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1.1.3 三角形的内角和定理七大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：三角形内角和定理求角度
【经典例题1】若三角形三个内角度数之比为，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【变式训练1-1】如图，射线分别交直线于点，当时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】在中，，，则是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
【变式训练1-3】三角形三个内角的度数比为，则此三角形为 ．
【变式训练1-4】如图，中，是高，是三角形的角平分线，，，求的度数．
【变式训练1-5】如图，在中，，，将沿方向向右平移得到．
(1)试求出的度数；
(2)若，．请求出的长度．
题型二：与三角板有关的三角形内角和问题
【经典例题2】将一把含角的直角三角板和一把直尺按如图所示的位置摆放(直尺一边经过A)，若．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】两个直角三角板如图所示摆放，其中，，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】把一副三角板摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，已知，，，若,则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-5】将一副三角板按如图方式放置，点B在边上，点C在边的延长线上，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型三：与平行有关的三角形内角和问题
【经典例题3】如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】如图，，，则、的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】如图，已知，，，，那么 ．
【变式训练3-4】如图，直线，是直线上一点，是直线外一点，若，，则的度数为 ．
【变式训练3-5】如图，点B，C，F，E在同一条直线上，．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求证：．
题型四：与角平分线有关的三角形内角和问题
【经典例题4】如图，在中，平分交于点，平分交于点，若，，则的度数为 ．
【变式训练4-1】如图，在中，分别是，的平分线，分别是，的平分线．
(1)当，时，________，________，
(2)若，求，的度数；
(3)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由．
【变式训练4-2】【探究】如图①，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、．
（1）若，，则 度， 度．
（2）若，求的度数．
【拓展】如图②，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
【变式训练4-3】如图，点、分别在的边、上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．
(1)如图（1）当，时， ．
(2)如图（2）当时， ．
(3)在解题过程中，你认为与是否有数量关系，如有请写出关系式并说明理由．
【变式训练4-4】如图，在中，平分，于点，交于点．若，求的度数．
【变式训练4-5】如图，在中，平分交于点，是的高，与交于点．若，，求的度数．
题型五：三角形折叠中的角度问题
【经典例题5】在中，，点D是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点F，，若中有两个角相等，则 ．
【变式训练5-1】如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，若，则 °．
【变式训练5-2】如图，已知线段与直线的夹角，点在上，点是直线上的一个动点，将沿折叠，使点落在点处，当时，则 度．
【变式训练5-3】如图，将沿，翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则等于 .
【变式训练5-4】折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点F，若，且，则的度数为 ．
【变式训练5-5】将的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点，记为，为．
(1)如图1，当点A的对应点落在内部时，试探求与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点A的对应点落在外部时，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明．
题型六：三角形内角和综合证明
【经典例题6】如图，在等腰三角形中，，延长到点，延长到点．
(1)判断与的数量关系，并说明理由；
(2)的平分线交直线于点，若，求的度数；
(3)点是上一点，过点作交于点，在（）条件下求的度数．
【变式训练6-1】如图，在四边形中，，连接，点E在边上，点F在边上，且．
(1)求证：；
(2)若平分，，，求的度数．
【变式训练6-2】如图，点E在上，平分，．
(1)若，求证：；
(2)若，，且，求的度数．
【变式训练6-3】已知：如图，中，在直线的下方，且，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)沿直线平移线段至，连结，若直线，求的度数．
【变式训练6-4】如图，是的高，点E、F在、上，，，．
(1)求的度数；
(2)若，求证：．
【变式训练6-5】如图，点D在的边延长线上，点E在边上，连接交于点F，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
题型七：三角形内角和定理应用之探究问题
【经典例题7】问题提出：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．
(1)若，则直接写出的大小．
(2)数学探究：如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．
完成如下问题：
①若，直接写出的度数．
②求证：．
拓展运用：有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与相交于点，如图3，图4．若，．直接写出，满足的数量关系．
【变式训练7-1】如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：；
(2)如图2，若和的平分线、相交于点，且与分别相交于点．
①以线段为边的“8字型”有__________个，以点为交点的“8字型”有__________个；
②若，求的度数；
③若角平分线中角的关系改为，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由．
【变式训练7-2】如图，在中，，，，E为的中点，动点D在上从点A向点B运动，将沿翻折，使点A落在点处．
