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1.4 尺规作图七大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：尺规作一个角等于已知角
【经典例题1】如图，，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．再以点N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接．则 度．
【答案】64
【分析】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键也考查了平行线的性质；利用基本作图得到，再根据平行线的性质得到即可求解．
【详解】
由作法得：
∵
∴
∴
故答案为：64．
【变式训练1-1】如图，已知，点在边上，请用尺规作图法，在平面内求作一角，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角的步骤作图即可，掌握作一个角等于已知角的步骤是解题的关键．
【详解】解：如图，即为所求．
【变式训练1-2】尺规作图：
已知：．
求作：，使．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了基本作图，关键是掌握基本作图的方法．
直接利用作一角等于已知角的方法得出答案．
【详解】解：①作射线；
②以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于，交于；
③以点为圆心，以长为半径作弧，交于；
④以点为圆心，以为半径作弧，交③中所画弧于；
⑤过点作射线，则就是所求的角．
【变式训练1-3】如图，的边上有一点D，交于点
(1)用尺规作图：过点D作，其中点F在上；
(2)在（1）完成的图中，若，试说明
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-基本作图、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．
（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可．
（2）由题意可得，，结合平行线的判定可得结论．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）证明：∵，，
∴，
．
【变式训练1-4】已知：，（如图）
(1)求作：以为一边，作（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，，则的度数为多少？
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
（1）根据作一个角等于一个角方法进行作图即可；
（2）分两种情况进行讨论：当在内部时，当在外部时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：如图，，即为所求；
（2）解：∵，，
∴或．
综上分析可知：的度数为或．
题型二：尺规作角的和与差
【经典例题2】如图，已知．
(1)作，使；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作图中，作出与互补的角．（画出一个即可）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查的是基本作图，利用尺规作图作一个角等于已知角以及补角的概念．
（1）先作，然后在其外部再作，则可得；
（2）延长至，则，即与互补．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
．
（2）解：如图所示，即为所求．
．
【变式训练2-1】作图题．已知，，且大于，求作（不写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图）
【答案】图见解析
【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知两角的差，根据尺规作角的方法，进行作图即可．
【详解】解：如图，即为所求．
【变式训练2-2】已知：，求作：，使．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了作一个角等于已知角的基本作图， 关键是熟练掌握基本作图的方法．
先利用尺规作一个等于已知角的方法作出，然后作出即可．
【详解】如图所示，即为所求．
【变式训练2-3】尺规作图：已知：、，求作：，使．
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知两个角的和，正确掌握作图的基本要领即可．
【详解】根据题意，图如下：
则图示角即为所求．
【变式训练2-4】如图，已知的三边长分别为，利用直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)作线段；
(2)作．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了作一个与已知角相等的角以及线段：
（1）先画出一条射线，以端点O为圆心，分别以为半径画弧，与射线的交点分别为E点和F点，即可作答．
（2）先画出一条射线，以端点O为圆心，取的长度为半径，画弧，交点为，再以点为圆心，的长度为半径，画弧，交点为，此时；以端点O为圆心，取的长度为半径，画弧，交点为，再以点为圆心，的长度为半径，画弧，交点为，此时；故
【详解】（1）解：如图：
（2）解：如图所示：
【变式训练2-5】已知：，．
求作：，使．
要求：保留画图痕迹，不写画法．
画图：
【答案】见解析
【分析】先作，在这个角的外部分别作，然后作，则．
【详解】如图所示，即为所求．
题型三：过直线外的一点作这条直线的平行线
【经典例题3】已知：如图，在中，D为的中点，E是上一点，．
(1)过点D作交于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定：
（1）根据平行线的尺规作图方法作图即可；
（2）先证明，得到，再由平行线的性质得到，由线段中点的定义得到，则可证明，即可证明．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴．
【变式训练3-1】如图，已知，用尺规过点A作直线，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图， 根据平行线的尺规作图方法作图即可．
【详解】解：如图所示，直线即为所求．
【变式训练3-2】如图1，点E为边上一点，
(1)利用直尺和圆规：过点E作直线，使．（用黑色水笔描出作图痕迹，不要求写作法）
(2)如图2，在（1）的前提下，M为上一点，过M作，求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，基本作图的中的平行线的作法以及作一个角等于已知角，要求能够熟练地运用尺规作图，并保留作图痕迹．
