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1.1.4 三角形的外角和定理七大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：利用三角形的外角和定理求角度
【经典例题1】如图，的外角，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】如图，在中，，点D在上，点E在上，连接，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】如图，在中，D、E分别是边上的点，相交于点F，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】已知三角形三个内角的比为，则这个三角形三个外角的比为（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练1-4】如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点B作射线交边于点E，则的度数可能为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】如图，电脑屏幕上，设计一个运动的光点P，点P先沿水平直线从左向右匀速运动到点A，在A点向右转后，再沿直线匀速运动到B点，在B点向左转后，再沿直线匀速运动到C点，在C点再向右转后，沿直线匀速运动到M点，此时点M在C点的（ ）
A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏东
题型二：与三角板有关的三角形外角和问题
【经典例题2】将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】将一副三角板和按如图所示的方式放置，边与边在同一直线上，其中，，．若与边交于点G，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】将一副直角三角板按如图所示摆放，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】如图，含角的三角板的直角顶点C在直尺的边上，斜边与直尺的两边分别交于点D，E，直角边与直尺的边交于点F，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】将一副三角板按如图所示的方式摆放，点F在边上，，作的平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-5】如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
题型三：与平行有关的三角形的外角和问题
【经典例题3】如图，直线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】两个直角三角板如图所示摆放，其中，，，，分别与交于点，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】已知：如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式训练3-4】如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，．
(1)求证：；
(2)试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，，求的度数．
【变式训练3-5】如图，，直线分别与直线相交于点E，F，M是和之间的一点，N在上，连接，．
(1)求证：平分；
(2)当，时，求的度数．
题型四：与角平分线有关的三角形外角和问题
【经典例题4】如图，，，，平分，过点作交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】如图1，，点A，B分别在的边，上（不与点O重合）.
(1)若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点D.则的度数为_______.
(2)如图2，若，，求的度数.
(3)如图3，若将“”改为“（）”，，，求的度数（用含，n的代数式表示）.
【变式训练4-2】如图，直线，，、在上，且满足，平分
(1)求的度数；
(2)若平行移动，那么的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．
(3)在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
【变式训练4-3】已知，平分，点，，分别是射线，，上的动点，，不与点重合），连接，连接交射线于点，设．
(1)如图1，若，
①的度数是 ；
②当时，的度数是 ；当时，的度数是 ；
(2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若，延长交射线于点，当四边形为“完美四边形”时，求的值．
【变式训练4-4】如图，已知两条射线，动线段的两个端点、分别在射线、上，且，点在线段上，平分，平分．
(1)写出与的数量关系，并说明理由
(2)若平行移动，那么与的度数比是否随着位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；
(3)如果在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，请求出度数；若不存在，说明理由．
【变式训练4-5】【探究】
（1）如图1，，，和的平分线交于点，则______°；
（2）如图2，，，且，和的平分线交于点，则______；（用、表示）
