中小学教育资源及组卷应用平台
专题突破三：全等三角形综合之动点问题(20道)
（解答压轴题专练）
一、解答题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
1．如图，在中，，高、相交于点O，，且．
(1)求线段的长；
(2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为l秒，的面积为S，请用含t的式子表示S；
(3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由．
2．如图，在中，，为高，且，点为上一点，，连接．
(1)求的长；
(2)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(3)有一动点从点出发沿射线以每秒8个单位长度的速度运动，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒，点是射线上一点，且．当与全等时，请直接写出的值．
3．（动点、全等）如图，在中，，高、相交于点O，，且．
(1)求线段的长；
(2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
4．如图，在中，，P为射线上一动点（点P不与点B重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，
(1)如图1，当点P在线段上时，直接写出点Q到直线的距离；
(2)如图2，当点P运动到的延长线上时，连接，交直线于点M，求证：；
(3)点P在运动过程中，连接，交直线于点M，若，直接写出的长．
5．如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且．
(1)如图1，过F点作交于G点，求证：；
(2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点；
(3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ．
6．如图1，已知：，点A、B在的边上，，点D为直线上一动点，连接，过点A作，且，作，垂足为F．
(1)当点D在线段上时，证明：；
(2)如图2，当点D在线段延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，作点E关于直线的对称点，连接、，与直线交于点H，求证：．
7．在中，点D是边上一点，连接．
(1)如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积；
(2)如图2，若，点E在上，满足，过点C作于点C，交的延长线于点F，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，已知，点P，Q分别是线段上的动点，连接，当的最小值是n时，直接写出线段的长．（用含m，n的代数式表示）
8．已知在中，，．
(1)如图1，若的顶点在直线上，，，垂足分别为，，求证：≌；
(2)如图2，若的顶点在轴上，点，的坐标分别为和，求点的坐标；
(3)如图3，若点为边上的一个动点，且不与点，重合，以点为直角顶点，为腰画等腰直角三角形，且点在的下方，请问：在点运动的过程中，的度数是否会发生变化？若发生变化，请说明由；若不变，请求出的度数．
9．如图所示，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，且，是轴负半轴上一点，连接．
(1)如图1，若于点，且交于点，求证：；
(2)如图2，在（1）的基础上，连接，求证：；
(3)若，点为的中点，点为轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴上运动的过程中，，，之间有何数量关系？为什么？
10．如图，等腰中，，，，点为射线上一动点，连接，作且．
(1)如图，过点作交于点，求证：；
(2)如图，在（1）的条件下，连接交于点，若，求证：点为中点；
(3)如图，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则________．
11．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，平分与y轴交于D点，．
(1)求证：；
(2)在（1）中点C的坐标为，点E为上一点，且，如图2，求的长；
(3)在（1）中，过D作于点，点H为上一动点，点G为上一动点，（如图3），当点H在上移动、点G在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
12．已知：平面直角坐标系中，点的坐标满足．
(1)如图1，求证：是第一象限的角平分线；
(2)如图2，过作的垂线，交轴正半轴于点，点分别从两点同时出发，在线段上以相同的速度相向运动(不包括点和点)，过作交轴于点，连，猜想与之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，是轴正半轴上一个动点，连接，过点作交轴正半轴于点，连接，过点点作的角平分线交于点，过点作轴于点，求的值．
13．如图，在中，是边上的高，是边上的高，相交于点，且．
(1)求证：．
(2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒
①点是线段上的一点（不与点重合），当时，__________（用含的代数式表示）；设，则__________（用含的代数式表示）
②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由．
14．新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧：我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”．