(1)如图，当时，求的度数；
(2)若与点C重合，证明：；
(3)点D从点A运动到点B的过程中，探究与的数量关系，并说明理由．
【变式训练7-3】综合探究
如图，在直角中，，点A在直线上，点D、E在直线上运动（点D不与点A重合），且始终满足平分．
(1)当点D在点A左侧时，请直接写出与之间的数量关系．
(2)若，在点D、E运动的过程中，当是直角三角形时，求的度数．
(3)请你在以点C为顶点的角中任选一个（、、除外），在点D、E运动的过程中，探究所选角与的数量关系，并写出具体过程．
【变式训练7-4】探究：
(1)如图①与有什么关系？为什么？
(2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）．
(3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______．
猜想三个角存在的等量关系为______．
【变式训练7-5】将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边、恰好分别经过点B、C．
(1)如图①，若时，点D在内，则____度，______度，_____度；
(2)如图②，改变直角三角板的位置，使点D在内，请探究、、之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论．
(3)如图③，改变直角三角板的位置，使点D在外，且在边的左侧，判断、、三者之间存在的数量关系并说明理由．
题型八：直角三角两个锐角互余
【经典例题8】如图，在中，D为上一点，为的高，为的角平分线．若，，求的度数．
【变式训练8-1】如图，在中，平分交于点E．过点E作，垂足为F．
(1)若，，求，的度数；
(2)若，，请直接用含，的式子表示，．
【变式训练8-2】已知，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC．
(1)如图1，若AE⊥BC于E，∠C＝35°，求∠DAE的大小；
(2)如图2，P为CB延长线上一点，过点P作PF⊥AD于F，求证：∠P（∠ABC﹣∠ACB）．
【变式训练8-3】如图，中，，垂足为，．
（1）求的度数；
（2）过作于，于，写出图2中与相等的所有角（不含本身）．
【变式训练8-4】如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，，则和的度数是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【变式训练8-5】如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
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1.1.3 三角形的内角和定理七大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：三角形内角和定理求角度
【经典例题1】若三角形三个内角度数之比为，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为，熟练掌握这个定理是解答此题的关键．先根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比三个内角中最大内角，然后再判断三角形的形状即可．
【详解】解：∵三角形三个内角度数的比为，
∴三个内角中最大内角是
∴该三角形是直角三角形．
故选：B．
【变式训练1-1】如图，射线分别交直线于点，当时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查相交线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相交线的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．计算出的度数即可得到答案．
【详解】解：标记，如解图所示．
，
，
．
故选C．
【变式训练1-2】在中，，，则是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
【答案】钝角
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，结合三角形的内角和为，求出与的度数，再判断三角形的类型即可．解题的关键是掌握：三角形的内角和为．
【详解】解：∵，，，
∴，
解得：，
∴，
∴是钝角三角形．
故答案为：钝角．
【变式训练1-3】三角形三个内角的度数比为，则此三角形为 ．
【答案】钝角三角形
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的分类，先求解三角形的最大内角，再判断即可．
【详解】解：由题意，得：最大的角为：；
∴此三角形为钝角三角形；
故答案为：钝角三角形．
【变式训练1-4】如图，中，是高，是三角形的角平分线，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义得出，再求出的度数，即可得出答案．
【详解】解：在中，，
又∵为角平分线，
∴，
∵是高，
∴，
在中，，
∴．
【变式训练1-5】如图，在中，，，将沿方向向右平移得到．
(1)试求出的度数；
(2)若，．请求出的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了平移的性质，注意：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②连接各组对应点的线段平行且相等．
（1）根据平移可得，对应角相等，由的度数可得的度数；
（2）根据平移可得，对应点连线的长度相等，由的长可得的长．
【详解】（1）解：在中，，，
，
由平移得，；
（2）解：由平移得，，
，，
，
．
题型二：与三角板有关的三角形内角和问题
【经典例题2】将一把含角的直角三角板和一把直尺按如图所示的位置摆放(直尺一边经过A)，若．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理等，如图，根据平行线的性质可得，根据对顶角相等可得，再利用三角形内角和为180度即可求解．
【详解】解：如右图所示，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选C．
【变式训练2-1】两个直角三角板如图所示摆放，其中，，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，平行线的性质是解题的关键．
由三角形内角和定理可求，，，由，可得，即，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
∵，
∴，即，
解得，，
故选：B．
【变式训练2-2】如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，平行线的性质是解题的关键．
由三角形内角和定理可求，，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练2-3】把一副三角板摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，已知，，，若,则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识，由平行线的性质求出，由三角形内角和定理求出，根据周角的定义即可求出的度数.