（3）如图3，，，当和的平分线、平行时，、应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
题型五：三角形折叠中角度问题
【经典例题5】如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在处，并测得，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点A落在外的点处，折痕为，下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-3】如图，在中，，将沿直线l折叠，使点落在点的位置，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】如图，将纸片沿折叠使点A落在点处，且平分，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-5】如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的 处，折痕为，如果，，，，那么下列式子中不一定成立的是( )
A． B． C．β= D．
【变式训练5-6】如图，将沿折叠，使、与边分别相交于点、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型六：利用三角形外角和比较角度大小
【经典例题6】如图，已知，，线段上从左到右依次有两点，（不与，重合）．
（I）求证：：
（2）比较，，的大小，并说明理由；
（3）若，平分，且，求的度数．
【变式训练6-1】把两个形状相同，大小不同的三角板如图所示拼在一起，已知，．
（1）求的度数；
（2）如图，如果，试比较和的大小．
【变式训练6-2】如图，已知在中，与的平分线交于点．
（1）试比较与的大小，并说明理由（利用三角形外角的性质证明）；
（2）当时，求的度数．
【变式训练6-3】如图，是内任意一点，连接、．
(1)求证：；
(2)比较与的大小，并说明理由．
【变式训练6-4】已知：如图，．
(1)画出中边上的中线；
(2)画出中边上的高线；
(3)画出的角平分线；
(4)比较与的大小： ，依据是 ．
(5)比较线段与的大小： ，依据是 ．
题型七：三角形外角和应用之探究问题
【经典例题7】【学科融合】
射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．
【应用探究】
有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线．
（1）如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．求证．（补充：三角形内角和为）
（2）如图3，光线与相交于点，若，求的度数．
【深入思考】
（3）如图4，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与所在的直线相交于点，，与之间满足的等量关系是______．（直接写出结果）
【变式训练7-1】综合与实践
【问题情境】
已知，点P为一动点，和都不经过点P，探索与的数量关系．
【探究实践】
（1）在图1中，已知，，小亮的思路是：过点P作，请你按照小亮的思路，求出的度数为_______；
【拓展应用】
（2）在图2中，若 ，求的度数；
（3）在图3中，过点P作直线，试探究与，的数量关系，并说明理由．
【变式训练7-2】 已知：如图①，在中，是角平分线，点E、F分别在边、上，，将绕点C以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为t．当所在直线与线段，有交点时，交点分别为点M、点N．
(1)当时，如图②，此时直线与的位置关系是 ， °；
(2)是否存在某个时刻t，使得？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
(3)试探究：在旋转过程中，当t为何值时，中有两个角相等，请直接写出t的值．
【变式训练7-3】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
(1)探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，猜想与之间存在怎样的数量关系？并说明你的猜想．
(2)探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由．
(3)探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由．
【变式训练7-4】在中，，点，分别是边，上的点（不与，，重合），点是平面内一动点（与，不在同一直线上），设，，．
(1)若点在边上运动（不与点和点重合），且，如图（1）所示，则 ；
(2)若点在的外部，如图（2）所示，则，，之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．
(3)当点在边的延长线上运动时，请你通过画出图形进行探究，然后直接写出，，之间的关系．
【变式训练7-5】问题背景：如图，已知，李老师说，，存在某种数量关系，小明同学经过认真思考，得出了结论，
(1)请直接写出，，存在的数量关系．
(2)问题探究：爱动手实践的小芳同学有一块如图七巧板，小芳同学发现，，，存在某种确定的数量关系，请写出你发现的，，，存在的数量关系，并写出证明过程．
(3)拓展应用：如图，若，，，，请直接写出度数（用表示）．
【变式训练7-6】如图，已知，点E在直线AB，CD之间，连接AE，CE．
【感知】如图①，若，，则__________°；
【探究】如图②，猜想、和之间有什么样的数量关系，并说明理由；
【应用】如图③，若AH平分，将线段CE沿CD方向平移至FG（），若，FH平分，则__________°．
