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1.2 全等三角形七大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：判断命题的真假
【经典例题1】下面的语句中，哪个不是命题（ ）
A．任何一个三角形一定有一个角是直角
B．对顶角相等
C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D．过直线m外一点A作m的平行线
【变式训练1-1】下列语句中，不是命题的是（ ）
A．钝角大于直角
B．三个角对应相等的两个三角形全等
C．过点A作直线l的垂线，垂足为B
D．若一个三角形的三边a，b，c满足，那么该三角形是直角三角形
【变式训练1-2】下列命题中：垂线段最短；相等的角是对顶角；如果两个角是同位角，那么这两个角相等；过一点有且只有一条直线与已知直线平行；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练1-3】下列命题是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．两个锐角的和是直角
C．互补的角是邻补角
D．若，则
【变式训练1-4】下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【变式训练1-5】有下列命题：①点到直线的距离是这一点到直线的垂线段；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角相等；③在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；④对顶角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中，真命题有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
题型二：全等三角形的识别
【经典例题2】下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-4】下列几组图形中是全等形的是（ ）
A．B． C． D．
【变式训练2-5】下列各组图形中，不是全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：全等三角形的概念
【经典例题3】下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等
【变式训练3-1】说法中正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等
【变式训练3-2】下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．两点确定一条直线
C．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是全等三角形
D．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形”
【变式训练3-3】下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．全等三角形的周长相等、面积相等 D．所有的等边三角形全等
【变式训练3-4】下列说法错误的是（ ）
A．全等三角形的形状相同、大小相等
B．全等三角形的对应边相等、对应角相等
C．面积相等的两个三角形全等
D．全等三角形的周长相等
题型四：利用全等三角形的性质求角度
【经典例题4】如图，已知点在上，点在上，，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】如图，已知，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-4】如下图，已知，点恰好在的延长线上，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-5】如图，已知，平分，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
题型五：利用全等三角形的性质求线段长度
【经典例题5】如图，若，点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【变式训练5-1】如图，，的周长为，，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】如图，点B、E在上，且，若，，则的长为 ．
【变式训练5-3】如图，．如果，，那么中边的长是 ．
【变式训练5-4】如图，，点在边上，与相交于点． 若，．
(1)求线段的长；
(2)求的度数．
【变式训练5-5】如图所示，已知于D，，求的长．
【变式训练5-6】如图，已知，点E在上，与相交于点F，若，，，．
(1)求线段的长；
(2)求的度数．
题型六：全等三角形的性质应用之格点问题
【经典例题6】如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求作图．
(1)在图1中，画出所有与全等（不包含）的；
(2)在图2中，过顶点A画一条直线平分的面积（不写作法，保留作图痕迹）．
【变式训练6-1】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹．
(1)在图①中画，使与全等．
(2)在图②中画，使与的面积相等，但不全等．
(3)在图③中画，使与全等，且所作的三角形有一条边经过的中点．
【变式训练6-2】如图，和△的顶点都在边长为的正方形网格的格点上，且和关于直线成轴对称．
(1)直接写出的面积为 ；
(2)请在如图所示的网格中作出对称轴；
(3)请在线段的右侧找一点，画出，使．
【变式训练6-3】如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为，小正方形的每一个顶点称为格点．，，均在格点上，按下面要求画出格点三角形．
(1)在图1中，找到格点，使得与全等．
(2)在图2中，作出的高
(3)在图2中，在边上找到点，使得．
【变式训练6-4】如图，与是正方形网格中的格点线段与格点三角形（顶点在格点上），请仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)在图1中作格点，且与成轴对称．
(2)在图2中作格点，且与全等，但不成轴对称．
【变式训练6-5】如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点（格点）上．
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的；
(2)在图中确定点P，使得点P到点A、C的距离和最小；
(3)顶点在格点，与△ABC全等且仅有1条公共边，这样的三角形共能画出 个．
题型七：全等三角形的性质应用之探究动点问题
【经典例题7】如图，点C在线段上，于B，于D．且，，点P以的速度沿A向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿EC运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足为M、N．设运动时间为，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为（ ）
A．1或3 B．1或 C．1或或 D．1或或
【变式训练7-1】如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以v厘米/秒的速度由C点向A点运动．若运动时间为t秒时，与全等，则t的值为（ ）
A．3 B．3或4 C．1或1.25 D．1
【变式训练7-2】如图，已知四边形中，，，，，点E为的中点，点P由B向C运动，到达点C后立即由点C向点B运动，运动速度为，同时点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 时，能够使与全等．
【变式训练7-3】如图，，．，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为．设点Q的运动速度为，若使得与全等，则x的值为 ．
【变式训练7-4】如图，在中，是边上一点，，点在边上以的速度由点向点运动，同时点在边上以的速度由点向点运动，若运动过程中存在某一时刻与全等（其中与是一组对应角），则的值为 ．
【变式训练7-5】如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题：
(1)用含t的式子表示______，______；
(2)探究t取何值时，与全等？
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1.2 全等三角形七大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：判断命题的真假