（1）根据同位角相等两线平行则可作一个角等于即可得到；
（2）根据和得出，根据平行线判定定理即可解答；
【详解】（1）解：如图所示：
作一个角，
则．
（2）证明：由（1）知，
∵，
∴，
∴．
【变式训练3-3】如图，已知直线及直线外一点 P．
(1)请你用一个圆规和一把没有刻度的直尺，过点 P作直线，使得 ．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）中，的依据是 ．
【答案】(1)见解析
(2)内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查尺规作图—作平行线，也考查了平行线的判定．
（1）作，直线即为所求；
（2）根据内错角相等，两直线平行即可判定．
【详解】（1）如图，作，直线即为所求；
（2）解：∵，
∴，
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【变式训练3-4】如图，点E为边上一点，过点E作直线，使．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了基本作图，作已知直线的平行线，以B为圆心，任意长为半径画弧，以E为圆心，交于点R、Q，以E为圆心，为半径画弧，以长为半径画弧，两弧交于点O，连接所在直线即为所求．
【详解】作法：过点E作，则直线就是所求作的直线，
①以B为圆心，任意长为半径画弧，交于点R、Q，以E为圆心，为半径画弧，交于点F，
②以F为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点O，过点O、E作直线．
此时．
【变式训练3-5】请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：，点为的边上一点．
求作：直线，使．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定，尺规作图—作与已知角相等的角，以O为圆心，任意长为半径画弧分别交于F、E，再以P为圆心，以的长为半径画弧交于D，接着以D为圆心，以的长为半径画弧交圆P于C，作直线，则直线即为所求．
【详解】解：如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧分别交于F、E，再以P为圆心，以的长为半径画弧交于D，接着以D为圆心，以的长为半径画弧交圆P于C，作直线，则直线即为所求．
题型四：尺规作图作三角形
【经典例题4】已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．
(1)请你用尺规作一个满足条件的三角形；
(2)你是否还能作出既满足条件，又与（1）中所作的三角形不全等的三角形？若能，请你用“尺规作图”作出这样的三角形；若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)能，见解析
【分析】本题是一道开放性的探索题，也考查了尺规作图，在已知两边与一角的情况下，所作的三角形不唯一．
（1）在角的两边上分别以顶点为圆心截取和的线段，连接即可得到符合条件的三角形；
（2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取的线段，然后以线段的另一个端点为圆心，长为半径作弧，与角的另一边交于一点，也得符合条件的三角形；
【详解】（1）作一个角等于已知角，然后在角的两边上分别以顶点为圆心截取和的线段，连接即可得到符合条件的三角形，
如图1所示；
（2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取的线段，然后以线段的另一个端点为圆心，长为半径作弧，与角的另一边交于一点，所得三角形也符合条件，
如图所示；
【变式训练4-1】如图，已知和线段，求作，使得，，边．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．作射线，在射线上截取，在的上方分别作，，交于点，即为所求．
【详解】解：如图，即为所求．
【变式训练4-2】尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：已知线段a，b和
求作：使，，
【答案】见解析
【分析】本题考查作三角形，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
作，在射线上截取线段，使得，以B为圆心，a为半径作弧，交于点B，，连接，，或即为所求．
【详解】解：如图，或即为所求．
【变式训练4-3】已知和线段l，线段h．使用直尺和圆规作出满足下列条件的三角形（写出作法，保留作图痕迹）．
(1)求作，使得，周长等于线段l；
(2)求作，使得，一边上的高等于线段h，周长等于线段l．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，过已知点作已知直线的垂线等基本作图．
（1）作，在射线上取点，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，即为所求；
（2）作，过作，在上截取，过作交射线于，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，即为所求．
【详解】（1）解：作，在射线上取点，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，如图：
即为所求；
理由：由作图可知，，，
是的垂直平分线，
，
，
，
的周长等于线段，
，
满足条件；
（2）解：作，过作，在上截取，过作交射线于，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，如图：
即为所求．
理由：由作图可知，，
到的距离等于，
同（1）可知的周长等于线段，，
满足条件．
【变式训练4-4】尺规作图：如图，已知，请根据基本事实“”作出，使．（只保留作图痕迹，不要求写出作法）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图——作三角形与已知三角形全等．熟练掌握基本作图，三角形全等的判定和性质，是解题关键．
先作一个，然后在的两边分别截取，，连接即可得到．
【详解】①作，使，
②在的两边上分别取，，使，，
③连接．
即所求作，如图．
【变式训练4-5】已知和线段（如图）．
(1)用直尺和圆规作（点在的上方），使，（做出图形，保留痕迹，不写作法）．
(2)这样的三角形能作几个？
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
（1）先作，再在上截取，然后以为圆心，为半径画弧交于和，则和即为所作；
（2）由作图即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，和即为所作，