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，，
∴
∴
故选：C
【变式训练2-4】两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得到，再由平角的定义得到 ，则由三角形内角和定理可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练2-5】将一副三角板按如图方式放置，点B在边上，点C在边的延长线上，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的定义，三角形内角和定理，由题意可知，，，从而得到，再由，得到，根据三角形内角和定理即可求解，掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
题型三：与平行有关的三角形内角和问题
【经典例题3】如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，
延长交于点G，根据平行线的性质得到，然后表示出，，然后在中利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】如图所示，延长交于点G，
∵
∴
∴
∵
∵
∴
∴整理得，．
故选：D．
【变式训练3-1】如图，，，则、的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键．
延长交于点G，延长交于点H，求出，，再根据平行线的性质得出，进而可得答案．
【详解】解：延长交于点G，延长交于点H，如图，
，
，
在中，，
，
，
，即，
，
，即．
故选：D．
【变式训练3-2】如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得．
【详解】解：如图，延长交于点，
，，
，
，
，
，
，
故选：A．
【变式训练3-3】如图，已知，，，，那么 ．
【答案】/28度
【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，
首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【变式训练3-4】如图，直线，是直线上一点，是直线外一点，若，，则的度数为 ．
【答案】/120度
【分析】直接利用平行线的性质并结合三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：延长交于点，
∵，，，
∴，
∵，
∴
，
∴，
∴的度数为．
故答案为：．
【变式训练3-5】如图，点B，C，F，E在同一条直线上，．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形内角和外角的性质、平行线的性质和判定，掌握并灵活运用相关知识是解题关键．
（1）根据外角的性质有，结合条件即可得解；
（2）由平行线的性质易得，再由外角的性质有，，根据角的转化易得，从而．
【详解】（1）解：，，
，
是的外角，，
；
（2）证明：，
．
、分别是、的外角，
，，
，
，
．
题型四：与角平分线有关的三角形内角和问题
【经典例题4】如图，在中，平分交于点，平分交于点，若，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质，先根据三角形内角和定理，计算，再根据角平分线的定义，求出和的度数，最后根据三角形外角的性质计算，得出答案即可，熟练掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分交于点，平分交于点，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-1】如图，在中，分别是，的平分线，分别是，的平分线．
(1)当，时，________，________，
(2)若，求，的度数；
(3)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，
(3)的值不变，理由见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算、三角形的内角和定理等知识点，学会整体思想是解题关键．
（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可；
（3）利用（2）的结论即得结果．
【详解】（1）解：∵分别是，的平分线，，，
∴，，
∴；
∵分别是，的平分线，
∴，
∴．
故答案为60，120．
（2）解：在中，，
∵，分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∵，，
，，
∴，，
∵，分别是，的平分线，
∴，
∴．
（3）解：的值不变，理由如下：
由（2）可知：，，
∴，即当的大小变化时，的值不变．
【变式训练4-2】【探究】如图①，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、．
（1）若，，则 度， 度．