【经典例题1】下面的语句中，哪个不是命题（ ）
A．任何一个三角形一定有一个角是直角
B．对顶角相等
C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D．过直线m外一点A作m的平行线
【答案】D
【分析】本题考查了命题的定义，根据判断一件事情的语句，叫做命题，命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由题设事项推出的事项，逐一判断即可．
【详解】解：A、如果一个图形是三角形，那么一定有一个角是直角，是一个假命题，故不符合题意；
B、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是一个真命题，故不符合题意；
C、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是一个真命题，故不符合题意；
D、过直线m外一点A作m的平行线，这不是命题，故符合题意；
故选：D．
【变式训练1-1】下列语句中，不是命题的是（ ）
A．钝角大于直角
B．三个角对应相等的两个三角形全等
C．过点A作直线l的垂线，垂足为B
D．若一个三角形的三边a，b，c满足，那么该三角形是直角三角形
【答案】C
【分析】本题主要考查了命题的定义，根据命题的定义进行判断即可．
【详解】解：A．钝角大于直角是命题，故A不符合题意；
B．三个角对应相等的两个三角形全等，是命题，故B不符合题意；
C．过点A作直线l的垂线，垂足为B，不是命题，故C符合题意；
D．若一个三角形的三边a，b，c满足，那么该三角形是直角三角形，是命题，故C不符合题意．
故选：C．
【变式训练1-2】下列命题中：垂线段最短；相等的角是对顶角；如果两个角是同位角，那么这两个角相等；过一点有且只有一条直线与已知直线平行；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题主要考查对顶角的定义、命题及平行线的性质，分别根据对顶角的定义、同位角的定义及平行线的性质可直接进行求解，熟练掌握对顶角的定义、命题及平行线的性质是解题的关键．
【详解】垂线段最短，正确，是真命题；
相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题；
只有两直线平行，同位角才相等，故原命题错误，是假命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，正确，是真命题，真命题有个，
故选：．
【变式训练1-3】下列命题是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．两个锐角的和是直角
C．互补的角是邻补角
D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用平行线的性质、领补角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、两个锐角的和是可能是直角，也可能不是直角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、互补的角不一定是邻补角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、若，则，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
【变式训练1-4】下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【答案】C
【分析】本题主要考查了对顶角、点到直线的距离、平行线公理、平行线的性质等知识，理解并掌握相关定义和定理是解题关键．根据对顶角、点到直线的距离、平行线公理、平行线的性质，逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 相等的两个角不一定是对顶角，故该命题是假命题，不符合题意；
B. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故该命题是假命题，不符合题意；
C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该命题是真命题，符合题意；
D. 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故该命题是假命题，不符合题意．
故选：C．
【变式训练1-5】有下列命题：①点到直线的距离是这一点到直线的垂线段；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角相等；③在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；④对顶角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中，真命题有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】此题考查了点到直线的距离、平行线的性质、垂线的性质、对顶角的性质等知识，根据相关知识进行判断即可．
【详解】解：①点到直线的距离是这一点到直线的垂线段的长度；故选项错误，不符合题意；
②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；故选项错误，不符合题意；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故选项错误，不符合题意；
④对顶角相等；故选项正确，符合题意．
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故选项错误，不符合题意；
故选：A．
题型二：全等三角形的识别
【经典例题2】下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等图形．根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意；
D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
故选：C．
【变式训练2-1】下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等图形的定义，根据能够完全重合的两个图形称为全等图形进行逐项判断即可．
【详解】解：A中两个图形不是全等图形，故不符合题意；
B中两个图形不是全等图形，故不符合题意；
C中两个图形是全等图形，故符合题意；
D中两个图形不是全等图形，故不符合题意；
故选：C．
【变式训练2-2】下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等形的定义，掌握能够完全重合的图形是全等形成为解题的关键．
运用全等形的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；
B、两个图形能够完全重合，故本选项正确
C、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；
C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误．
故选B．
【变式训练2-3】下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查图形全等，涉及全等图形的定义，根据能够完全重合的两个图形是全等图形，逐项验证即可得到答案，熟记全等图形的定义是解决问题的关键．
【详解】
解：根据全等图形的定义可知，只有这两个图形能够完全重合，
故选：B．
【变式训练2-4】下列几组图形中是全等形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等形，根据全等形的定义即可求解，熟练掌握“能够完全重合的图形叫作全等图形”是解题的关键．
【详解】解：根据全等形的定义得：C选项是全等形，
故选C．
【变式训练2-5】下列各组图形中，不是全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是全等形的识别．根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．
【详解】解：观察发现，B、C、D选项的两个图形都可以完全重合，
∴B、C、D选项的两个图形都是全等图形，
A选项中两个图形不可能完全重合，
∴它们不是全等形．
故选：A．
题型三：全等三角形的概念
【经典例题3】下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据两个三角形全等的定义即可判断．理解定义是判断的关键．
【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