；
（2）解：由图可得：这样的三角形能作个．
题型五：结合尺规作图的全等问题
【经典例题5】如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识．根据判定三角形全等．
【详解】解：由作图可知，，，，
故．
故选：A．
【变式训练5-1】利用基本作图法，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知两边及其夹角 B．已知两角及夹边
C．已知两边及一边的对角 D．已知三边
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有．三角形全等的判定定理有，根据以上内容判断即可．
【详解】解：三角形全等的判定定理有，
A、根据定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意；
B、根据定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意；
C、根据已知两边及一边的对角不能作出唯一三角形，故本选项符合题意；
D、根据定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练5-2】已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是( )
A．，
B．，
C．，，
D．，，
【答案】D
【分析】根据证明三角形全等即可．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
【详解】解：由作图可知，，，，
在和中，
，
故选：D．
【变式训练5-3】如图，已知；，线段，求作．
作法；（1）作线段；
（2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法．
【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即．
故选C．
【变式训练5-4】利用尺规作，根据下列条件作出的不唯一的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】本题考查结合尺规作图的全等问题，根据全等三角形的判定方法逐个分析即可．
【详解】解：A，，，，根据，可以作出唯一三角形；
B， ，，，根据，可以作出唯一三角形；
C，，，，形式，作出的不唯一；
D，，，，根据，可以作出唯一三角形．
故选C．
【变式训练5-5】如图，在小正方形的网格纸上，以为一边作，使之与全等，则下列四个点中符合条件的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据三角形全等的判定即可得，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
【详解】解：如图，连接，
在和中，，
，
则符合条件的是点，
故选：C．
【变式训练5-6】如图，已知中，，尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在直线上方求作一点D，使得，其中；
(2)在线段上求作一点E，使得，说明理由．
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析．
【分析】本题考查了作图 复杂作图，全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质等知识点，
（1）分别以A点、B点为圆心，以和为半径画弧，两弧相交于点D，则根据“”可判断；
（2）作的垂直平分线交于E点，则，所以，然后根据三角形外角性质可得到；
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【详解】（1）如图，点D为所作；
（2）如图，作的垂直平分线交于点E，交点E为所作；
∵点E为的垂直平分线与的交点，
∴，
∴，
∵，
∴，
即
题型六：尺规作图作角平分线
【经典例题6】如图，以的顶点为圆心任意长为半径作弧，分别交角的两边于，两点；再分别以点，为圆心大于长度的一半为半径作弧，两弧交于点，连接．若，，，那么点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形的外角性质和解直角三角形，过作于点，由题意可得平分，则，由可得，通过三角形外角性质得，通过三角函数求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，过作于点，
由作图可知，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离是，
故选：．
【变式训练6-1】如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．则的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，先根据作图过程判断平分，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，进而可得，由此可解．
【详解】解：由作图过程可知平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练6-2】如图，中，，．
(1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，直接写出的面积为： ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据角平分线的作法即可完成作图；
（2）作于，由角平分线的性质定理得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，角平分线即为所作，
；
（2）解：如图，作于，
，
∵平分，，
∴，
∴．
【变式训练6-3】如图，在中，．请用尺规作图法，在边上找一点P，使点P到边、边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查角平分线作图，以及角平分线性质，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交边、边于一点，分别以这两点为圆心，大于两点间距离的的线段长为半径画弧，交于一点，连接这点和点，并延长交边于点P，即点P即为所求．
【详解】解：如图，点P即为所求：
【变式训练6-4】如图，在中，，，过点作，请用尺规作图法，在边的延长线上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角和的性质等知识．作平分，交的延长线于点，则，故．
【详解】解：如图，作平分，交的延长线于点，点即为所求．
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【变式训练6-5】如图，已知中，，，，，