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1.1.4 三角形的外角和定理七大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：利用三角形的外角和定理求角度
【经典例题1】如图，的外角，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形外角的性质．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可求解．
【详解】解：，，
．
故选：D．
【变式训练1-1】如图，在中，，点D在上，点E在上，连接，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键．根据三角形外角性质和等腰三角形的性质得出，进而解答即可．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
同理，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：D．
【变式训练1-2】如图，在中，D、E分别是边上的点，相交于点F，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，由三角形内角和定理，三角形外角的性质得到，，则．
【详解】解：∵，，
∴，
故选；C．
【变式训练1-3】已知三角形三个内角的比为，则这个三角形三个外角的比为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外角与内角性质的综合，先设三角形三个内角分别为，再根据三角形的内角和性质列式，得出每个具体的角，再算出对应的外角，最后化简，即可作答．
【详解】解：设三角形三个内角分别为．
则，
∴，
∴三角形三个内角分别为，
则三角形对应的三个外角分别为，
化简得三角形对应的三个外角分别为，
∴这个三角形三个外角的比为，
故选：C．
【变式训练1-4】如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点B作射线交边于点E，则的度数可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的外角的性质，先根据外角的性质，求出的度数，再根据，得到的范围，即可．
【详解】解：∵是的一个外角，
∴，
∴，
∵过点B作射线交边于点E，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
即：；
故符合题意的只有选项B；
故选B．
【变式训练1-5】如图，电脑屏幕上，设计一个运动的光点P，点P先沿水平直线从左向右匀速运动到点A，在A点向右转后，再沿直线匀速运动到B点，在B点向左转后，再沿直线匀速运动到C点，在C点再向右转后，沿直线匀速运动到M点，此时点M在C点的（ ）
A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏东
【答案】C
【分析】本题考查了方向角，熟练掌握三角形的外角性质和方向角的定义是解题的关键．
根据三角形外角的性质得出和的度数，然后计算出的度数，根据方向角的定义即可得出答案．
【详解】如图，延长和相交于点，过点作的垂线交于点
，，
，
，
此时点M在C点的南偏东．
故选：C．
题型二：与三角板有关的三角形外角和问题
【经典例题2】将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据平行线的性质和三角形的外角性质即可求解．
【详解】解： 如图，
，
，
在中，，
．
故选：B．
【变式训练2-1】将一副三角板和按如图所示的方式放置，边与边在同一直线上，其中，，．若与边交于点G，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定和性质、三角形外角的性质．先证，推出，根据对顶角相等可得，再利用三角形外角的性质可得．
【详解】解：如图，设与边交于点H，
，
，
，
，
，
，
故选D．
【变式训练2-2】将一副直角三角板按如图所示摆放，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，延长交于点，先利用平角定义可得，从而可得，即可判断A；利用平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，即可判断B；利用三角形的外角性质可得，即可判断C；利用平角定义可得，从而可得，即可判断D．
【详解】延长交于点，
，
，
，
∴，
故A不符合题意；
∵，
，
是的一个外角，
，
，
故B不符合题意；
是的一个外角，
，
故C不符合题意；
，，
，
，
故D符合题意；
故选：D．
【变式训练2-3】如图，含角的三角板的直角顶点C在直尺的边上，斜边与直尺的两边分别交于点D，E，直角边与直尺的边交于点F，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是平行线的性质，外角的性质．
根据题目可以得到，然后推出角，再利用外角,通过计算得出答案．
【详解】∵，
∴．
又∵，
∴．
故选C．
【变式训练2-4】将一副三角板按如图所示的方式摆放，点F在边上，，作的平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，与角平分线有关的计算，平行线的性质，求出的度数，外角的性质，求出的度数，角平分线求出的度数，再利用角的和差关系，进行求解即可．
【详解】解：如图，由题意，得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故选B．