B、周长相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
D、形状、大小相同的两个三角形全等，正确，符合题意．
故选：D．
【变式训练3-1】说法中正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A错误；
面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B错误；
两个等边三角形，形状相同，边长不一定相等，不一定能完全重合，不一定是全等三角形，故选项C错误．
长相等的两个三角形不一定全等，故选项D正确；
故选D．
【变式训练3-2】下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．两点确定一条直线
C．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是全等三角形
D．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形”
【答案】B
【分析】根据绝对值的意义，确定直线的条件，全等三角形的判定，命题的条件与结论逐项判断即可．
【详解】解：A.若，则或，原说法错误；
B.两点确定一条直线，说法正确；
C.面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误；
D.命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形的三个内角都相等”，原说法错误；
故选：B．
【变式训练3-3】下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．全等三角形的周长相等、面积相等 D．所有的等边三角形全等
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的概念及性质，根据三角形全等的概念和性质逐一判断即可.
【详解】A选项：形状和大小完全相同的两个三角形全等，故形状相同的两个三角形不一定全等，本选项说法错误；
B选项：全等的两个三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项说法错误；
C选项：全等三角形的周长相等，面积相等，本选项说法正确；
D选项：等边三角形的形状相同，但大小不同，故本选项说法错误.
故选：C
【变式训练3-4】下列说法错误的是（ ）
A．全等三角形的形状相同、大小相等
B．全等三角形的对应边相等、对应角相等
C．面积相等的两个三角形全等
D．全等三角形的周长相等
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质及概念逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、全等三角形的形状相同、大小相等，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、全等三角形的对应边相等、对应角相等，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、面积相等的两个三角形，形状不一定相同，不一定全等，原说法错误，故此选项符合题意；
D、全等三角形的周长相等，原说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
题型四：利用全等三角形的性质求角度
【经典例题4】如图，已知点在上，点在上，，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，根据全等三角形的性质，，，又，，得到，在中根据内角和定理求解，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：，
，，
，
，
，
，
在中，由三角形内角和定理可得，
，，，
，
故选：C．
【变式训练4-1】如图，已知，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、三角形内角和定理，由，推出，再求出，再根据三角形内角和定理进行求解．
【详解】∵
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C
【变式训练4-2】如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，由，则与是一组对应角，与是一组对应角，对于，外角等于除外的两个内角之和，求得，再在中，由三角形内角和即可求得结果．
【详解】解：，，，
，．
由三角形外角的性质可得，
．
．
，，
．
故选：B．
【变式训练4-3】如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角的性质，折叠变换等知识，关键在于能够正确添加辅助线，灵活运用所学知识．根据折叠可知，，，再利用平角为，三角形内角和，推出，再利用三角形内角和定理、角平分线性质求出，再求出结果即可．
【详解】解：纸片沿折叠，
，
，，
，
平分，平分，，
，，
，
，
，
，
故选：C
【变式训练4-4】如下图，已知，点恰好在的延长线上，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和，以及全等三角形性质，根据三角形内角和得到，再利用全等三角形性质推出，最后各角平角的定义，即可解题．
【详解】解：，，
，
，
，
点恰好在的延长线上，
，
故选：C．
【变式训练4-5】如图，已知，平分，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理和三角形的外角，解题的关键是能熟记全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．全等得到，外角的性质，求出，进而求出，三角形的内角和定理，求出，即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故选B．
题型五：利用全等三角形的性质求线段长度
【经典例题5】如图，若，点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，得到继而得到，计算即可．
【详解】．∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：D．
【变式训练5-1】如图，，的周长为，，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由得，再根据周长求出，即可由求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵的周长为，
∴，
即，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练5-2】如图，点B、E在上，且，若，，则的长为 ．
【答案】2
【分析】据全等三角形的性质可得，进而可得，再由，，即可求出的长．本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握“全等三角形对应边相等”是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
即，
∵，，
，
即，
，
故答案为：2．
【变式训练5-3】如图，．如果，，那么中边的长是 ．
【答案】6
【分析】根据全等三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵，
故答案为：6．
【变式训练5-4】如图，，点在边上，与相交于点． 若，．
(1)求线段的长；
(2)求的度数．
【答案】(1)5
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质定理，三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质定理是解此题的关键．
（1）根据全等三角形的性质得出，，再求出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，，求出，再求出即可．
【详解】（1）解： ∵，，，
，，
；
（2）解：∵，，，
，，
，
．
【变式训练5-5】如图所示，已知于D，，求的长．
【答案】3
【分析】根据全等三角形的性质可得，，从而求得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【变式训练5-6】如图，已知，点E在上，与相交于点F，若，，，．
(1)求线段的长；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由全等三角形的性质可得，，即可求解；
（2）由全等三角形的性质可得，，再利用三角形内角和定理求得，即可求解．
【详解】（1）解：，，，
，，
；
（2）解：，，，
，，
，
.