(1)定义理解：
如图①，已知四边形为等邻角四边形，且，求的度数．
(2)定义运用：
如图②，在五边形中，，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形；
(3)定义拓展：
如图③，在等邻角四边形中，，点为边边上的一动点，过点作，垂足分别为，试猜想，在点的运动过程中，的值是否会发生改变，并说明理由．
15．在中，，点是边上一动点（不与点重合），以为一边在的右侧作，使，连接．
(1)如图①，若，则的长度为_________；
(2)设．
①如图②，当点在线段上时，试说明；
②如图③，当点在线段的延长线上时，请你探究与之间的数量关系，并说明理由．
16．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，，且．
(1)线段的长度等于___________．
(2)求证：．
(3)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由．
17．四边形中，，，，点E为平面内一动点．
(1)如图1，若点E在线段上，，则______．
(2)如图2，连接，，点E在上，且于E点，过A点做于G点，H点为中点，连接交于F点，求证：；
(3)如图3，连接，，过点E做，且满足，连接，，过点B做于点N，若，，，求线段的长度的取值范围．
18．中，，过点A作．连接，M为平面内一动点．
(1)如图1，若，则 ．
(2)如图2，点M在上，且于M，过点A作于F，D为中点，连接并延长，交于点；求证：
(3)如图3，连接，过点B作于点B，且满足，连接，过点B作于点G，若，求线段的长度的取值范围．
19．如图①，在中，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．设运动时间为．
(1)当时， ；当时， ；
(2)如图①，当 时，的面积等于面积的一半；
(3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，请直接写出点的运动速度．
20．如图，在平面直角坐标系中，点是y轴正半轴上一点，点是轴正半轴上一点，且满足．
(1)_________；____________．
(2)如图1，已知坐标轴上有两个动点P，Q同时出发，点P从点B出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从原点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，在点P到达点O时整个运动随之结束．的中点C的坐标是，设运动的时间为．当三角形OCP的面积是三角形面积的2倍时，求t的值．
(3)如图2，在（2）的条件下，若，点F是第二象限中一点，且平分．点D是线段上一动点（不与点O，点A重合），连接交于点E．点D在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题突破三：全等三角形综合之动点问题(20道)
（解答压轴题专练）
一、解答题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
1．如图，在中，，高、相交于点O，，且．
(1)求线段的长；
(2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为l秒，的面积为S，请用含t的式子表示S；
(3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)5；
(2)，；
(3)或时，与全等；
【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识：
（1）只要证明即可解决问题；
（2）分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段上时，，②当点Q在射线上时，时；
（3）分两种情形求解即可①如图2中，当时，，②如图3中，当时，；再进一步建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图1中，
，
∵是高，
∴，
∵是高，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
由题意得，
，，
①当点Q在线段上时，，如图，
∴；
②当点Q在射线上时，，如图，
∴；
（3）解：存在，理由如下，
①如图2中，当时，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
②如图3中，当时，
∵，，
，
∴，
∴，
∴，解得，
综上所述，或时，与全等．
2．如图，在中，，为高，且，点为上一点，，连接．
(1)求的长；
(2)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(3)有一动点从点出发沿射线以每秒8个单位长度的速度运动，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒，点是射线上一点，且．当与全等时，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)直线垂直于，理由见解析
(3)或
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理：
（1）只需要证明，即可得到；
（2）根据全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理和对顶角线段可得，即；
（3）分当点F在线段延长线上时，当点F在线段上时，两种情况根据全等三角形的性质建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵为高，
∴，
∵，，
∴
∴；
（2）解：直线垂直于，理由如下：