(1)作的平分线，交于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)设的面积为，的面积为，试求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作角平分线、角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟练掌握尺规作角平分线、角平分线的性质定理是解题的关键；
（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，得到弧与角的两边的交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，连接点和这个交点即可；
（2）根据角平分线的性质定理，得出中，边上的高，再利用三角形的面积公式计算求值即可．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求，
（2）解：∵平分，，
∴中，边上的高，
∵，，
∴，，
∴．
题型七：尺规作图作垂直平分线
【经典例题7】如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B，点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，连接交于点E，已知，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键．
解：由作图可知，，直线为线段的垂直平分线，则，根据的周长为，计算求解即可．
【详解】解：由作图可知，，直线为线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长为．
故选：D．
【变式训练7-1】作图题：
(1)画出的三条高．
(2)尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．已知：，求作：，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作三角形的高，作一个角等于已知角，作垂直平分线；
（1） 过作对边的垂线，即可求解；
（2）作，则
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求
【变式训练7-2】如图，在中，平分交于点，交于点．
(1)请作出中边上的高
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了尺规作垂线，三角形内角和定理，角平分线的概念，平行线的性质，
（1）根据题意做出中边上的高即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义求出的度数，即可利用平行线的性质求出的度数．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）解：∵．
又∵
∴
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【变式训练7-3】如图，在中，
(1)用尺规作图法作边上的高，垂足为D（保留作图痕迹不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若平分，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，尺规作图：垂线；
（1）根据尺规作图的方法作出图形即可；
（2）先根据角平分线的性质，得出，证明，得出，结合等角对等边得出，据此即可作答．
【详解】（1）解：边上的高，如图所示：
∴线段即为所求；
（2）解：过点C作，
∴，
∵为的高，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式训练7-4】如图，的周长为．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（）的条件下，连接，若，求的周长．
【答案】(1)作图见解析；
(2)．
【分析】（）根据作线段垂直平分线的作法作图即可；
（）由线段垂直平分线的性质可得，，进而由三角形的周长可得，即可得的周长；
本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，三角形的周长，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：为线段的垂直平分线，
，，
，
的周长为，
，
∴，
的周长．
【变式训练7-5】如图，在中，．
(1)作边的垂直平分线，垂足为，交边于点，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）；
(2)若，且，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）由等腰三角形的性质可得，结合线段垂直平分线的性质可得，，进而可得，最后根据含30度角的直角三角形的性质可得答案．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2），
．
又是的垂直平分线，
．
．
．
在中，，
又
．
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1.4 尺规作图七大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：尺规作一个角等于已知角
【经典例题1】如图，，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．再以点N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接．则 度．
【变式训练1-1】如图，已知，点在边上，请用尺规作图法，在平面内求作一角，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式训练1-2】尺规作图：
已知：．
求作：，使．
【变式训练1-3】如图，的边上有一点D，交于点
(1)用尺规作图：过点D作，其中点F在上；
(2)在（1）完成的图中，若，试说明
【变式训练1-4】已知：，（如图）
(1)求作：以为一边，作（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，，则的度数为多少？
题型二：尺规作角的和与差
【经典例题2】如图，已知．
(1)作，使；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作图中，作出与互补的角．（画出一个即可）
【变式训练2-1】作图题．已知，，且大于，求作（不写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图）
【变式训练2-2】已知：，求作：，使．
