；
先根据角平分线的定义得，进而得，，，据此可对结论进行判断；
先证和全等得，然后根据平角的定义得，据此可对结论进行判断；
根据为的高得：，，根据已知条件无法判定与相等，对此可对结论进行判断．
此题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理、全等三角形的判定方法和三角形的面积公式．
【详解】根据已知条件无法判定与相等，
无法判定与相等，
结论不正确；
是的角平分线，
，
为的高，，
，，
又，
，
结论正确；
由结论正确得：，
平分，
，
在和中，
，，，
，
，
，
，
，
即：，
结论正确；
为的高，
，，
根据已知条件无法判定与相等，
无法判定与相等，
结论不正确．
综上所述：正确的结论是．
故选：B．
4．如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答．
【详解】解：在正方形和中，，，
，即，
在和中，，，
，
，故①正确；
设相交于点N，
，
，
，
，
，故②正确；
过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示：
，
，
，
，
，
在和中，
，，
，
，故④正确；
同理可得，
，
在和中，
，，
，
，
是的中线，故③正确．
综上所述，①②③④结论都正确，共4个．
故选：D．
5．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，①正确；由可知，过点作，，，由角平分线的性质可知是的平分线，②正确；若，则，则，则为等边三角形，这与题干任意画一个 的不符，故③错误．，故，由四边形内角和定理可得出，故，由全等三角形的判定定理可得出，故可得出；由三角形全等的判定定理可得出，，故可得出，，再由可得出，④正确；利用角平分线的性质定理以及三角形的面积公式，可得⑤正确．正确作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
【详解】解：、分别是与的角平分线，，
，
，
故①正确；
，
，
过点作，，，，
、分别是与的角平分线，
是的平分线，
故②正确；
若，则，则，则为等边三角形，
这与题干任意画一个 的不符，
故③错误．
，
，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
同理，，
，，
两式相加得，，
，
，
故④正确；
是角平分线，
到、的距离相等，
，
故⑤正确．
故选：．
6．如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由SAS证明得出，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作，如图所示：则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：，
，即，
在和中，
，
∴，
，①正确；
∴，
由三角形的外角性质得：，
，②正确；
作于，于，如图2所示：
则，
在和中，
，
，
，
∴平分，④正确；
∵，
∴当时，才平分，
假设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
与矛盾，
∴③错误；
正确的①②④；
故选：B．
7．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论； ； ； 中，，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】证明可得，，可判断，选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解的度数，利用角平分线的定义求得，即可得，进而可证明，即可判断选项正确，进而可求解．
【详解】解：①，
，即，
在和中，
，
，
，故①选项符合题意；
，故④选项符合题意；
②，
，
，
，
平分，
，
，
，
（内错角相等，两直线平行），
故②选项符合题意；
根据已知条件无法证明，故③选项不符合题意．
故选：C．
8．如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，利用角平分线和公共边可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断③；由全等三角形的性质可得，，进而可判断④．
【详解】解：∵在中，、分别平分、，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，，故②正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．故③正确；
∵，，
∴，，
∵，
∴，故④不正确；
综上，正确的有①②③，共3个，
故选：B．
9．如图，在中，，、分别平分，，且交于点F．则下列说法中①；②；③若，则；④；⑤．哪些是正确的（ ）
A．①③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
【答案】D
【分析】由，得，则，可判断①正确；作于点G，于点H，则，因为与不一定相等，与不一定相等，可判断②错误；延长到点K，使，连接，可证明，得，而，所以，则，所以，则，可判断③正确；在上截取，连接，可证明，得，则，再证明，得，则，可判断④正确；由④可得，，由即可推出，可判断⑤正确．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
如图1，作于点G，于点H，则，
∵与不一定相等，
∴与不一定相等，
即：与不一定相等，
故②错误；
如图1，延长到点K，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
如图2，在上截取，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
由④可得，，，
∵，
∴，即，
故⑤正确，
正确的结论为①③④⑤，
故选：D．
10．如图，在中，为边上的点，且，连接，过作，并截取，连接交于，则下列结论：①；②为的中点；③；④；其中正确的结论共有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由余角的性质可得，故①正确；由“”可证，可得，由“”可证，可得，故②正确；由角的数量关系可得，故③正确；由全等三角形的性质可得，可得，故④错误，即可求解．
【详解】解：∵，
故①正确；
如图，过点作于，
又
点F是的中点，故②正确；
故③正确；
故④错误；
故正确的有①②③三个，
故选：C．
11．如图，中，是的角平分线，延长至，使得，连接．下列判断：；；平分；的面积的面积，一定成立的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】利用三角形的角平分线，中线和垂直平分线进行判断即可，
【详解】如图，延长交于点，过作于点，
∵，，
∴，
又∵是的平分线，
∴垂直平分，
∴，故正确；
∵，
∴，，
∴，即，故正确；
由题意可知与不一定相等，
则不一定成立；
∵，垂直平分，
∴，
∴，故正确；
综上正确；
故选：．
12．如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，于点，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据可得出 , 利用判定,从而得出.则,即； 再利用判定 , 得出又因为所以 连接.因为是等腰直角三角形, 即.又因为,那么垂直平分.即.在中, 是斜边, 是直角边, 所以.即.
