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专题突破四：全等三角形的综合之压轴题专练（20道）
一、解答题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
1．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．
2．在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中．
(1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分）
(2)小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系是 ．
(3)如图3，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？并证明；
3．在四边形中，，，是上一点，是延长线上一点，且．
(1)试说明：；
(2)在图中，若，，在上且，试猜想、、之间的数量关系并证明所归纳结论；
(3)若，，G在上，满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）．
4．已知为等边三角形，D是边上的一点，连接，E为上的一点，连接．
(1)如图1，延长交于点G．若，，求的长；
(2)如图2，将绕点B逆时针旋转至，延长至点M，使得，连接交于点N，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）问的条件下，过点A作于点H，过点B作且，连接，，，．若，当的值最小时，请直接写出的值．
5．在四边形中，，分别是，并且，试探究图中之间的数量关系．
【初步探索】
（1）如图1，小王同学探究的方法是：延长到点，使．连接，再证明，由此可得出结论 ；
【灵活运用】
（2）如图2，若，上述结论是否仍然成立？请说明理由；
【延伸拓展】
（3）如图3，若，点在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系
6．如图，在中，，，为射线上一点（不与点重合），连接并延长到点，使得，连接．过点作的垂线交直线于点．
(1)如图1，点在线段上，且．
①请补全图形；
②判断，，之间的数量关系，并证明．
(2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系．
(3)基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题．
7．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．
【探究发现】
（1）如图①，与的数量关系是 ，位置关系是 ；
【初步应用】
（2）如图②，在中，若，，求边上的中线的取值范围；
【探究提升】
（3）如图③，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．
8．已知中，
(1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 ．
(2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：．
(3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：．
9．【问题提出】如图1，在中，，直线l经过点，分别从点向直线l作垂线，垂足分别为．求证：；
【变式探究】如图2，在中，，直线1经过点，点分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点．
（1）求证：点到直线的距离相等；
（2）经测量，，求的长．
10．如图1，是的平分线，要求利用该图形画一对位于所在直线两侧的全等三角形，方法如下：在的两边上用圆规截取长度相等的两条线段，，在角平分线上任取一点D，连接，则．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题．
(1)如图2，在中，是直角，分别是和的平分线，相交于点．
①的度数为______；
②在上截取，连接．求证：；
③请判断FE与FD的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，是的外角的平分线，是射线上的一个动点（不与点重合），猜想与的大小关系，并证明你的猜想．
11．【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图，中，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长到点E，使．请根据小聪的方法解决以下问题：
（1）求得的取值范围是___________；
【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题
如图，已知，，P为的中点．
（2）如图1，若A，C，D共线，，，求四边形的面积；
（3）如图2，若A，C，D不共线，，求证：；
（4）如图3，若点C在上，记锐角，且，则的度数是______．（用含α的代数式表示）
12．【基本模型】
如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________．
【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________．
【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系．
13．【初步探索】
（1）如图1，是的中线，探究与的大小关系．
小明同学探究此问题的方法是：延长至点E，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是__________
【灵活运用】
（2）如图2，是的中线，E、F分别在上，且，求证：．
【拓展延伸】
（3）如图3，为的角平分线，直线于点A，点E为上一点（与点A不重合），周长记为a，周长记为b，比较a与b的数量关系并证明．
14．在中，，线段、分别平分、交于点G．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，求证：；
(3)如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长．
15．在中，平分交于点，交于点，P是边上的动点（不与重合），连接，将沿翻折得，记．
(1)如图1，点与点重合时，用含的式子表示；
(2)当点与点不重合时，
①如图2，若平分交于点，猜想之间存在的等量关系，并说明你的理由；
②若，请直接写出的大小（用含的式子表示）．
16．在中，，，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
【特例体验】（1）如图1，若直线，，则线段的长为______．
【探究应用】
（2）如图2，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转时，线段、和的数量关系是________；
（3）如图3，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转时与线段相交，探究线段、和的数量关系并说明理由
（4）若，（a，b均为正数），请你直接写出以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积．