（2）若，求的度数．
【拓展】如图②，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
【答案】（1）30，125；（2）；拓展：
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．
探究：（1）依据角平分线以及平行线的性质，即可得到的度数，依据三角形内角和定理，即可得到的度数；
（2）依据角平分线以及平行线的性质、三角形内角和定理，即可得到的度数；
拓展：根据和的平分线交于点，可得，，再根据进行计算，即可得到的度数．
【详解】探究：（1），平分，
，
又，
；
，平分，
，
中，；
故答案为：30，125；
（2）平分，平分，
，．
，
．
，
，．
．
，
．
拓展：和的平分线交于点，
，，
．
【变式训练4-3】如图，点、分别在的边、上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．
(1)如图（1）当，时， ．
(2)如图（2）当时， ．
(3)在解题过程中，你认为与是否有数量关系，如有请写出关系式并说明理由．
【答案】(1)45
(2)120
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（3）由（2）的思路可得结论．
【详解】（1）解： ，，
，
，
是的平分线，
，
平分，
，
，
（2）设，，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
．
（3），理由如下：
设，
平分，
，
设，
，
平分，
，
，
．
【变式训练4-4】如图，在中，平分，于点，交于点．若，求的度数．
【答案】114°
【分析】本题主要考查了角平分线、垂线以及三角形外角的定义和性质，熟练掌握三角形外角的定义和性质是解题关键．根据题意易得，，然后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，利用求解即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练4-5】如图，在中，平分交于点，是的高，与交于点．若，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和定理、垂线以及角平分线的定义．由平分，利用角平分线的定义，可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，由是的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，再将其代入中，即可求出的度数．
【详解】解：平分，
．
在中，，，
．
是的高，
，
，
．
题型五：三角形折叠中的角度问题
【经典例题5】在中，，点D是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点F，，若中有两个角相等，则 ．
【答案】45或22.5
【分析】根据三角形的外角性质可得，求得，根据折叠的性质可得，，求得，根据三角形内角和定理求得，分、、三种情况，列方程解答即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∴，
当中有两个角相等，分三种情况：
当时，则，（舍去）；
当时，则，；
当时，则，；
故答案为：45或22.5．
【变式训练5-1】如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，若，则 °．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角，灵活运用角的等量代换是解题的关键．
根据三角形外角的性质及，求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，由折叠的性质得出的度数，进而得出结论．
【详解】解：如图进行标注：
解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：92．
【变式训练5-2】如图，已知线段与直线的夹角，点在上，点是直线上的一个动点，将沿折叠，使点落在点处，当时，则 度．
【答案】110或70
【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换（折叠问题），分两种情况讨论是解题的关键．
分两种情况：当点N在射线上运动时；当点N在射线上运动时；然后分别进行计算，即可解答．
【详解】分两种情况：
当点N在射线上运动时，如图：
延长到D，
∵，
∴，
由折叠得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点N在射线上运动时，如图：
延长到E，
由折叠得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述：当时，则或，
故答案为：或．
【变式训练5-3】如图，将沿，翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则等于 .