如图所示，延长交于F，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴直线垂直于；
（3）解：如图所示，当点F在延长线上时，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴只存在这种情况，
∴，
∴，
解得；
如图所示，当点F在上时，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴只存在这种情况，
∴，
∴，
解得；
综上所述，当与全等时，或．
3．（动点、全等）如图，在中，，高、相交于点O，，且．
(1)求线段的长；
(2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)5
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）证明即可得到线段长；
（2）分两种情况讨论：①如图1，当点在线段上时，；②如图2，当点在射线上时，，即可得出 的取值范围；
（3）分两种情况讨论：①如图3，当时，；②如图4，当时，，即可求出值．
【详解】（1）、是的高，
，
，，
，
，
在和中
，
，
；
（2），，
，，
设，，
①如图1，当点在线段上时，，
，
的取值范围是，
②如图2，当点在射线上时，，
，
的取值范围是；
综上，
（3）存在；
①如图3中，当时，
，，
，
，
，
解得： ；
②如图4中，当时，
，，
，
，
，
，
解得：，
综上所述，或时，．
4．如图，在中，，P为射线上一动点（点P不与点B重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，
(1)如图1，当点P在线段上时，直接写出点Q到直线的距离；
(2)如图2，当点P运动到的延长线上时，连接，交直线于点M，求证：；
(3)点P在运动过程中，连接，交直线于点M，若，直接写出的长．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造出全等三角形．
（1）过点Q作，证明，得到，即可求解；
（2）过点Q作，交延长线于点，先证明得到，进而推出，再证明，即可求解；
（3）如图，当点P在线段上时，过点Q作于N，同理可证明，则可得，证明，得到，设，则，，，进而得到，，由此可得方程，解方程可得答案；当点P再的延长线上时，过点Q作，交延长线于点， 由（2）可得：，，设，则，，，则，，由，可得，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：过点Q作于N，如图所示：
由题意可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即点Q到直线的距离为1；
（2）证明：过点Q作，交延长线于点，如下图，
由题意可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴
∴；
（3）解：如图，当点P在线段上时，
过点Q作于N，
同理可证明，
∵，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
设，则，，，
∴，，
由可得，，解得，
∴，不符合题意；
如图，当点P再的延长线上时，过点Q作，交延长线于点，
由（2）可得：，，
设，则，，，
∴，
∴
由（2）可得，即，
解得，
∴．
综上所述，．
5．如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且．
(1)如图1，过F点作交于G点，求证：；
(2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点；
(3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，
（1）易证，即可证明，即可解题；
（2）过点作交于点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，根据可证，根据，，即可解题；
（3）过作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：过点作交于点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为中点；
（3）解：过作的延长线交于点，如图3，
，，，
，
由（1）（2）知：，，
，，
，
，
，
．
故答案为．
6．如图1，已知：，点A、B在的边上，，点D为直线上一动点，连接，过点A作，且，作，垂足为F．
(1)当点D在线段上时，证明：；
(2)如图2，当点D在线段延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，作点E关于直线的对称点，连接、，与直线交于点H，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)成立，见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能熟练应用三角形全等证明线段相等是解题的关键．（1）根据“同角的余角相等” 证明，再根据 “AAS”证明即可；
（2）类比（1）的方法证明即可；
（3）延长交的延长线于点，利用“ASA”证明即可得证．
【详解】（1）证明：，，
，，
，
，
，
，
在和中
，
，
．
（2）解：结论成立．
，
，
，
，，
，
，
，
在和中
，
，
，
．
（3）证明：如图：
如图，延长交的延长线于点，
，，
，
，，
，
，
又 E、关于直线对称，
，
，
、、三点共线，
由（2）可得，
，，
，
即，
，，
，
，，
在和中
．
7．在中，点D是边上一点，连接．
(1)如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积；