题型六：全等三角形的性质应用之格点问题
【经典例题6】如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求作图．
(1)在图1中，画出所有与全等（不包含）的；
(2)在图2中，过顶点A画一条直线平分的面积（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等的性质，中线的性质．熟练掌握全等三角形对应边相等，中线等分三角形的面积是解题的关键．
（1）根据全等三角形对应边相等作图，如图1；
（2）如图2，点向右1个格点为，点向左1个格点为，连接，交于，则为中点，连接，为中边上的中线，则平分的面积，即为所求．
【详解】（1）解：如图1，，，即为所求；
（2）解：如图2，直线即为所求；
【变式训练6-1】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹．
(1)在图①中画，使与全等．
(2)在图②中画，使与的面积相等，但不全等．
(3)在图③中画，使与全等，且所作的三角形有一条边经过的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据全等三角形，三边分别对应相等，作图如图①；
（2）根据平行线间距离处处相等，作图如图②；
（3）根据轴对称的性质，作图如图③．
【详解】（1）解：如图①，即为所求；
（2）解：如图②，即为所求；
（3）解：如图③，即为所求；
【变式训练6-2】如图，和△的顶点都在边长为的正方形网格的格点上，且和关于直线成轴对称．
(1)直接写出的面积为 ；
(2)请在如图所示的网格中作出对称轴；
(3)请在线段的右侧找一点，画出，使．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据割补法求三角形的面积即可求解；
（2）连接，根据网格的特点过的中点作直线，即可求解；
（3）根据轴对称的性质作出，即可．
【详解】（1）的面积为－－－＝，
故答案为
（2）如图，直线即为所求．
（3）如图，即为所求．
【变式训练6-3】如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为，小正方形的每一个顶点称为格点．，，均在格点上，按下面要求画出格点三角形．
(1)在图1中，找到格点，使得与全等．
(2)在图2中，作出的高
(3)在图2中，在边上找到点，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用翻折变换根据全等三角形即可；
（2）根据全等三角形的性质，找到格点，则，进而根据三角形高的定义，即可求解；
（3）取格点E，连接，即为所求．
【详解】（1）如图，即为所求（答案不唯一）；
（2）如图所示，即为所求
∵，则
∴
∴
∴即为的高；
（3）如图所示，即为所求．
【变式训练6-4】如图，与是正方形网格中的格点线段与格点三角形（顶点在格点上），请仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)在图1中作格点，且与成轴对称．
(2)在图2中作格点，且与全等，但不成轴对称．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用网格图结合轴对称变换的性质进行画图即可；
（2）利用全等三角形的定义进行画图即可
【详解】（1）作图，如下图所示：
（2）作图，如下图所示：
【变式训练6-5】如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点（格点）上．
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的；
(2)在图中确定点P，使得点P到点A、C的距离和最小；
(3)顶点在格点，与△ABC全等且仅有1条公共边，这样的三角形共能画出 个．
【答案】(1)作图见解析
(2)当点P在线段AC上时，点P到点A、C的距离和最小
(3)4
【分析】（1）根据对称性质作出A、B、C的对称点，再顺次连接即可求解；
（2）根据两点之间线段最短可知，当点P在线段AC上时满足条件；
（3）根据轴对称性质和全等三角形的性质画图即可解答．
【详解】（1）解：如图，即为所求作；
（2）解：根据两点之间线段最短可知，当点P在线段AC上时，点P到点A、C的距离和最小；
（3）解：如图，满足条件的三角形有4个，
故答案为：4．
题型七：全等三角形的性质应用之探究动点问题
【经典例题7】如图，点C在线段上，于B，于D．且，，点P以的速度沿A向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿EC运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足为M、N．设运动时间为，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为（ ）
A．1或3 B．1或 C．1或或 D．1或或
【答案】C
【分析】需要分两类三种情况讨论，根据全等三角形的判定和性质结合建立一元一次方程可求解．
【详解】第一类：当点在上，点在上时，如图，