【答案】/度
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，折叠的性质，由折叠的性质可得，，可得，由三角形内角和定理可得，再由三角形外角的性质推出，则，即可求的度数．
【详解】解：将沿，翻折，顶点，均落在点处，
，，
，
，
，
连接并延长交于点M，
∵是的外角，是的外角，
∴，
∴，
，
，
故答案为：．
【变式训练5-4】折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点F，若，且，则的度数为 ．
【答案】/100度
【分析】本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，折叠性质，平行线性质；由两直线平行同位角相等可得，由折叠性质可得，，再根据三角形外角性质可得，再根据折叠的性质即可得出最后结果．
【详解】解：如图：
，
，
将纸片沿折叠，使点A落在点处，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练5-5】将的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点，记为，为．
(1)如图1，当点A的对应点落在内部时，试探求与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点A的对应点落在外部时，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，证明见解析
【分析】此题主要考查折叠的性质、三角形外角的性质，掌握折叠前后图形对应角度相等和三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和是解题的关键．
（1）利用三角形两次外角定理得出结论；
（2）由三角形外角定理，再由折叠可得即可得出结论．
【详解】（1）解：，理由见解析：
如图1，连接，
是的外角，
．
同理，．
．
由折叠性质得．
．
（2），证明如下：
如图2，连接，
是的外角，
．
同理，．
．
由折叠性质得．
，
．
题型六：三角形内角和综合证明
【经典例题6】如图，在等腰三角形中，，延长到点，延长到点．
(1)判断与的数量关系，并说明理由；
(2)的平分线交直线于点，若，求的度数；
(3)点是上一点，过点作交于点，在（）条件下求的度数．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义和平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用三角形的外角性质即可求解；
（）根据角平分的定义和外角性质，三角形的内角和定理即可求解；
（）根据三角形的内角和定理，平行线的性质即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵是三角形的一个外角，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴是三角形的一个外角，
∴，
∵平分，
∴；
（3）解：∵，
∴，
又∵，
∴．
【变式训练6-1】如图，在四边形中，，连接，点E在边上，点F在边上，且．
(1)求证：；
(2)若平分，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查多边形的内角与外角、平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及角平分线的性质．
（1）由知，结合得，据此即可得证；
（2）由、知，再根据平分线定义及知，由三角形的内角和定理可得答案．
【详解】（1）证明：如图，
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）；
（2）解：∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴，
∵平分（已知），
∴，
∴，
∵在中，（三角形内角和定理），，
∴．
【变式训练6-2】如图，点E在上，平分，．
(1)若，求证：；
(2)若，，且，求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，熟记平行线的判定方法是解本题的关键；
（1）证明，结合，可得，可得，从而可得结论；
（2）设，再分别表示，，可得，可得，，结合，从而可得答案．
【详解】（1）证明： 平分，
，
，
，
∴，
∵，
∴；
（2）设，
，
，
，
，，
，
，
．
【变式训练6-3】已知：如图，中，在直线的下方，且，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)沿直线平移线段至，连结，若直线，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查的是平移的性质及平行线的性质，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键．
（1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再由得出的度数，由三角形内角和定理得出的度数，进而可得出结论；
（2）根据图形平移的性质得出的度数，故可得出的度数，由直线可知，故，据此可得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】（1）解：，理由：
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）∵直线平移线段至，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式训练6-4】如图，是的高，点E、F在、上，，，．
(1)求的度数；
(2)若，求证：．
【答案】(1)；
(2)见解析．
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，熟记三角形的内角和定理是解本题的关键；
（1）先求解，再利用平行线的性质可得答案；
（2）先证明，，可得，再进一步证明即可．