【变式训练2-5】如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质；根据平行线的性质，外角的性质解题即可；
【详解】解：如图：设与相交于点G，
，
，
故选：A．
题型三：与平行有关的三角形的外角和问题
【经典例题3】如图，直线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解答本题的关键．如图，根据平行线的性质求出，然后根据三角形外角的性质得出答案．
【详解】解：如图．
∵，，
∴，
∵，，
∴ ，
故选：．
【变式训练3-1】两个直角三角板如图所示摆放，其中，，，，分别与交于点，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质，根据平行线的性质得，根据三角形内角和定理得，再根据三角形外角的性质得到．掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的大小为．
故选：B．
【变式训练3-2】如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，根据平行线得到，再根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】
故选：B．
【变式训练3-3】已知：如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)．
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的外角性质．
（1）根据平行线的性质可得，等量代换可得，根据平行线的判定定理即可得证；
（2）由三角形的外角性质得，结合，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
又∵，
∴，
∴（同位角相等，两直线平行）；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴．
【变式训练3-4】如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，．
(1)求证：；
(2)试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)互补，见解析
(3)130°
【分析】考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，平角的定义，平行线的性质有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行；平行线的性质有：两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．
（1）根据同位角相等两直线平行，可证；
（2）根据平行线的性质可得，根据等量关系可得，根据内错角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得与之间的数量关系；
（3）根据对顶角相等可求，根据三角形外角的性质可求，根据平行线的性质可得，，再根据平角的定义可求的度数．
【详解】（1）证明：，
；
（2）解：，
，
，
，
，
；
（3），，
，
，
，
，
，
．
【变式训练3-5】如图，，直线分别与直线相交于点E，F，M是和之间的一点，N在上，连接，．
(1)求证：平分；
(2)当，时，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和与三角形的外角：
（1）根据，得到，进而推出，即可得证；
（2）延长交于点G，根据三角形的外角，求出，三角形的内角和定理，求出的度数即可．
【详解】（1）证明：∵
∴
∵
∴
∴平分；
（2）延长交于点G
∵，
∴
∵
∴
∵，
∴．
题型四：与角平分线有关的三角形外角和问题
【经典例题4】如图，，，，平分，过点作交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、三角形的外角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行线的性质可以求得和，再根据三角形内角和求得，最后由三角形的外角和定理求出答案．
【详解】，
，
，
，
又平分角，
，
，，
，
，
，
，
故选：B ．
【变式训练4-1】如图1，，点A，B分别在的边，上（不与点O重合）.
(1)若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点D.则的度数为_______.
(2)如图2，若，，求的度数.
(3)如图3，若将“”改为“（）”，，，求的度数（用含，n的代数式表示）.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了三角形外角的性质定理，熟练掌握三角形外角的性质定理是解题的关键.
（1）由三角形外角性质得到，，由角平分线的定义得到，，代入即可的答案；
（2）由三角形外角性质得到，，，代入即可的答案；
（3）由三角形外角性质得到，，，代入即可的答案.
【详解】（1）解：∵，
∴.
∵，
∴
∵是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点D.
∵，
∴
故答案为：
（2）∵，
∴.
∵，
∴
∵，
∴
（3）∵，
∴
∵，
∴.
∵，
∴.
【变式训练4-2】如图，直线，，、在上，且满足，平分
(1)求的度数；
(2)若平行移动，那么的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．
(3)在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)，是定值
(3)存在，
