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第1章 三角形的初步认识单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：三角形的初步认识
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．如图，在中，的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知a，b，c是的三边，且，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
3．如图，已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，有一个三角形纸片，，，将纸片的一角进行折叠，使点C落在外，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，C岛在A岛的北偏东方向上，在B岛的北偏西方向上，A岛在B岛北偏西方向上，则从C岛看A、B两岛的视角为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E，若，的周长为17，则BC的长为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．17
7．如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点，则下列结论错误的是（ ）
A． B．平分
C． D．
8．如图，点是直线外一点，点、是直线上的两动点，且，连接、，点、分别为、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．已知：如图，为三角形纸片内部一点，连接，沿把纸片剪成三个三角形：，再使在一条直线上，若顶点（相同点用进行区分）都在直线上，且，则点为的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
10．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，E是边的中点，若，的周长比的周长多1，则 ．
12．如图，在中，点在边上，，点是的中点，、相交于点，若的面积为3，则的面积为 ．
13．如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛C在观测点A正北方，海岛C,D在观测点A,B所在海岸的同一侧，如果从观测点A看海岛D的视角与从观测点B看海岛C的视角相等，海岛C,D分别到观测点B,A的距离相等，问海岛D在观测点B的正北方吗？请说明理由：_________．
14．如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使与以点、、为顶点的三角形全等．
15．如图，，点E为上方一点，，分别为，的角平分线，若，则的度数为 ．
16．如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和 ．
17．如图，直线，点A在直线与之间，点B在直线上，连接，的平分线交于点C，连结，过点A作交于点D，作交于点F，平分交于点E．若，，则的度数为 ．
18．如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台，延展臂（B在C的左侧），伸展主臂，支撑臂构成．在操作过程中，救援台，车身及地面三者始终保持平行．
（1）当，时， 度；
（2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，此时 度．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图．
(1)经过平移后得到；图中标出了点A的对应点，画出；
(2)画出的高；
(3)在网格中找一个格点P，使．
20．如图，在中，、分别为的中线和高，为的角平分线．
(1)若的面积是24，则的长是 ；
(2)若，，求的度数．
21．如图，在中，，，D是边上一点，将沿过点D的直线折叠，使点B落在下方的点F处，折痕交于点E．
(1)当时，求的度数；
(2)当的一边与平行时，求的度数．
22．已知，，点为射线上一点．
(1)如图，若，，则_____；
(2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的关系，请说明你的结论：
(3)如图，平分，交于点，交于点，且，，求的度数．
23．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题：
(1)求证：和是兄弟三角形．
(2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．
①请在图中通过作辅助线构造，并证明．
②求证：．
24．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；
(2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：．
25．（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围是
（2）问题解决：如图②，在△ABC中D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
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第1章 三角形的初步认识单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：三角形的初步认识
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．如图，在中，的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和定理，角平分线的定义；
根据三角形内角和定理求出，再根据三等分线求出可解答．
【详解】解：∵，
的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，，
，，
∴
∵在中，°，
∴，
故选：B．
2．已知a，b，c是的三边，且，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
根据，可得是的三边，，因此0，即，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵是的三边，，
∴，即，
∴一定是等腰三角形，
故选：C．
3．如图，已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质，延长交于点，延长交于点，且与相交于点，利用平行线的性质即可求解，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
【详解】解：延长交于点，延长交于点，且与相交于点，如图，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
4．如图，有一个三角形纸片，，，将纸片的一角进行折叠，使点C落在外，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了翻折变换(折叠问题)，熟练掌握折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的内角和定理以及外角性质．
先根据三角形的内角和定理可出；再根据折叠的性质得到，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得，即可得到，然后利用平角的定义即可求出．
【详解】解：如图，
，
，
又∵将三角形纸片的一角折叠，使点落在外，
，
而，
，
，
，
故选：C．
5．如图，C岛在A岛的北偏东方向上，在B岛的北偏西方向上，A岛在B岛北偏西方向上，则从C岛看A、B两岛的视角为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了方位角、三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，理清各角之间的关系成为解题的关键．
根据方位角的概念和平行线的性质，再结合三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，
∵C岛在A岛的北偏东方向上，在B岛的北偏西方向上，A岛在B岛北偏西方向上，