【详解】（1）解：在中，∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵是的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【变式训练6-5】如图，点D在的边延长线上，点E在边上，连接交于点F，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟记三角形的内角和定理与外角的性质是解本题的关键；
（1）分别利用外角得到，，再结合已知条件可得结论；
（2）先求解，．再证明，从而可得答案．
【详解】（1）证明：在中．
，
在中．
，
又∵
∴．
（2）∵，．
∴，．
中．
．
中．而，
．
即：．
∴．
在中，．
题型七：三角形内角和定理应用之探究问题
【经典例题7】问题提出：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．
(1)若，则直接写出的大小．
(2)数学探究：如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．
完成如下问题：
①若，直接写出的度数．
②求证：．
拓展运用：有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与相交于点，如图3，图4．若，．直接写出，满足的数量关系．
【答案】(1)；
(2)①；②证明见解析；拓展运用：图3：；图4：．
【分析】本题考查了角的等量代换，三角形的定义，平行线的判定等知识点，灵活运用角的等量代换是解题的关键．
（1）利用，运算求解即可；
（2）①：利用角的等量代换运算求解即可；
②：利用角的等量代换运算出和的度数后判定即可；
扩展运用：分类讨论图3和图4两种情况，利用角的等量代换寻找关系即可；
【详解】（1）解：由题意可得：，
∵，
∴；
（2）①解：由题意可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴；
②解：∵，，
∴，
∴；
扩展运用：
在图3中，解：由题意可得：，，，
∴，，
∵在中：，
∴，
∴，
又∵在中：，
∴，
∴，
∴；
在图4中，解：由题意可得：，，
在中，，即：，
在中，，即：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【变式训练7-1】如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：；
(2)如图2，若和的平分线、相交于点，且与分别相交于点．
①以线段为边的“8字型”有__________个，以点为交点的“8字型”有__________个；
②若，求的度数；
③若角平分线中角的关系改为，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①3；4；②③
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，，又因为和是对顶角，进而得出结论；
（2）①根据题目给的8字型定义，在图2中查图形的数量即可得出答案；
②根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理得出和，两式相加，最后得出，然后把代入计算即可得到答案；
③根据，得到，，再根据三角形内角和定理得出和，两式分别相减得到和，即可得到答案
【详解】（1）证明：∵，，，
∴；
（2）解：①以线段为边的“8字型”有：以和共点M组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；共有3个；
以点为交点的“8字型”有：以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；共有4个；
故答案为：3；4；
②以点为交点的“8字型”中，有，
以点为交点的“8字型”中，有，
，
∵、分别平分和，
，
，
，
；
③
，，
，，
以点为交点的“8字型”中，有，
以点为交点的“8字型”中，有，
，
，
；
【变式训练7-2】如图，在中，，，，E为的中点，动点D在上从点A向点B运动，将沿翻折，使点A落在点处．
(1)如图，当时，求的度数；
(2)若与点C重合，证明：；
(3)点D从点A运动到点B的过程中，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)或．理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，折叠的性质．
（1）利用平行线的性质求得，再利用折叠的性质求解即可；
（2）利用折叠的性质结合三角形内角和定理求得，推出，据此求解即可；
（3）分点在内部和点在外部时，两种情况讨论，利用三角形的外角性质结合折叠的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据折叠的性质得，，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：若与点C重合，如图，
，，
∴，
∴；
（3）解：或．理由如下，
连接，
当点在内部时，
由三角形的外角性质得，，
∴
；
当点在外部时，
由三角形的外角性质得，，
∴
；
综上，或．
【变式训练7-3】综合探究
如图，在直角中，，点A在直线上，点D、E在直线上运动（点D不与点A重合），且始终满足平分．
(1)当点D在点A左侧时，请直接写出与之间的数量关系．
(2)若，在点D、E运动的过程中，当是直角三角形时，求的度数．
(3)请你在以点C为顶点的角中任选一个（、、除外），在点D、E运动的过程中，探究所选角与的数量关系，并写出具体过程．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题主要考查角平分线的性质和角度的和差关系，
（1）根据题意得；
（2）由是直角三角形得或，①，可求得和，根据角平分线的性质即可求得；②若，则和，根据角平分线的性质即可求得；
（3）探究与的数量关系，分两种情况：①点D在点A左侧时，根据角平分线的性质得，结合直角可得；②点D在点A右侧时，根据角平分线的性质得，由直角得，可得．
【详解】（1）解：∵点D、E在直线上运动，平分，，
∴点E在点A的右侧
∵点D在点A左侧，
∴；
（2）∵点D、E在直线上运动，平分，，
∴点E在点A的右侧，
∵是直角三角形，
∴或，
①若，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
②若，如图，
∵
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
综上所述，或；