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后求出，计算即可得解；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，从而得解；
（3）根据三角形的内角和定理求出，从而得到、、是的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】（1）解： ，
，
平分，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，是定值；
（3）在和中，
，，
，
、、是的四等分线，
，
，
故存在某种情况，使，此时．
【变式训练4-3】已知，平分，点，，分别是射线，，上的动点，，不与点重合），连接，连接交射线于点，设．
(1)如图1，若，
①的度数是 ；
②当时，的度数是 ；当时，的度数是 ；
(2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若，延长交射线于点，当四边形为“完美四边形”时，求的值．
【答案】(1)①；②，
(2)的值是或或
【分析】（1）①利用角平分线的定义求出，根据平行线的性质可得出答案；
②当时，利用三角形内角和定理求出，进而可得的度数；
当时，求出，然后根据三角形外角的性质即可求出的度数；
（2）分三种情况进行讨论：①当时，②当点在左边，时，③当点在右边，时，分别根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：①，平分，
，
，
；
②当时，
，
，，
；
当时，
，
，
，
；
故答案为：①； ②，；
（2）解：①当时，如图，
，，
，
，
，
，
；
②当点在左边，时，
，，，
，，
，
，
；
③当点在右边，时，
，，，
，，
，，
，
；
综上所述，当四边形为“完美四边形”时，的值是或或．
【变式训练4-4】如图，已知两条射线，动线段的两个端点、分别在射线、上，且，点在线段上，平分，平分．
(1)写出与的数量关系，并说明理由
(2)若平行移动，那么与的度数比是否随着位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；
(3)如果在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，请求出度数；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)不变，与的度数的比值
(3)存在，
【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
（1）由，推出，，所以，根据平分，平分，推出，，所以，即；
（2）由，得，根据，推出，所以，即，则与的度数的比值．
（3）因为，，所以，再根据，推出，即可求出．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图：
，
，，
，
，
平分，平分．
，，
，
，
；
（2）解：不变，与的度数的比值，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
与的度数的比值．
（3）解：存在，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式训练4-5】【探究】
（1）如图1，，，和的平分线交于点，则______°；
（2）如图2，，，且，和的平分线交于点，则______；（用、表示）
（3）如图3，，，当和的平分线、平行时，、应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析；[挑战]，证明见解析
【分析】（1）利用三角形外角的性质，列出．再通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质进行计算求出的度数；
（2）利用三角形外角的性质，列出．再通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质，将转化为含有α与β的关系式，进而求出；
（3）利用三角形外角的性质，列出．再通过角平分线的定义以及平行线的性质，得出α与β的关系式；
[挑战]画出图形，利用三角形外角的性质，列出．再通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质，将转化为含有α与β的关系式，进而求出．
【详解】解：（1）平分，平分，
，．
，
．
又，
．
（2）由（1）得：，．
．
（3）若，则．
证明：若，则．
平分，平分，
，．
．
．
．
[挑战]如图4，平分，平分，
，．
，
．
．
．
与是对顶角，
．
又，
．
，
即．
题型五：三角形折叠中角度问题
【经典例题5】如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在处，并测得，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，
首先求出，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】∵，
∴，
∴．
故选：D．
【变式训练5-1】如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内角、外角以及折叠的性质，根据折叠的性质可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到，，然后列式整理即可得解．
【详解】根据折叠的性质，得.
在中，，
在中，，
∴，即.
故选：A．