17．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使
请根据小明的方法思考：
（1）求得的取值范围是___________；
【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题
如图，已知，，，为的中点．
（2）如图1，若，，共线，求证：平分 ；
（3）如图2，若，，不共线，求证：；
（4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）．
18．如图，四边形和四边形是正方形，（正方形四条边都相等，四个内角都是直角）
【感知】（1）某学习小组探究如下问题：如图1，连接，，直线于点H，交于点M，则与面积的大小关系是：_________．
【探究】（2）该学习小组在探究（1）中面积问题时，发现M为中点，你认为是否成立 若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
【拓展】（3）经过以上探究，该学习小组也提出问题：若正方形和正方形的位置如图2所示，点M为中点，连接交于点H，那么与有怎样的关系 试探究，并说明理由
19．在和中，，，．
(1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
20．如图，等腰中，，点在边上，连接并延长到，连接，．
(1)如图①，若，，在上取点，连接，使，试证明：
(2)如图②，若，，探究，，的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，若，，探究，，的数量关系，并说明理由．
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专题突破四：全等三角形的综合之压轴题专练（20道）
一、解答题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
1．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键．
（1）由条件可证明，可得，，可得；
（2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论；
（3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点．
【详解】解：（1）如图1，
直线l，直线l，
∴，
，
∴，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）成立，理由如下：
如图，
证明如下：
，
∴，
∴，
在和中．
．
∴，，
∴；
（3）如图3，
过E作于M，的延长线于N．
∴，
，
，
是边上的高，
，
，
，
，
，
，
同理，
，
，
在△EMI和△GNI中，
，
，
，
I是的中点．
2．在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中．
(1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分）
(2)小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系是 ．
(3)如图3，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？并证明；
【答案】(1)见解析
(2)
(3)成立，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；
（1）在上方作，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系；
（2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系；
（3）延长到，使，连接，证明和，得到答案；
【详解】（1）在上方作，使，连接，
在和中，
，
，
，
∵
∴
∴共线
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，即，
添加辅助线：在上方作，使，连接，成功了；
（2）延长到点，使，连接，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，即，
故答案为：；
（3）结论仍然成立，
证明：延长到，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
3．在四边形中，，，是上一点，是延长线上一点，且．
(1)试说明：；
(2)在图中，若，，在上且，试猜想、、之间的数量关系并证明所归纳结论；
(3)若，，G在上，满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）．
【答案】(1)见讲解；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，同角的补角相等，平角的定义，熟练掌握以上知识点，找到条件证明三角形全等是解题的关键．
（1）由同角的补角相等，结合题目给出的边相等，证明，由全等三角形的对应边相等，得证；
（2）结合（1），证明；
（3）结合（1），证明．
【详解】（1），
，
（2）猜想：
由（1）可知，
，，
，
得证；
（3）当成立
由（1）可知，
，，
，
4．已知为等边三角形，D是边上的一点，连接，E为上的一点，连接．
(1)如图1，延长交于点G．若，，求的长；
(2)如图2，将绕点B逆时针旋转至，延长至点M，使得，连接交于点N，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）问的条件下，过点A作于点H，过点B作且，连接，，，．若，当的值最小时，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)．理由见解析
(3)
【分析】（1）作，解直角三角形求得和，进而解直角三角形求得，从而得出结果；
（2）延长至，使，连接，作，交于，证明，进而证明，，，进一步得出结论；
（3）可得出当、、共线且与垂直时，最小，此时，即，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，
作于，
，
是等边三角形，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
；
（2）证明：如图2，
延长至，使，连接，作，交于，
，，
绕点逆时针旋转至，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵旋转，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
；
（3）解：如图3，
由（2）知：，
，
当、、共线且与垂直时，最小，
此时，即，
如图4，连接，
，
，，，
，
．
5．在四边形中，，分别是，并且，试探究图中之间的数量关系．
【初步探索】
（1）如图1，小王同学探究的方法是：延长到点，使．连接，再证明，由此可得出结论 ；
【灵活运用】
（2）如图2，若，上述结论是否仍然成立？请说明理由；
【延伸拓展】
（3）如图3，若，点在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系
【答案】（1）；（2）成立，理由见解答；（3），证明见解答
【分析】（1）延长到点，使，连接，则，从而得出，证明得出，证明得出，即可证明；
（2）延长到点，使，连接，则，从而得到，证明得出，证明得出，即可证明；