【详解】解：∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，故①正确；
在和中，
∵,, 且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
在和中
∵平分，
∴，
又∵,，
∴，
，
又由,知，
∴，故③正确；
连接，
∵是等腰直角三角形，
∴，
又，
∴垂直平分，
∴，
在中，
∵是斜边，是直角边，
∴，
∵，
∴，故④错误；
综上分析可知，正确的是①②③．
故选：．
13．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为（ ）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④
【答案】C
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与∠C的关系，进而判定①；过O点作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于N，于H，根据三角形的面积可证得④正确．
【详解】解：∵和的平分线相交于点O，
∴，，
∴，故①错误；
过O点作于P，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，分别是与的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴， 如图，在上取一点H，使，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
∴，故③正确；
作于N，于H，
∵和的平分线相交于点O，，
∴，
∵，
∴，故④正确．
故选：C．
14．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则；④．其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①③
C．①② D．①②③
【答案】D
【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解和的关系，进而判定①；根据得，根据角平分线和三角形内角和定理得，在上取一点H，使，利用证明可得，利用可证明得，进而可判定②；作于H，于M，根据题意得，根据，利用三角形面积即可判断③，利用角平分线性质和已知条件即可判断④，进而得出结论．
【详解】解：∵和的平分线，相交于点O，
∴，，
∴
，
故①正确；
∵，
∴，
∵，分别是和的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，在上取一点H，使，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
如图所示，作于H，于M，
∵和的平分线相交于点O，
∴点O在的平分线上，
∴，
∵，
∴
，
故③正确；
∵，分别是和的平分线，
若，则，
而所给的条件中，的三个内角都未知，
∴不一定等于，
故④错误；
综上，①②③正确，
故选：D．
15．如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则．
正确的结论序号是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据垂直定义可得，再利用，得到，从而可证明，进而得到，即可判断①；根据，，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得，即可判断③，若，根据可以得到，从而可得是的中点，然后可以推出是的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，，
，故②不正确；
，
，故③正确；
，
，
，
为的中点，
，
为线段的垂直平分线，
，故④正确，
所以，正确结论的序号是：①③④，
故选：D．
16．如图，在与中，，，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】由“”可证≌，由全等三角形的性质依次判断可求解．
【详解】解：在和中，
，
，
，，，故②正确，
，故①正确，
，
，故③正确，
若，则，
，
，显然与题目条件不符故④错误，
故选：．
17．如图，内角和外角的平分线交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论；①；②；③若，则；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①根据角相等推出线段相等，再将线段进行转化，即可证明；
②与不能得出全等的结论，无法证明；
③若，无法推出；
④利用三角形面积的公式即可证明；
⑤通过设未知数找到等量关系，从而证明．
【详解】①∵
∴，
∵内角和外角的平分线交于点
∴，
∴，
∴，
∴
∴，故①正确．
②与只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所以不能得出全等的结论，不能推出，故②错误
③若，则，则，无法推出，故③错误
④的面积为乘以点到线段的距离乘以
的面积为乘以点到线段的距离乘以
点到线段的距离与点到线段的距离相等
∴，故④正确
⑤过点E作于N，于D，于M，如图，
∵平分，
∴
∵平分，
∴
∴，
∴平分，
设，
，
，
则，
，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
即，故⑤正确；
故选C
18．如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③平分；④；⑤，其中正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】①利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可判定；
②证明，推出，再证明，推出即可判定；
③利用反证法，假设成立，推出矛盾即可；
④可以证明，据此即可判定；
⑤由，利用等高模型即可判定．
【详解】解：在中，，
，
又、分别平分、，
，，
，
，故①正确；
，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
，，，
，
在△APH和△FPD中，
，
，
，
，故②正确；
，，
，，，
，
，
，
，
，即，故⑤正确；
，故④不正确；
若平分，则，
，
，
，
，
这个显然与已知条件不符，故③不正确，
综上所述，正确的结论有①②⑤，
故选：D．
19．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列几个结论：
①平分 ② ③当时，；
④若，，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】过分别作交于点、交，根据角平分线的性质得到 ，证明即可判定①正确；由角平分线的定义、三角形的内角和定理得与的关系，判定②正确；在上取一点，使，证，得，再证，得，判定③正确；过作于点，于点，由三角形的面积证得④正确；即可得出结论．
【详解】解：①过分别作交于点、交，
，
平分， 平分，
，，
，
，，
（HL），
，
平分，故①正确；
②和的平分线相交于点，
，，
故②正确；
③，
，
，分别是与的平分线，
，
，
，
，
如图，在上取一点，使，连接，
是的角平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故③正确；
④过作于点，于点，
和的平分线相交于点，
点在的平分线上，
，
，故④正确．
故选：D．
20．如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】D
【分析】先证得，从而推得①正确；利用及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明，得出，同理，得出，，则，证明，得出．则可得出④正确，由可得出结论③正确，根据全等三角形的性质即可得到⑤正确．
【详解】解：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
又∵与所交的对顶角相等，
∴与所交角等于，即等于，
∴，故②正确；
过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故④正确，
∵，
∴．
故③正确．
∵，，，
∴，故⑤正确．
故选：D．
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专题突破一：全等三角形综合之多结论问题(20道)
（选填压轴题专练）
一、选择题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，已知平分平分，且．则下列结论：①平分，②，③，④点是线段上任意一点，则．正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知：如图，平分，，，下列结论：①；②；③， .其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
3．如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
4．如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论； ； ； 中，，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，在中，，、分别平分，，且交于点F．则下列说法中①；②；③若，则；④；⑤．哪些是正确的（ ）
A．①③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
10．如图，在中，为边上的点，且，连接，过作，并截取，连接交于，则下列结论：①；②为的中点；③；④；其中正确的结论共有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，中，是的角平分线，延长至，使得，连接．下列判断：；；平分；的面积的面积，一定成立的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
12．如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，于点，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
13．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为（ ）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④
14．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则；④．其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①③
C．①② D．①②③
15．如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则．
正确的结论序号是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
16．如图，在与中，，，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
17．如图，内角和外角的平分线交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论；①；②；③若，则；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③平分；④；⑤，其中正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
19．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列几个结论：
①平分 ② ③当时，；
④若，，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
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