【变式训练5-2】如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点A落在外的点处，折痕为，下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题重点考查三角形内角和定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、轴对称的性质等知识．由折叠得，则，据此即可判断，于是得到问题的答案．
【详解】解：设与交于点F，由折叠得，
∴，
∴，
故A正确，B错误；
∵变化而不变，
∴与不相等，
∴不正确，故C错误；
∵，且，
∴，
若正确，则，
观察图形可知，随的增大而减小，
∴与不一定相等，故D错误，
故选：A．
【变式训练5-3】如图，在中，，将沿直线l折叠，使点落在点的位置，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角形外角的性质得知，，则，即可得出答案．此题考查了折叠的性质，三角形外角定理，解答关键在于熟练掌握相关知识点．
【详解】解：如图
将沿直线l折叠，使点落在点的位置
，
故选：D．
【变式训练5-4】如图，将纸片沿折叠使点A落在点处，且平分，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接．根据三角形外角的性质，得：．由角平分线的性质及三角形内角和定理得．由折叠的性质得．进而可求解．
【详解】解：如图，连接，
，
．
平分，平分，
，．
．
．
是由沿折叠得到．
．
，，
故选：C．
【变式训练5-5】如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的 处，折痕为，如果，，，，那么下列式子中不一定成立的是( )
A． B． C．β= D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠问题中的三角形内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角的性质是解题的关键．
根据三角形外角的性质可得∠代入计算可判断A；无法得到选项B的结论；由折叠的性质结合平角的定义可判断选项C；由折叠的性质结合三角形内角和定理可判断D．
【详解】解：如图，
由折叠得，
∵
又
∴故A正确，不符合题意；
无法得到，故选项B符合题意；
由折叠得，
又
∴
∵
∴
∴，故选项C正确，不符合题意；
由折叠得，
∵
∴
∴，故选项D正确，不符合题意；
故选B．
【变式训练5-6】如图，将沿折叠，使、与边分别相交于点、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可得，，可求，从而可求，由，，即可求解．
【详解】解：由翻折得：
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：B．
题型六：利用三角形外角和比较角度大小
【经典例题6】如图，已知，，线段上从左到右依次有两点，（不与，重合）．
（I）求证：：
（2）比较，，的大小，并说明理由；
（3）若，平分，且，求的度数．
【答案】（1）见解析（2）＞＞，理由见解析（3）56°．
【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可证明；
（2）根据三角形的外角定理即可判断求解；
（3）设，∠EBF=y，根据题意找到数量关系得到方程组，求出x，y即可求解．
【详解】（1）∵
∴
∵
∴
∴
（2）＞＞，理由如下：
∵是△BEF的一个外角
∴=
∴＞
∵是△BDF的一个外角
∴=
∴＞
∴＞＞
（3）设，∠EBF=y，
∵
∴
∵
∴
∵平分
∴∠EBA=∠EBF=y
∴=4x+y
∵
∴
∴
∵
∴4x+y=①
∵
∴
即2y+x=②
联立①②解得
∴=14°+42°=56°．
【变式训练6-1】把两个形状相同，大小不同的三角板如图所示拼在一起，已知，．
（1）求的度数；
（2）如图，如果，试比较和的大小．
【答案】（1）60°；（2）∠AEC=∠BFC
【分析】（1）根据∠BAC=90°可得2x+x=90°，求出x即可得到∠C；
（2）利用外角的性质得到∠AEC=∠90°+∠BCF，∠BFC=90°+∠ACF，结合∠ACF=∠BCF，即可比较大小．
【详解】解：（1）由图可知：
∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAC=90°，
∵∠B=∠DAC=x，∠C=∠BAD=2x，
∴2x+x=90°，
∴x=30°，
∴∠C=60°；
（2）由图可知：∠BAC=∠ADC=90°，
∵∠AEC=∠ADC+∠BCF=∠90°+∠BCF，∠BFC=∠BAC+∠ACF=90°+∠ACF，
且∠ACF=∠BCF，
∴∠AEC=∠BFC．
【变式训练6-2】如图，已知在中，与的平分线交于点．
（1）试比较与的大小，并说明理由（利用三角形外角的性质证明）；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1），见解析；（2）
【分析】（1）连接AP并延长至D，根据三角形的外角性质，得出∠BPD＋∠CPD＞∠BAP＋∠CAP，即可得到∠A与∠BPC的大小关系；
（2）先根据∠A＝α，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于P，求得∠PBC＋∠PCB的度数，最后根据三角形内角和定理，求得∠BPC的度数．
【详解】（1）连接AP并延长至D，
∵∠BPD是△ABP的外角，
∴∠BPD＞∠BAP，
同理可得，∠CPD＞∠CAP，
∴∠BPD＋∠CPD＞∠BAP＋∠CAP，
∴∠BPC＞∠BAC；
（2）∵∠A＝α，
∴∠ABC＋∠ACB＝180° α，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于P，
∴∠PBC＋∠PCB＝（∠ABC＋∠ACB）＝×（180° α），
