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专题突破二：全等三角形的综合证明题（20道）
（解答证明题专练）
一、解答题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
1．如图，在和中，，点是的中点，于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）得：，
，，
是的中点，
，
，，
，
．
2．如图，于点，于点，，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】此题考查了全等三角形的性质与判定，熟记三角形全等的判定与性质是解题的关键。
（1）利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质及线段的和差求出，利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可。
【详解】（1）证明：在和中，
,
∴.
（2）
解：∵，
∴，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
3．如图，在中，，，点是外部一点，连结，作，，垂足分别为点，
(1)求证：；
(2)已知，，求的长．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)的长为
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据垂直的关系可得，，由“角角边”即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得，根据线段的和差即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，且，
∴；
（2）解：由（1）可得，，
∴，，
在中，，
∵,，
∴的长为．
4．在中，，，直线经过点，且于，于．
(1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：
①；
②；
(2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长．
【答案】(1)见解析，见解析；
(2)．
【分析】（1）由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案；
由得到，，即可求出答案；
（）与（）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案，
本题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
证明：由（）知：，
∴，，
∵，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
5．如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于．
(1)当时， ， ；
(2)当等于多少时，，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
【分析】此题主要考查三角形综合题，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．
（）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；
（）当时，利用，，求出，再利用，即可得出．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时，，理由如下：
，
，
又，
，
，
在和中，
，
．
6．如图，是直线上两点，在直线外，平分．
(1)试说明平分；
(2)若，求的大小（用含的式子表示）．
【答案】(1)说明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，结合两个三角形全等的判定定理得到，从而利用全等三角形性质即可得证；
（2）由题中条件，根据平行线的判定定理得到，，再结合即可得出，利用三角形内角和定理求解即可得到答案．
【详解】（1）解：平分，
说明如下：
平分，
，
在和中，
，
，即平分；
（2）解：，，
，
，
，
，
，即，
，
由（1）知，
，
，
在中，．
7．已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．
(1)求证：；
(2)请判断、有何大小、位置关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．
（1）要证，现有，，需它们的夹角，而由很易证得．
（2）、有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证，需证，需证可由直角三角形提供．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
．
（2），，理由如下：
由（1）知，，
；
，
，
，
，
，
则．
8．如图，在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，连接．
(1)请判断与相等吗？并说明理由．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键．
（1）证明，进而可得；
（2）由，可得，根据，求解作答即可．
【详解】（1）解：相等，理由如下；
∵，
∴，即．
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
9．如图，、中，点D在上，与交于点F，．
(1)如图1，若，，平分，求的度数．
(2)如图2，若点F为中点，作，且，，连接．求证：．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据平行线的性质，得出，结合角平分线的定义，得，运算三角形内角和性质列式计算，即可作答．
（2）先证明，得；再证明，即可作答．
【详解】（1）解：如图：
∵
∴
∵平分，
∴
∵
∴
∴；
（2）解：如图：
∵点F为中点，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∵，，
∴
∴
10．如图所示，等腰直角三角形中，，，直线经过点，于点，于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）根据“同角或等角的余角相等”即可求证；
（）根据全等三角形的判定得出，进而利用全等三角形的性质解答即可；
本题考查全等三角形的判定和性质，同角或等角的余角相等和垂直的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：在和中
∵，
∴，
∴，，
又，
∴．
11．如图，在等腰中，，过A、B两点分别向过C点的直线l作垂线，垂足分别为D、E．
(1)求证：
(2)设，求证：
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定：
（1）先由垂直的定义得到，再证明，即可利用证明；
（2）由全等三角形的性质得到，则，根据得到，由此即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
12．在中，是边上的中线，是上一点，交于，
(1)若，，求的值.