，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
．
故选：C．
6．如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E，若，的周长为17，则BC的长为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．17
【答案】C
【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，由作图可知是的垂直平分线，得，再根据的周长得，进而可求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线，
∴，
∵，的周长，即：，
∴，
故选：C．
7．如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点，则下列结论错误的是（ ）
A． B．平分
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质等等，先由角平分线的定义得到，再由平行线的性质得到，则，据此可判断A；证明，可得，，则，据此可判断C；根据角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理和三角形外角的性质可得，据此可判断D；根据现有条件，无法证明平分，据此可判断B．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故A结论正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故C结论正确，不符合题意；
∵平分，
∴，
∴，
∴，故D结论正确，不符合题意；
根据现有条件，无法证明平分，故B结论错误，符合题意；
故选：B．
8．如图，点是直线外一点，点、是直线上的两动点，且，连接、，点、分别为、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中线的性质和三角形的面积，熟悉掌握三角形中线的性质是解题的关键．
连接，利用三角形中线的性质依次求出，，与的面积间的关系，然后根据四边形的面积为求出的面积，进而可求出边上的高，即为的最小值．
【详解】解：连接，如图，
∵点为的中点，
∴，
∵为的中线，
∴，，
∵点为中点，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
即，
解得，
作于点，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值是；
故选：C．
9．已知：如图，为三角形纸片内部一点，连接，沿把纸片剪成三个三角形：，再使在一条直线上，若顶点（相同点用进行区分）都在直线上，且，则点为的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的判定定理等知识点，掌握平行线上的两点距离相等成为解题的关键．
根据平行的性质可得点、到直线的距离相等，即点到的距离相等，然后根据角平分线的判定定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴点、到直线的距离相等，即点到的距离相等，
∴点O为三条角平分线的交点．
故选B．
10．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据题意，表示出，，和的长，当四边形为矩形时，根据，列出方程求解即可；当四边形为平行四边形时，根据，列出方程求解即可；当时，分两种情况：四边形是平行四边形时；四边形是等腰梯形，分别列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，可得，，
∵，，
∴，，
当四边形为矩形时，，
即，解得，故①不正确；
当四边形为平行四边形时，则，
即，解得，故②不正确；
当时，分两种情况：
当四边形是平行四边形时，则，
即，解得，
当四边形是等腰梯形时，
过点作于点，过点作于点，如图所示，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又，，，
∴，
即，
解得，
综上可得，当时，或，
故③错误，④正确，
∴正确的结论有个．
故选：
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，E是边的中点，若，的周长比的周长多1，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查了三角形的中线，掌握理解三角形中线的定义是解题关键．
先根据三角形中线的定义可得，再根据三角形的周长公式即可得．
【详解】解：E是边的中点，
，
的周长比的周长多1，且，
，
即，
，
故答案为：5．
12．如图，在中，点在边上，，点是的中点，、相交于点，若的面积为3，则的面积为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了三角形的面积，注意：同底（等底）同高（等高）的两个三角形的面积相等，同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于底边的比．根据三角形中线的性质得出，，设，用含的代数式表示、、的面积，从而列出，求解即可．
【详解】解：点是的中点，
，，
的面积为3，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的面积为8，
故答案为：8．
13．如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛C在观测点A正北方，海岛C,D在观测点A,B所在海岸的同一侧，如果从观测点A看海岛D的视角与从观测点B看海岛C的视角相等，海岛C,D分别到观测点B,A的距离相等，问海岛D在观测点B的正北方吗？请说明理由：_________．
【答案】海岛在观测点B的正北方，理由见解析．
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质等知识点，证明得出，即可得解，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．
【详解】由题意得：，，
∵海岛C，D分别到观测点B，A的距离相等，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴海岛在观测点B的正北方，
故答案为：海岛在观测点B的正北方．
14．如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使与以点、、为顶点的三角形全等．
【答案】7或15
【分析】本题考查了全等三角形的性质，分两种情况讨论，或，进而求得的值，即可求解．
【详解】解：为边上的高，
，
，，
，
，
当时，，
，
或，
或，
即当或秒时，能使与以点、．
故答案为：或．
15．如图，，点E为上方一点，，分别为，的角平分线，若，则的度数为 ．
【答案】/100度
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
过G作，先根据平行线的性质、角的和差得出，再根据角平分线的定义得出，然后根据平行线的性质、三角形的外角性质得出，联立求解可得，最后根据角平分线的定义可得．
【详解】如图，过G作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，分别为、的角平分线，
∴，，
，
，
∵，
∴，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
16．如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和 ．
【答案】12
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，和三角形的面积求法，能够证明是解题的关键．先根据与等高，底边值为，得出与面积比为1∶2，再证，即可得出和的面积和，即可选出答案．
【详解】标记角度如下：
∵在等腰中，，，
∴与等高，底边比值为
∴与的面积比为，
∵的面积为18
∴的面积为6，的面积为12，
∵,即，
∴，
∵，，，
∴，
∴
∴与的面积相等，
∴，
故答案为：12．
17．如图，直线，点A在直线与之间，点B在直线上，连接，的平分线交于点C，连结，过点A作交于点D，作交于点F，平分交于点E．若，，则的度数为 ．
【答案】/27度
【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质以及三角形内角和定理的综合运用，设，则，，先求得，即可得到，进而得出，即可得到，再依据内角和即可得到的度数．