（3）延长到点，使，连接，则，证明得出，证明得出，从而得到，即可得解．ｉ
【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接，则，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）成立，
理由：如图，延长到点，使，连接，则，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3），
证明：如图，延长到点，使，连接，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
6．如图，在中，，，为射线上一点（不与点重合），连接并延长到点，使得，连接．过点作的垂线交直线于点．
(1)如图1，点在线段上，且．
①请补全图形；
②判断，，之间的数量关系，并证明．
(2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系．
(3)基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题．
【答案】(1)①见解析；②，证明见解析
(2)画图见解析，
(3)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；
（1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；
（2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；
（3）根据（1）（2）小问写出一个变式性题目即可．
【详解】（1）解：①补全图形如图所示：
；
②，
证明：如图，作交的延长线于，
，
则，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：画出如图所示：
，
关系：，
作交的延长线于，
则，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：若点在线段上，且时，、、之间的数量关系是什么？
7．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．
【探究发现】
（1）如图①，与的数量关系是 ，位置关系是 ；
【初步应用】
（2）如图②，在中，若，，求边上的中线的取值范围；
【探究提升】
（3）如图③，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．
【答案】（1），，（2）；（3），，理由见解析
【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出；
（2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论；
（3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论．
【详解】解：（1）是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
（2）如图2，延长到，使，连接，
由（1）可知，，
，
在中，，
，
即，
，
即边上的中线的取值范围为；
（3），，理由如下：
如图3，延长到，使得，连接，
由（1）可知，，
，
，
，
由（2）可知，，
，
、，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
8．已知中，
(1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 ．
(2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：．
(3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）通过证明，即可求解；
（2）过点A作于H，过点C作交的延长线于T，通过得到AF=CD，再通过即可求解；
（3）过点M作交的延长线于T，交于G，在上取一点K，使得，利用全等三角形的性质证明，即可解决．
【详解】（1）解：∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图2，过点A作于H，过点C作交的延长线于T，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：过点M作交的延长线于T，交于G，在上取一点K，使得，
连接．
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
9．【问题提出】如图1，在中，，直线l经过点，分别从点向直线l作垂线，垂足分别为．求证：；
【变式探究】如图2，在中，，直线1经过点，点分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点．
（1）求证：点到直线的距离相等；
（2）经测量，，求的长．
【答案】问题提出：见解析；变式探究：，证明见解析；拓展应用：（1）见解析；（2）
【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定 理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键．
【问题提出】根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等；
【变式探究】根据等量代换及三角形内角和定理得出由全等三角形的判定和性质即可证明；
【拓展应用】（1）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，即可求出结果．
（2）证明，即可得到结论
【详解】解：【问题提出】证明：在中，
．
又
在和中，
，
∴
【变式探究】证明：
在和中，
∴，
∴，
；
【拓展应用】（1）如图，过点作于点，作，交的延长线于点，
．
与【问题提出】同理可得
．
即点到直线的距离相等；
（2）在和中，
∴，
∴
10．如图1，是的平分线，要求利用该图形画一对位于所在直线两侧的全等三角形，方法如下：在的两边上用圆规截取长度相等的两条线段，，在角平分线上任取一点D，连接，则．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题．
(1)如图2，在中，是直角，分别是和的平分线，相交于点．
①的度数为______；
②在上截取，连接．求证：；
③请判断FE与FD的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，是的外角的平分线，是射线上的一个动点（不与点重合），猜想与的大小关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)①，②证明见解析，③，证明见解析，
(2)
【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系的应用，正确构造全等的三角形，理解两个小题之间的联系是本题的关键．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
（1）①根据三角形内角和定理可求是的外角，根据外角的性质计算求解；②根据图的作法，在上截取，证明即可，③由，可得； 根据证明≌，得，故判断；
（2）在的延长线上，截取，使，连接，判定≌，即可得到，进而得出，再根据，可得．
【详解】（1）解：①．
，
∵、分别是和的平分线，
．
．
②在上截取，连接．
是的平分线，
，
在和中，
，
，
③，理由如下：
∵，
，