(2)如图2，若，点E在上，满足，过点C作于点C，交的延长线于点F，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，已知，点P，Q分别是线段上的动点，连接，当的最小值是n时，直接写出线段的长．（用含m，n的代数式表示）
【答案】(1)8
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点D作于点G，于点H，根据角平分线的性质及三角形面积法求解即可；
（2）过点D作，交于点N，利用全等三角形的判定和性质证明即可；
（3）延长交于点K，则，再倍长至点，过点作于点Q，交于点P，利用轴对称的性质及图形求解即可．
【详解】（1）解：过点D作于点G，于点H，如图所示：
∵，
∴，即
∴
∵平分
∴
∴
∴；
（2）过点D作，交于点N，如图所示：
∴，
∵，即
∴
在和中
∴
∴
∵，
∴
即
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
又∵，
∴；
（3），理由如下：
由（2）可知
延长交于点K，则
再倍长至点，过点作于点Q，交于点P
由轴对称性得
∴最小，即
在中，
∴
又在中，
∴．
8．已知在中，，．
(1)如图1，若的顶点在直线上，，，垂足分别为，，求证：≌；
(2)如图2，若的顶点在轴上，点，的坐标分别为和，求点的坐标；
(3)如图3，若点为边上的一个动点，且不与点，重合，以点为直角顶点，为腰画等腰直角三角形，且点在的下方，请问：在点运动的过程中，的度数是否会发生变化？若发生变化，请说明由；若不变，请求出的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)不会发生变化，．
【分析】（1）先证明，即可利用证明≌；
（2）构造（1）的模型，过点作直线轴，再分别过点，作于，于．利用全等三角形性质可得，，由此即可解题；
（3）过点作于点．与（1）同理得≌，进而可证，，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴
∵
又∵，
∴
在和中
，
∴≌
（2）解：过点作直线轴，再分别过点，作于，于．
与（1）可得≌，
∴，
设点的坐标为
∵，，
∴，，，
∴
解得，∴点的坐标为
（3）解：的度数不会发生变化．
过点作于点．与（1）同理得≌，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴
∵，
∴
∴
9．如图所示，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，且，是轴负半轴上一点，连接．
(1)如图1，若于点，且交于点，求证：；
(2)如图2，在（1）的基础上，连接，求证：；
(3)若，点为的中点，点为轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴上运动的过程中，，，之间有何数量关系？为什么？
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)当M在y轴正半轴上时， ；当M在线段OB上时， ；当M在射线BO的反向延长线上时， ．理由见解析
【分析】（1）根据题意得到，然后再，，依据即可求解；
（2）要证，只需证明平分，只需证到，只需证明即可；
（3）根据题意，分三种情况讨论求解，当在轴正半轴上时， ；当在线段上时， ；当在射线的反向延长线上时， ．
【详解】（1）证明：点，交轴负半轴于点，且，
则．
即，
，
．
在与中，
，
；
（2）证明：过分别作于点，作于点．
在四边形中，，
．
在与中，
，
，
，
，，
平分，
；
（3）解：当在轴正半轴上时， ；当在线段上时， ；当在射线的反向延长线上时， ．
理由如下：
∵，即，
∴，即，
①当在轴正半轴上时，连接，如图所示：
∵，是中点，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
②当在线段上时，如图所示：
同理可得；
③当在射线的反向延长线上时，如图所示：
同理可得．
10．如图，等腰中，，，，点为射线上一动点，连接，作且．
(1)如图，过点作交于点，求证：；
(2)如图，在（1）的条件下，连接交于点，若，求证：点为中点；
(3)如图，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则________．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据同角的余角相等得到，即可根据证明；
（2）证明，得出，根据，得出，根据，，即可证明结论；
（3）作，交的延长线于一点，由（1）（2）可知，，，根据全等三角形的性质计算即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
∵，
∴，
在和中，
，
．
（2）证明：，
∴
在和中，
，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
，
∴
点为的中点；
（3）解：如图，作，交的延长线于一点，
由（1）知，
，设，，
，
，
，
，
由（2）知，
，
，
．
故答案为：．
11．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，平分与y轴交于D点，．
(1)求证：；
(2)在（1）中点C的坐标为，点E为上一点，且，如图2，求的长；
(3)在（1）中，过D作于点，点H为上一动点，点G为上一动点，（如图3），当点H在上移动、点G在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)8
(3)，证明见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理，等腰三角形的性质；
（1）根据角平分线得出，进而判断出，即可得出结论；
（2）过点作于，根据角平分线得出，进而判断出，得出，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论；