【详解】解：设，则，，
，，
，
，，
，
，平分，
，
又，
，
，
，即，
，
，
中，，
故答案为：．
18．如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台，延展臂（B在C的左侧），伸展主臂，支撑臂构成．在操作过程中，救援台，车身及地面三者始终保持平行．
（1）当，时， 度；
（2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，此时 度．
【答案】 124 160
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，正确的添加辅助线是解题的关键．
（1）在图2中，延长，，相交于点K，由平行线的性质可得，再利用，可得的度数，从而可求的度数；
（2）在图3中，延长，，相交于点P，则可得，延长交的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而求得的度数．
【详解】解：（1）如图2，延长，，相交于点K，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：124．
（2）如图3，延长，，相交于点P，则可得，延长交的延长线于点Q，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：160．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图．
(1)经过平移后得到；图中标出了点A的对应点，画出；
(2)画出的高；
(3)在网格中找一个格点P，使．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】本题考查作图的平移变换、三角形的高、平行线的判定与性质，熟练掌握平移的性质、三角形的高的定义、平行线的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据点A的对应点得到平移规律作图即可得到答案；
（2）根据三角形高的定义，利用格点在图中画出边上的高线即可；
（3）过点A作的平行线，与网格交点，即为所求。
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
（3）如图，过点A作的平行线，与格点交于点，，
则，，
即点，均满足题意．
20．如图，在中，、分别为的中线和高，为的角平分线．
(1)若的面积是24，则的长是 ；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)12
(2)
【分析】此题主要考查了三角形的中线、高和角平分线，三角形的内角定理和外角定理，理解三角形的中线、高和角平分线，熟练掌握三角形的内角定理和外角定理是解决问题的关键．
（1）根据的面积是24得，进而得，再根据为的中线可得的长；
（1）先根据三角形外角定理得，进而根据角平分线定义得，然后在中可求出，继而可得的度数．
【详解】（1）为的高，的面积是24，，
，
即，
，
为的中线，
，
故答案为：12．
（2）是的外角，
，
，，
，
为的角平分线，
，
在中，，
，
．
21．如图，在中，，，D是边上一点，将沿过点D的直线折叠，使点B落在下方的点F处，折痕交于点E．
(1)当时，求的度数；
(2)当的一边与平行时，求的度数．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质：
（1）先由三角形内角和定理求出，进而求出，由折叠的性质可得；
（2）分当时，当时，两种情况，画出对应的图形讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可得；
（2）解：如图所示，当时，
∴，
由折叠的性质可得，
同理可得；
如图所示，当时，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或．
22．已知，，点为射线上一点．
(1)如图，若，，则_____；
(2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的关系，请说明你的结论：
(3)如图，平分，交于点，交于点，且，，求的度数．
【答案】(1)；
(2)，见解析；
(3)．
【分析】（）延长交于，依据平行线的性质，可得，再根据是的外角，即可得到；
（）依据，可得，再根据是的外角，即可得到，即；
（）设，则，进而得出，依据，可得，求得，即可得出的度数，
本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和及外角等于不相邻的两个内角和等知识点是解题的关键．
【详解】（1）如图，延长交于，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
故答案为：；
（2），理由：
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴；
（3）∵，
设，则，
∵，，，
又∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
∴，
在中，．
23．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题：
(1)求证：和是兄弟三角形．
(2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．
①请在图中通过作辅助线构造，并证明．
②求证：．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论；
（2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出；
②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
又，，
和是兄弟三角形；
（2）证明：①延长至，使，
为的中点，
，
在和中，
，
，
；
②，
，
∴，
，
又，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
24．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；
(2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】本题考查一线三直角全等问题，
（1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案；
（2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则．
【详解】（1））解：于点，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
故答案为：，．
（2）证明：如图2，作于点，
∵于点，于点E，
∴，
由，
同理（1）得，
∴，
在和中，
∴，
∴．
25．（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围是
（2）问题解决：如图②，在△ABC中D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）2＜AD＜6；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF，证明见解析
【分析】（1）如图1（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质得出，再根据三角形的三边关系定理即可得；
（2）如图2（见解析），先同（1），根据三角形全等的判定定理与性质得出，再根据垂直平分线的判定与性质得出，然后根据三角形的三边关系定理、等量代换即可得证；
（3）如图3（见解析），先根据角的和差得出，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得．
【详解】（1）如图1，延长AD至E，使，连接BE
∵AD是BC边上的中线
∴
在和中，
∴
∴
在中，由三角形的三边关系得：
∴，即
∴，即
∴
故答案为：；
（2）如图2，延长FD至点M，使，连接BM、EM
同（1）得：
∴
∵，
∴是的垂直平分线
∴
在中，由三角形的三边关系得：
∴；
（3）；证明如下：
如图3，延长AB至点N，使，连接CN
∵，
∴
在和中，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴．
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