根据题意有：，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵P，C，M为顶点的三角形与全等，
∴，
∴；
当点在上，点在上时，
以，，为顶点的三角形与全等，
，
，
，
当点在上，点第一次从点返回时，
以，，为顶点的三角形与全等，
，
，
；
第二类：当点P在上时，如图，
以，，为顶点的三角形与全等，
∴结合图形有：，
∴，
当点P在上，点Q第一次从E点返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与全等，
∴，
∴，
∴，
综上所述：t的值为1或或，
故选：C．
【变式训练7-1】如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以v厘米/秒的速度由C点向A点运动．若运动时间为t秒时，与全等，则t的值为（ ）
A．3 B．3或4 C．1或1.25 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等．
分两种情况讨论：若，根据全等三角形的性质，则厘米，(厘米)，根据速度、路程、时间的关系即可求得；若，则厘米，，得出．
【详解】∵中，厘米，点为的中点，
∴厘米，
若，则需厘米，(厘米)，
∵点P的运动速度为1厘米/秒，
∴点P的运动时间为：；
若，则需厘米，，
∴点P的运动时间为：；
∴的值为：4或3，
故选：B．
【变式训练7-2】如图，已知四边形中，，，，，点E为的中点，点P由B向C运动，到达点C后立即由点C向点B运动，运动速度为，同时点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 时，能够使与全等．
【答案】或3或或
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用；分四种情况进行讨论，①点P由B向C运动，时，②点P由B向C运动，时，③点P由C向B运动，时，④点P由C向B运动，时，根据全等三角形的性质分别列出方程进行求解即可．
【详解】解：设点P在线段上运动的时间为，
∵点E为的中点，，
∴；
①点P由B向C运动，时，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
此时，点Q的运动速度为；
②点P由B向C运动，时，
∴，，
∴，
解得：，
此时，点Q的运动速度为：；
③点P由C向B运动，时，，
∴，
∴，
解得，
∴，
此时，点Q的运动速度为；
④点P由C向B运动，时，
∴，
∴，
解得：，
∵，
此时，点Q的运动速度为；
综上所述：点Q的运动速度为或或或．
故答案为：或3或或．
【变式训练7-3】如图，，．，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为．设点Q的运动速度为，若使得与全等，则x的值为 ．
【答案】或2
【分析】根据题意进行分类讨论：当时，当时，结合全等三角形的性质，即可解答．
【详解】解：当时，
∵与全等，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
当时，
∵与全等，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
综上：x的值为或2．
故答案为：或2．
【变式训练7-4】如图，在中，是边上一点，，点在边上以的速度由点向点运动，同时点在边上以的速度由点向点运动，若运动过程中存在某一时刻与全等（其中与是一组对应角），则的值为 ．
【答案】1或
【分析】设点D、F的运动时间为，用表示出相关线段，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论即可求解．
【详解】解：设点D、F的运动时间为，则，，，
分两种情况：①当时，即，
∴，
解得：；
②当时，即，
∴
解得：；
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，的值为1或．
故答案为：1或．
【变式训练7-5】如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题：
(1)用含t的式子表示______，______；
(2)探究t取何值时，与全等？
【答案】(1)，
(2)当秒或秒或12秒时，与全等
【分析】该题主要考查了全等三角形的性质，解答的关键是运用分类讨论思想解答；
（1）根据题意的运动方式，列代数式即可；
（2）分为，，三种情况分别解答即可
【详解】（1）当动点P在上时；当动点Q在上时，，，
当动点P在上时；当动点Q在上时，，，
综上，，；
（2）①如图1，Q在上，点P在上时，作，，
∵，
∴，
∴，
当时，
则，
即，
解得：；
②如图2，当点P与点Q重合时，
当，
则，
∴．
解得：；
③如图3，当点Q与A重合时，
，
∴，
当，
则，
即，
解得：；
当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等．
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