．
又，
，
在和中，
，
，
．
．
（2）．
如图所示，在的延长线上，截取，使，连接，
是的角平分线，
，
又，
≌，
，
，
是射线上的一个动点，不与点重合，
，
．
11．【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图，中，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长到点E，使．请根据小聪的方法解决以下问题：
（1）求得的取值范围是___________；
【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题
如图，已知，，P为的中点．
（2）如图1，若A，C，D共线，，，求四边形的面积；
（3）如图2，若A，C，D不共线，，求证：；
（4）如图3，若点C在上，记锐角，且，则的度数是______．（用含α的代数式表示）
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析；（4）
【分析】（1）先证明，根据三角形三边之间的关系即可进行解答；
（2）交延长线于点，证即可；
（3）延长至点，使得，连接、、，证及即可；
（4）过点C作交于点M，由（3）可得，证，用含的代数式表示出即可．
【详解】解：（1）延长到点E，使．
∵是边的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
故答案为：．
（2）解：如下图，延长交延长线于点，
∵，
（同旁内角互补，两直线平行），
，，
为的中点，
，
，
，，，
，
∵，
，
，
则，
．
（3）延长至点，使得，连接、、，
∵，
，
，，
，且，
，
，
∵，
，
，，
∵，
，
，
同理可得，，
．
（4）过点C作交于点M，如图，
由（3）可知，
，
，
和互余，
，
，
∴
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
12．【基本模型】
如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________．
【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________．
【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系．
【答案】【基本模型】；【模型运用】：，证明见解析；【拓展延伸】：．
【分析】（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解；
（2）结论：，证明方法同法（1）；
（3）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，，对应角相等可得，再根据证明，并证明、、三点共线，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解．
【详解】解：（1）结论：．
理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则：，，，
∴，即：三点共线，
，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
故答案为：；
（2）结论：．
理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则：，
同法（1）可得：，
，
又，
．
故答案为：；
（3）结论：．
理由：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则，
，，，，
又，
，
，
又，
，
、、三点共线，
在和中，，
，
，
又，
．
13．【初步探索】
（1）如图1，是的中线，探究与的大小关系．
小明同学探究此问题的方法是：延长至点E，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是__________
【灵活运用】
（2）如图2，是的中线，E、F分别在上，且，求证：．
【拓展延伸】
（3）如图3，为的角平分线，直线于点A，点E为上一点（与点A不重合），周长记为a，周长记为b，比较a与b的数量关系并证明．
【答案】（1），详见解析
（2）详见解析
（3），详见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可；
（2）延长至G，使得，连接，根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可；
（3）分两种情况进行解答即可．
【详解】（1）延长至点E，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
（2）延长至G，使得，连接
在和中，
，
∴，
∴，
∵在和中
∴，
∴，
在中，两边之和大于第三边，
∴
又∵，
∴
（3）①点E在点A右侧时
延长到F，使，连接，
，
在和中，
，
∴，
∴
∵为三边，
∴，
∴，
∴，
∴
即
②点E在点A左侧时，延长到F，使，连接，
，
在和中，
，
∴，
∴
∵为三边，
∴，
∴，
∴，
∴
即
综上，
14．在中，，线段、分别平分、交于点G．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，求证：；
(3)如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)5
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据平分、平分，得出，，求出，根据三角形内角和得出，即可求出结果；
（2）作平分交于点，证明，得出，证明，得出，即可证明结论；
（3）作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，证明平分，根据，，得出，根据平分，，，得出，证明，证明，得出，证明，得出，作于点，于点，于点，根据，，得出，求出即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，，
∵
∴，
∵平分、平分，
∴，，
∴，
在中，，
∴．
（2）解：作平分交于点，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
，
，
∴，
∵，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
作于点，于点，于点，
∵，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴．
15．在中，平分交于点，交于点，P是边上的动点（不与重合），连接，将沿翻折得，记．
(1)如图1，点与点重合时，用含的式子表示；
(2)当点与点不重合时，
①如图2，若平分交于点，猜想之间存在的等量关系，并说明你的理由；
②若，请直接写出的大小（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)①；理由见解析；②或
【分析】（1）根据角平分线的性质得出，根据平行线的性质得出，即可得出，根据直角三角形性质得出，根据折叠得出，根据求出结果即可；
（1）①在上截取，连接，证明，得出，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，求出即可；
②分两种情况，当点P在点E的左侧时，当点P在点E的右侧时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