在△PBC中，∠BPC＝180° （∠PBC＋∠PCB）＝180° ×（180° α）＝90°＋α．
【变式训练6-3】如图，是内任意一点，连接、．
(1)求证：；
(2)比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）延长交于点，利用三角形的外角性质得到， ，即可得证；
（2）．根据三角形的三边关系证得，，从而得到，即可得证．
【详解】（1）证明：延长交于点，
∵是的外角，是的外角，
∴，，
∴；
（2）．理由如下：
在和中，得：
，，
∴，
∴．
【变式训练6-4】已知：如图，．
(1)画出中边上的中线；
(2)画出中边上的高线；
(3)画出的角平分线；
(4)比较与的大小： ，依据是 ．
(5)比较线段与的大小： ，依据是 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)，三角形的外角大于任意一个不相邻的内角
(5)，垂线段最短
【分析】（1）取的中点D，连接，即可画出中边上的中线；
（2）根据钝角三角形的高线的画法即可画出中边上的高，即过点D画的垂线即可；
（3）根据角平分线的画法即可画出的平分线；
（4）利用三角形的外角性质即可判断；
（3）利用垂线段最短即可得解．
【详解】（1）解：如图，即为所示求，
；
（2）解：如图，即为所示求，
；
（3）解：如图，即为所示求，
；
（4）解：，依据是三角形的外角大于任意一个不相邻的内角．
故答案为：，三角形的外角大于任意一个不相邻的内角；
（5）解：，依据是垂线段最短．
故答案为：，垂线段最短．
题型七：三角形外角和应用之探究问题
【经典例题7】【学科融合】
射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．
【应用探究】
有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线．
（1）如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．求证．（补充：三角形内角和为）
（2）如图3，光线与相交于点，若，求的度数．
【深入思考】
（3）如图4，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与所在的直线相交于点，，与之间满足的等量关系是______．（直接写出结果）
【答案】（1）见详解
（2）
（3）
【分析】本题主要考查了平行线的判定、三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形的性质是解题的关键．
（1）根据平面镜反射光线的规律得，，再利用，可得，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”证明结论即可；
（2）根据三角形内角和定理求得，根据平面镜反射光线的规律得，，再结合平角的定义得出，然后根据三角形内角和定理即可得出答案；
（3）结合三角形外角的性质可得，，结合，可得，整理可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）∵，
，
，
∴，
∴．
【变式训练7-1】综合与实践
【问题情境】
已知，点P为一动点，和都不经过点P，探索与的数量关系．
【探究实践】
（1）在图1中，已知，，小亮的思路是：过点P作，请你按照小亮的思路，求出的度数为_______；
【拓展应用】
（2）在图2中，若 ，求的度数；
（3）在图3中，过点P作直线，试探究与，的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】本题主要考查平等线的判定与性质,三角形内角和定理和外角的性质：
（1）过点P作，得，由平等线的性质可得，从而可得出
（2）过点P作，得，得出，从而可得出；
（3）由平行线的性质得，由三角形内角和定理得由三角形外角性质得，从而可得出结论
【详解】解：（1）过点P作，如图，
∵，
∴，
又，，
∴
∴，
故答案为：；
（2）过点P作，如图，
∵，
∴，
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴；
（3）如图，
∵，
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
【变式训练7-2】 已知：如图①，在中，是角平分线，点E、F分别在边、上，，将绕点C以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为t．当所在直线与线段，有交点时，交点分别为点M、点N．
(1)当时，如图②，此时直线与的位置关系是 ， °；
(2)是否存在某个时刻t，使得？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
(3)试探究：在旋转过程中，当t为何值时，中有两个角相等，请直接写出t的值．
【答案】(1)，60
(2)33或69
(3)t的值为9或18或54或63
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
（1）根据题中条件，求得，由此可求得，即，同时可求得；
（2）分两种情况讨论：当在点C的左边时，当在点C的右边时，分别画出图形，求出结果即可；
（3）分情况进行讨论，①，求得CE旋转45°或315°，②，可求得CE旋转90°或270°．
【详解】（1）解：如图所示，与交于点O，
∵，
∴，
∵是角平分线，
∴，
当时，根据由旋转可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴直线与的位置关系是：垂直，
∵，
∴．
（2）解：如图，当在点C的左边时，延长交于点G，
∵，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当在点C的右边时，