（3）在的延长线上取一点，使，再判断出，进而判断出，得出，，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：平分，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图2，过点作于，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：；
证明：如图3，在的延长线上取一点，使，
平分，，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
12．已知：平面直角坐标系中，点的坐标满足．
(1)如图1，求证：是第一象限的角平分线；
(2)如图2，过作的垂线，交轴正半轴于点，点分别从两点同时出发，在线段上以相同的速度相向运动(不包括点和点)，过作交轴于点，连，猜想与之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，是轴正半轴上一个动点，连接，过点作交轴正半轴于点，连接，过点点作的角平分线交于点，过点作轴于点，求的值．
【答案】(1)见解析；
(2)，证明见解析；
(3)．
【分析】（1）根据非负性得出，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为进而利用角平分线的性质解答即可；
（2）过作平分，交于点，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（3）过作，于，根据全等三角形的判定和性质解答．
【详解】（1）解：∵
∴
∴
∴
如图1，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，则
∴平分
即是第一象限的角平分线．
（2）解：如图2，过作平分，交于点
∴
∵
∴
在与中
∴
∴
在和中
∴
∴
设与交于
∴
∴
（3）如图3，过作，于，连接
∵点是的角平分线，
∴，
∴
∵，
∴，
在和中，
∴
∴
过作轴于轴于，
∵为角平分线，
∴，
∵
∴，
，
∴
∴
∴
13．如图，在中，是边上的高，是边上的高，相交于点，且．
(1)求证：．
(2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒
①点是线段上的一点（不与点重合），当时，__________（用含的代数式表示）；设，则__________（用含的代数式表示）
②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①；；②或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差；
（1）由，可得，通过即可证明；
（2）①根据题列出代数式即可得出，根据等角的余角相等即可证明；
②分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案．
【详解】（1）证明： 是边上的高，是边上的高，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）①解：依题意，，
∵ 是边上的高，是边上的高，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；．
②解：存在，
如图2，当时，
在和中，
，
，
，
，
；
如图3，当时，
在和中，
，
，
，
，
，
综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
14．新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧：我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”．
(1)定义理解：
如图①，已知四边形为等邻角四边形，且，求的度数．
(2)定义运用：
如图②，在五边形中，，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形；
(3)定义拓展：
如图③，在等邻角四边形中，，点为边边上的一动点，过点作，垂足分别为，试猜想，在点的运动过程中，的值是否会发生改变，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)的值不会发生改变．理由见解析
【分析】（1）根据“等邻角四边形”的定义，再结合已知条件和四边形内角和定理，即可求解．
（2）根据两直线平行，内错角相等，再结合角平分线的定义和“等邻角四边形”的定义即可证明．
（3）作，垂足为Q，设法证明为定值．
【详解】（1）因为四边形的内角和为，且与的度数均大于或等于，故根据“等邻角四边形”定义，均不可能与中的任意一个角相等，否则总内角和大于．
∴．
∵，
∴，
解得：．
（2）∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴四边形为等邻角四边形；
（3）的值不会发生改变．理由如下：
如图，作，垂足为Q，自P作，垂足为R，
∵，
∴四边形是矩形．
∴，且，
∴．由题意，知
．
又∵，
∴．
∴，
∴．
因此， 在点P的运动过程中，的值不会发生改变，总等于；
15．在中，，点是边上一动点（不与点重合），以为一边在的右侧作，使，连接．
(1)如图①，若，则的长度为_________；
(2)设．
①如图②，当点在线段上时，试说明；
②如图③，当点在线段的延长线上时，请你探究与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①见解析 ②
【分析】(1)由已知可以得到, 从而解题即可；
(2)①根据,可得, 即；②由题意根据, , 最后由 及三角形的外角性质可以得到.
【详解】（1）∵,
∴ , 即,
又,
∴,
∴,
故答案为：；
（2）①证明∵,
∴,
∴，
即；
②则此时有，理由如下：
∵,
∴,
∴, 即.