(2)若，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，涉及倍长中线、三角形三边关系的应用，根据三角形的中线求三角形面积，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）先求出，，再根据即可求出结果；
（2）延长，取，连接，证明，得出，根据三边关系得出，即可求出．
【详解】（1）解：∵是边上的中线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：延长，取，连接，如图所示：
∵是边上的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
13．如图，在中，平分，，延长到点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，解答的关键是结合图形分析清楚各边与各角之间的关系．
（1）由角平分线的定义可得，利用即可判定；
（2）由角平分线的定义可得，再由三角形的外角性质可得，
【详解】（1）证明：平分，
，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．如图所示，点是线段上一点，是过点的一条直线，连接，过点作交于，且．
(1)求证：
(2)若，求证：．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）根据，可得，证明可得；
（2）可证明，根据，， ，，可证明，可得，进而可得．
【详解】（1）解：
在和中
（2）解：
又
在和中
15．已知四边形中，，点在边上，连接，．
(1)如图1，若平分，求证：；
(2)如图2，若为中点，求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，过点作的垂线构造全等三角形是解题的关键．
（1）过点作于，利用证明，得到，再利用证明，得到，即可解决问题；
（2）过点作于，利用证明，得到，再利用证明，得到，即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1，过点作于，
则，
在和中，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：如图2，过点作于，
则，
在和中，
，
，
，
为中点，
，
，
在和中，
，
，
，
平分．
16．如图，是的中线，，，且，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
延长至点G，使，连接，证明得到，则，进而推出，再证明，进而证明，得到，即可得到．
【详解】证明：延长至点G，使，连接．
∵是的中线，
∴．
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
17．如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．
(1)求证：△△．
(2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明）
(3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)图见解析，或，理由见解析
【分析】本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
（1）利用判定；
（2）根据全等三角形的对应边相等可以求得，进而即可得到结论；
（3）与（1）证明过程同理，并结合图形，进行线段的等量代换以及线段的和差运算，则或，即可作答．
【详解】（1）证明：于点，于点，，
，，，
．
在和中
，
．
（2）解：．理由如下：
由（1）知，，则
∴
∴
（3）解：结论：或．
理由：设与的交点为，
当离点近时，结论为；
当离点近时，结论为（注：当为中点时，，两点重合，线段不存在）．
当离点近时，如图：
同（1）可证明，
，．
，
．
当离点近时，如图：
同理，得．
18．学习与探究：
如图1，是的平分线，点A是上任意一点，用圆规分别在、上截取，连接、，则，判定方法是_________．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在中，是直角，，、分别是和的平分线，、相交于点F，求的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在中，如果不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）题中所得结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由．
【答案】；（1）；（2），证明见解析；（3）成立，证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，作出相应的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键，本题的综合性较强，难度较大．
根据可知：可证明两个三角形全等；
（1）根据三角形内角和定理可求，是的外角，根据外角的性质计算求解；
（2）根据图1的作法，在上截取，则；根据证明，得，故判断；
（3）只要的度数不变，结论仍然成立．证明同（2）．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
在与中，
，
∴；
（1）如图2，∵，°，
∴，
∵、分别是和的平分线，
∴，，
∴；
（2）．理由如下：
在上截取，连接，如图2所示：
∵是的平分线，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）在（2）中的结论仍然成立．
在上截取，连接，如图所示：
同（2）可得：，
∴，，
又由（1）知，，
∴，
∴，
∴，
同（2）可得，
∴，
∴．
19．已知：如图，，．
(1)若中，，为上的一点，与相交于点F，求证：．
(2)若中，，在的延长线上，交的延长线相交于点E，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，请完成下图，并加以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)结论成立，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图，找出角度之间的关系是解题的关键．
（1）求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）作出图形，与（1）的证明思路相同进行证明即可．
【详解】（1）解：证明：，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）明：结论成立．
证明如下：如图，
，
，
即，
，
，
，
在和中，
，
，
．
20．如图，中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点．
(1)求度数；
(2)求证：；
(3)猜想线段的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；
（1）根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案；
（2）根据（1）中结论得到，利用定理证明≌；
（3）延长交于，分别证明、，根据全等三角形的性质证明结论．
【详解】（1）解：，
，
是的角平分线，
，
，
（2）证明：由（1）可知：，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
∴；
（3）解：，
证明如下：延长交于，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
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专题突破二：全等三角形的综合证明题（20道）
（解答证明题专练）
一、解答题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
1．如图，在和中，，点是的中点，于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
2．如图，于点，于点，，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
3．如图，在中，，，点是外部一点，连结，作，，垂足分别为点，
(1)求证：；
(2)已知，，求的长．
4．在中，，，直线经过点，且于，于．
(1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：
①；
②；
(2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长．
5．如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于．
(1)当时， ， ；
(2)当等于多少时，，请说明理由．
6．如图，是直线上两点，在直线外，平分．
(1)试说明平分；
(2)若，求的大小（用含的式子表示）．
7．已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．
(1)求证：；
(2)请判断、有何大小、位置关系，并证明．
8．如图，在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，连接．
(1)请判断与相等吗？并说明理由．
(2)若，求的度数．
9．如图，、中，点D在上，与交于点F，．
(1)如图1，若，，平分，求的度数．
(2)如图2，若点F为中点，作，且，，连接．求证：．
10．如图所示，等腰直角三角形中，，，直线经过点，于点，于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
11．如图，在等腰中，，过A、B两点分别向过C点的直线l作垂线，垂足分别为D、E．
(1)求证：
(2)设，求证：
12．在中，是边上的中线，是上一点，交于，
(1)若，，求的值.
(2)若，，求的取值范围.
13．如图，在中，平分，，延长到点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
14．如图所示，点是线段上一点，是过点的一条直线，连接，过点作交于，且．
(1)求证：
(2)若，求证：．
15．已知四边形中，，点在边上，连接，．
(1)如图1，若平分，求证：；
(2)如图2，若为中点，求证：平分．
16．如图，是的中线，，，且，，求证：．
17．如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．
(1)求证：△△．
(2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明）
(3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形．
18．学习与探究：
如图1，是的平分线，点A是上任意一点，用圆规分别在、上截取，连接、，则，判定方法是_________．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在中，是直角，，、分别是和的平分线，、相交于点F，求的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在中，如果不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）题中所得结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由．
19．已知：如图，，．
(1)若中，，为上的一点，与相交于点F，求证：．
(2)若中，，在的延长线上，交的延长线相交于点E，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，请完成下图，并加以证明；若不成立，请说明理由．
20．如图，中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点．
(1)求度数；
(2)求证：；
(3)猜想线段的数量关系，并证明．
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