根据折叠可知，，
∴．
（2）解：①；理由如下：
在上截取，连接，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
根据折叠可知，，，，
∵平分，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点P在点E的左侧时，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
根据折叠可知，，，
∴；
当点P在点E的右侧时，如图所示：
∵，，
∴，
根据折叠可知，，，
∴；
综上分析可知，或．
16．在中，，，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
【特例体验】（1）如图1，若直线，，则线段的长为______．
【探究应用】
（2）如图2，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转时，线段、和的数量关系是________；
（3）如图3，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转时与线段相交，探究线段、和的数量关系并说明理由
（4）若，（a，b均为正数），请你直接写出以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积．
【答案】（1）2；（2）；（3），理由见解析；（4）以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积
【分析】（1）先证和是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的三边关系可得出，和的长即可；
（2）先证，由即可得出，进而解答即可；
（3）先证，由即可得出，进而解答即可；
（4）根据（2）和（3）中的图形列式求解即可．
【详解】解：（1）在中，，，
，
，
，，
，，
，，
，
，
；
（2）．理由如下：
在中，，
，
，
，
在和中，
，
；
，，
．
（3）．理由如下：
在中，，
，
，
，
在和中，
，
；
，，
．
（4）由（2）可得，当时，四边形的面积；
由（3）可得，当时四边形的面积．
当时，如下图所示，四边形的面积
；
综上，以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积．
17．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使
请根据小明的方法思考：
（1）求得的取值范围是___________；
【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题
如图，已知，，，为的中点．
（2）如图1，若，，共线，求证：平分 ；
（3）如图2，若，，不共线，求证：；
（4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）
【分析】（1）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答；
（2）延长交延长线于点，证即可；
（3）延长至点，使得，连接、、，证即可；
（4）过点作交于点，由（3）可得，证，用含的代数式表示出即可．
【详解】（1）为边上的中线，
，
在和中
，
，
，
，
即，
，
，
，
故答案为：
（2）如下图，交延长线于点
，
（同旁内角互补，两直线平行），
，，
为的中点
，
，
，，
又，
，即，
在和中
，
（全等三角形的对应角相等），即平分
（3）延长至点，使得，连接、、
由（1）同理易知，
，，
，且，
，
，，
，
，
，
，
（4）过点作交于点，由（3）可得，，，，
，
，
和互余，，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：
18．如图，四边形和四边形是正方形，（正方形四条边都相等，四个内角都是直角）
【感知】（1）某学习小组探究如下问题：如图1，连接，，直线于点H，交于点M，则与面积的大小关系是：_________．
【探究】（2）该学习小组在探究（1）中面积问题时，发现M为中点，你认为是否成立 若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
【拓展】（3）经过以上探究，该学习小组也提出问题：若正方形和正方形的位置如图2所示，点M为中点，连接交于点H，那么与有怎样的关系 试探究，并说明理由
【答案】（1）；（2）成立；理由见解析；（3），；理由见解析
【分析】（1）过点E作于点Q，延长，过点G作于点P，证明，得出，根据，得出；
（2）过点E作于点P，过点B作于点Q，证明，得出，同理得：，证明，求出，证明，得出；
（3）延长，在延长线上截取，连接、，证明，得出，，证明，得出，，证明，得出，即．
【详解】解：（1）过点E作于点Q，延长，过点G作于点P，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
（2）成立；理由如下：
过点E作于点P，过点B作于点Q，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴M为中点．
（3），．理由如下：
延长，在延长线上截取，连接、，如图所示：
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．在和中，，，．
(1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)是，
【分析】（1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答；
（2）证明，得到，又由，得到，即可解答；
（3），如图3，过点作，，垂足分别为、，由，得到，，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到．
【详解】（1）解：证明：如图1，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
（2）成立，证明：如图2，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
（3），
如图3，过点作，，垂足分别为、，
，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
．
20．如图，等腰中，，点在边上，连接并延长到，连接，．
(1)如图①，若，，在上取点，连接，使，试证明：
(2)如图②，若，，探究，，的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，若，，探究，，的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）如图中，证明，可得结论；
（2）结论：如图中，作交于只要证明即可解决问题；
（3）结论：如图中，在上取一点，使得只要证明即可解决问题．
【详解】（1）如图中，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）．
理由如下：
如图中，作交于．
，，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
．
（3）．
理由如下：
如图中，在上取一点，使得．
，
，
，
作于，且，
∴
∴，
∴，
，
，
，
，
，
．
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