16．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，，且．
(1)线段的长度等于___________．
(2)求证：．
(3)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3
(2)见解析
(3)或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等
【分析】（1）由，，进行计算即可得到答案；
（2）由，可得，通过即可证明；
（3）分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，，
，即，
，
故答案为：3；
（2）证明： 是边上的高，是边上的高，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）解：存在，
如图2，当时，
是边上的高，是边上的高，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
如图3，当时，
是边上的高，是边上的高，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
17．四边形中，，，，点E为平面内一动点．
(1)如图1，若点E在线段上，，则______．
(2)如图2，连接，，点E在上，且于E点，过A点做于G点，H点为中点，连接交于F点，求证：；
(3)如图3，连接，，过点E做，且满足，连接，，过点B做于点N，若，，，求线段的长度的取值范围．
【答案】(1)18
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据三角形面积公式计算即可；
（2）先根据证明≌，可得，，再根据证明≌，可得，进而根据，可得结论；
（3）先证明≌，可得，再根据，及可求出，最后根据三角形两边之和大于第三边，之差小于第三边得出答案．
【详解】（1）根据题意可知，
∴．
故答案为：18；
（2）∵，
∴，
∴．
∵，
∴≌，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴≌，
∴，
∴，
∴；
（3）连接．
∵，
∴．
∵，，
∴≌，
∴．
根据题意可知，且，
∴，
即，
解得，
根据三角形三边关系得，
即．
当点C，D，E共线时，取最大值24，最小值8．
所以．
18．中，，过点A作．连接，M为平面内一动点．
(1)如图1，若，则 ．
(2)如图2，点M在上，且于M，过点A作于F，D为中点，连接并延长，交于点；求证：
(3)如图3，连接，过点B作于点B，且满足，连接，过点B作于点G，若，求线段的长度的取值范围．
【答案】(1)8
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由平行线的性质可得，即可求解；
（2）由“”可证，利用全等三角形的性质可得，由“”可证，利用全等三角形的性质可得，可得结论；
（3）由“”可证，可得，由三角形的三边关系定理可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
故答案为：8；
（2）∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵D为中点，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，如图，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴当点E，点M，点，三点共线时，最大值为12，最小值为6，
∴．
19．如图①，在中，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．设运动时间为．
(1)当时， ；当时， ；
(2)如图①，当 时，的面积等于面积的一半；
(3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，请直接写出点的运动速度．
【答案】(1)
(2)或
(3)运动的速度为或或或
【分析】（1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可；当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可；
（2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可；
（3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可
【详解】（1）当时，点P在线段上，
∵点P速度为，
∴；
当时，点P在线段上，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∵的面积等于面积的一半，
∴，
①当点P在上时，
，
∴，
；
②当点P在上时，
过点C作于点D，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
；
故答案为：或；
（3）设点的运动速度为，
①当点在上，点在上，时，
，
∴
解得；
②当点在上，点在上，时，
，
∴，
解得；
③当点P在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴
解得；
④当点P在上，点Q在上，时
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴
解得；
∴运动的速度为或或或．
20．如图，在平面直角坐标系中，点是y轴正半轴上一点，点是轴正半轴上一点，且满足．
(1)_________；____________．
(2)如图1，已知坐标轴上有两个动点P，Q同时出发，点P从点B出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从原点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，在点P到达点O时整个运动随之结束．的中点C的坐标是，设运动的时间为．当三角形OCP的面积是三角形面积的2倍时，求t的值．
(3)如图2，在（2）的条件下，若，点F是第二象限中一点，且平分．点D是线段上一动点（不与点O，点A重合），连接交于点E．点D在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
(3)；理由见解析
【分析】（1）利用非负性即可求出即可得出结论；
（2）先表示出，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论；
（3）先判断出，进而判断出，即可判断出，即可得出．
【详解】（1）解：
解得：
故答案为：．
（2）解：根据题意得，，，
∴
∴
根据题意得，，解得．
（3）解：；理由如下：
过点A作轴，过点作
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∵平分
∴，∴，
∴
又∵
∴，
∴
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