（3）探究与的数量关系，
∵点D、E在直线上运动，平分，，
∴点E在点A的右侧，
①点D在点A左侧时，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
即；
②点D在点A右侧时，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
则，
即．
【变式训练7-4】探究：
(1)如图①与有什么关系？为什么？
(2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）．
(3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______．
猜想三个角存在的等量关系为______．
【答案】(1)，理由如下
(2)
(3)，
【分析】（1）由题意知，，进而可得；
（2）由题意知，，进而可得；
（3）由，，可得，由折叠与平角的性质，可知，，则，进而可求三个角存在的等量关系．
【详解】（1）解： ，理由如下：
由题意知，，
∴；
（2）解：由题意知，，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵，，
∴，
由折叠与平角的性质，可知，，
∴，
故答案为：；
由题意知，，
∴三个角存在的等量关系为，
故答案为：．
【变式训练7-5】将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边、恰好分别经过点B、C．
(1)如图①，若时，点D在内，则____度，______度，_____度；
(2)如图②，改变直角三角板的位置，使点D在内，请探究、、之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论．
(3)如图③，改变直角三角板的位置，使点D在外，且在边的左侧，判断、、三者之间存在的数量关系并说明理由．
【答案】(1)140；90；50
(2)，证明见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是熟练掌握外角和内角的关系．
（1）根据三角形内角和定理可得，，进而可求出的度数；
（2）根据三角形内角和定义有，则．
（3）根据三角形内角和定理即可得出．
【详解】（1）在中，∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∴；
故答案为：140；90；50．
（2）、、之间的数量关系为：．
证明如下：
在中，．
在中，．
∴．
∴．
（3）、、之间的数量关系为：．
证明如下：
如图③，设交于点M，
∵，，
∴．
∴．
题型八：直角三角两个锐角互余
【经典例题8】如图，在中，D为上一点，为的高，为的角平分线．若，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和定理及三角形外角性质. 先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余可求出的度数.
【详解】解：∵，，
∴.
∵平分，
∴.
∵为的高，
∴，
∴.
【变式训练8-1】如图，在中，平分交于点E．过点E作，垂足为F．
(1)若，，求，的度数；
(2)若，，请直接用含，的式子表示，．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根据已知条件易求的度数，再利用直角三角形的性质可求解，的度数，由角平分线的定义可求解的度数，根据三角形的内角和定理可求的度数；
（2）类比（1）的推理方法即可求解．
【详解】（1）解： ∵，，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，
∴．
∵，
∴；
（2）解：，．理由如下：
∵，，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，
∴．
∵，
∴
【变式训练8-2】已知，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC．
(1)如图1，若AE⊥BC于E，∠C＝35°，求∠DAE的大小；
(2)如图2，P为CB延长线上一点，过点P作PF⊥AD于F，求证：∠P（∠ABC﹣∠ACB）．
【答案】(1)17.5°
(2)证明见详解
【分析】（1）根据已知条件，先分别算出∠ABC和∠BAC的度数，再计算出∠DAE的度数即可；
（2）根据直角三角形两锐角互补，以及三角形的内角和与外角定理，进行等量代换即可得到答案；
【详解】（1）解：∵∠ABC=2∠C，AE⊥BD，∠C=35°
∴∠ABC=70°，∠BAE=90°-2∠C=20°
∴∠BAC=180°-70°-35°=75°
∵AD是角平分线，
∴∠BAD==37.5°
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=37.5°-20°=17.5°
（2）证明：∵AD是角平分线
∴∠BAD=∠CAD
∵PF⊥AD
∴∠P+∠ADB=90°
∵∠ADB=∠DAC+∠ACB，∠BAD=
∴∠P=90°-(∠DAC+∠ACB)=90°-=
【变式训练8-3】如图，中，，垂足为，．
（1）求的度数；
（2）过作于，于，写出图2中与相等的所有角（不含本身）．
【答案】（1）；（2），，
【分析】（1）根据三角形内角和的性质得到，即可求解；
（2）根据平行线的判定与性质以及三角形内角和的性质，求解即可．
【详解】解：（1）∵
∴
∵，，
∴
（2）∵，
∴
又∵
∴，
∴，
∴
∵，，
，
∴
又∵
∴
综上所述：与相等的所有角为、、
【变式训练8-4】如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，，则和的度数是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，
∵，是角平分线，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
则有，，
故选：．
【变式训练8-5】如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据计算即可得解．
【详解】
解：平分，
，
是边上的高，
，
．
故选：C．
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