【变式训练2-3】尺规作图：已知：、，求作：，使．
【变式训练2-4】如图，已知的三边长分别为，利用直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)作线段；
(2)作．
【变式训练2-5】已知：，．
求作：，使．
要求：保留画图痕迹，不写画法．
画图：
题型三：过直线外的一点作这条直线的平行线
【经典例题3】已知：如图，在中，D为的中点，E是上一点，．
(1)过点D作交于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：．
【变式训练3-1】如图，已知，用尺规过点A作直线，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式训练3-2】如图1，点E为边上一点，
(1)利用直尺和圆规：过点E作直线，使．（用黑色水笔描出作图痕迹，不要求写作法）
(2)如图2，在（1）的前提下，M为上一点，过M作，求证：．
【变式训练3-3】如图，已知直线及直线外一点 P．
(1)请你用一个圆规和一把没有刻度的直尺，过点 P作直线，使得 ．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）中，的依据是 ．
【变式训练3-4】如图，点E为边上一点，过点E作直线，使．
【变式训练3-5】请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：，点为的边上一点．
求作：直线，使．
题型四：尺规作图作三角形
【经典例题4】已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．
(1)请你用尺规作一个满足条件的三角形；
(2)你是否还能作出既满足条件，又与（1）中所作的三角形不全等的三角形？若能，请你用“尺规作图”作出这样的三角形；若不能，请说明理由．
【变式训练4-1】如图，已知和线段，求作，使得，，边．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
【变式训练4-2】尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：已知线段a，b和
求作：使，，
【变式训练4-3】已知和线段l，线段h．使用直尺和圆规作出满足下列条件的三角形（写出作法，保留作图痕迹）．
(1)求作，使得，周长等于线段l；
(2)求作，使得，一边上的高等于线段h，周长等于线段l．
【变式训练4-4】尺规作图：如图，已知，请根据基本事实“”作出，使．（只保留作图痕迹，不要求写出作法）
【变式训练4-5】已知和线段（如图）．
(1)用直尺和圆规作（点在的上方），使，（做出图形，保留痕迹，不写作法）．
(2)这样的三角形能作几个？
题型五：结合尺规作图的全等问题
【经典例题5】如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】利用基本作图法，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知两边及其夹角 B．已知两角及夹边
C．已知两边及一边的对角 D．已知三边
【变式训练5-2】已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是( )
A．，
B．，
C．，，
D．，，
【变式训练5-3】如图，已知；，线段，求作．
作法；（1）作线段；
（2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】利用尺规作，根据下列条件作出的不唯一的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式训练5-5】如图，在小正方形的网格纸上，以为一边作，使之与全等，则下列四个点中符合条件的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式训练5-6】如图，已知中，，尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在直线上方求作一点D，使得，其中；
(2)在线段上求作一点E，使得，说明理由．
题型六：尺规作图作角平分线
【经典例题6】如图，以的顶点为圆心任意长为半径作弧，分别交角的两边于，两点；再分别以点，为圆心大于长度的一半为半径作弧，两弧交于点，连接．若，，，那么点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．则的长是 ．
【变式训练6-2】如图，中，，．
(1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，直接写出的面积为： ．
【变式训练6-3】如图，在中，．请用尺规作图法，在边上找一点P，使点P到边、边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式训练6-4】如图，在中，，，过点作，请用尺规作图法，在边的延长线上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式训练6-5】如图，已知中，，，，，
(1)作的平分线，交于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)设的面积为，的面积为，试求的值．
题型七：尺规作图作垂直平分线
【经典例题7】如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B，点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，连接交于点E，已知，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】作图题：
(1)画出的三条高．
(2)尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．已知：，求作：，使得．
【变式训练7-2】如图，在中，平分交于点，交于点．
(1)请作出中边上的高
(2)求的度数．
【变式训练7-3】如图，在中，
(1)用尺规作图法作边上的高，垂足为D（保留作图痕迹不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若平分，求证：．
【变式训练7-4】如图，的周长为．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（）的条件下，连接，若，求的周长．
【变式训练7-5】如图，在中，．
(1)作边的垂直平分线，垂足为，交边于点，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）；
(2)若，且，求的长．
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