∵，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴根据旋转可知，旋转角为：，
∴；
综上分析可知：或时，使得；
（3）解：由题意可知，，
①当，
∴，
∴，
∵，
∴，
即当旋转时，中有两个角相等，如图所示，
∴此时；
②时，
则： ，
∴，即，如图，
则旋转的度数为：，
即当旋转时，中有两个角相等；
此时；
③当时，
∵，
∴，
则，
即，
∵，
∴，
即当旋转时，中有两个角相等，如图所示，
此时；
④由③可知，如图，当时，
∵，
此时旋转，
即当旋转时，中有两个角相等，
此时；
综上所述：当t的值为9或18或54或63时，中有两个角相等．
【变式训练7-3】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
(1)探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，猜想与之间存在怎样的数量关系？并说明你的猜想．
(2)探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由．
(3)探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先根据角平分线的定义，可得，，再根据三角形内角和定理，即可求解；
（2）先由角平分线得出，再由三角形的外角的性质得出，再根据三角形外角的性质，即可得出结论；
（3）首先根据三角形的外角性质，得，再根据角平分线的定义，可得，再根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵和分别是与的角平分线
∴，
∴
又∵
∴
∴
=
；
（2）解：，理由如下：
∵和分别是与外角的角平分线，
∴，
又∵是的一外角，
∴，
∴，
∵是的一外角，
∴；
（3）解：结论．
根据三角形的外角性质，得，
∵O是外角与外角的平分线和的交点，
∴，
∴
∵，
∴，
∴在中，
故答案为：．
【变式训练7-4】在中，，点，分别是边，上的点（不与，，重合），点是平面内一动点（与，不在同一直线上），设，，．
(1)若点在边上运动（不与点和点重合），且，如图（1）所示，则 ；
(2)若点在的外部，如图（2）所示，则，，之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．
(3)当点在边的延长线上运动时，请你通过画出图形进行探究，然后直接写出，，之间的关系．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查三角形的外角，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形的外角性质，三角形的内角和定理，四边形内角和，即可．
（1）根据，，即可得到的角度；
（2）根据三角形的外角，则，即可；
（3）分类讨论，根据三角形的外角的性质，即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，，
∴．
故答案为：．
（2），理由，如下：
∵，，
∵，
∴，
∴．
（3），
证明如下：
∵，，，
∴，
∴；
，
证明如下：
∵，，，
∴，
∴．
【变式训练7-5】问题背景：如图，已知，李老师说，，存在某种数量关系，小明同学经过认真思考，得出了结论，
(1)请直接写出，，存在的数量关系．
(2)问题探究：爱动手实践的小芳同学有一块如图七巧板，小芳同学发现，，，存在某种确定的数量关系，请写出你发现的，，，存在的数量关系，并写出证明过程．
(3)拓展应用：如图，若，，，，请直接写出度数（用表示）．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)，理由见解析；
(3)．
【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角形的性质是解题的关键．
（1）过点作，则，则，，从而；
（2）延长交于点，由三角形的外角性质得，，从而得；
（3）由，，得，由（）得，，进而得，求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
过点作，则，
∴，，
∴；
（2）解：，理由如下：延长交于点，
∵是的一个外角，是的一个外角，
∴，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，，
∴
由（）得，，
∴，，
∴，
解得．
【变式训练7-6】如图，已知，点E在直线AB，CD之间，连接AE，CE．
【感知】如图①，若，，则__________°；
【探究】如图②，猜想、和之间有什么样的数量关系，并说明理由；
【应用】如图③，若AH平分，将线段CE沿CD方向平移至FG（），若，FH平分，则__________°．
【答案】【感知】90；【探究】，证明见解析；【应用】40．
【分析】本题属于三角形综合题，考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键学会利用几何模型解决问题，属于中考常考题型．
感知：过点E作，由平行线的性质得出，证出，由平行线的性质得出，即可得出结论；
探究：延长点点交于点F，则可根据三角形的外角即可判定
应用：证明，再根据，可得结论．
【详解】证明：如图①，
过点E作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：90；
【探究】，证明如下：
如图，延长点交于点F，
∵，
∴，
∵在中，，
∴；
【应用】解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：40．
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