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1.3.4 垂直平分线的性质与判定六大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：利用垂直平分线的性质求线段长度
【经典例题1】如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，若，，则的长是（ ）
A．11 B．8 C．5 D．3
【变式训练1-1】如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】如图，在中，边的垂直平分线交．于点，，且，，则的周长是（ ）
A．7.5 B．5 C．8 D．6
【变式训练1-3】如图，在中，，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，则的周长是（ ）
A． B．10 C．12 D．
【变式训练1-4】如图，中，D是的中点，交于，则 ．
【变式训练1-5】如图，在中，，，作边的垂直平分线，交于点，交于点．若，则的长为 ．
题型二：利用垂直平分线的性质求角度
【经典例题2】如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交，于点E，F．若点E，F分别在，的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】如图，，点O是，的垂直平分线，的交点，则的度数为（ ）
A．145° B．150° C．160° D．165°
【变式训练2-2】如图，在中，，点D为中点，过点D作的垂线，交于点E，连接，作的平分线，与的延长线交于点F，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】如图，在中，点为三边垂直平分线交点，是三角形角平分线的交点，连接，，，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】如图，在中，为直角，由图中的尺规作图痕迹得到的直线交于点D，连接．若，则的度数为 ．
【变式训练2-5】如图，线段的垂直平分线m，n相交于点O． 连接，若，则 °．
题型三：利用垂直平分线的性质求最值
【经典例题3】如图，四边形中，，，在、上分别找一点M、N，当周长最小时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【变式训练3-2】如图，P为内一定点，M，N分别是射线上的点，当周长最小时，，则 ．
【变式训练3-3】如图，四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的一点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ．
【变式训练3-4】如图，已知∠BAC＝65°，D为∠BAC内部一点，过D作DB⊥AB于B，DC⊥AC于C，设点E、点F分别为AB、AC上的动点，当△DEF的周长最小时，∠EDF的度数为 ．
【变式训练3-5】如图，，点、分别是边、上的定点，点、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为 .
题型四：利用垂直平分线的性质和判定证明
【经典例题4】如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求证：
【变式训练4-1】如图，与相交于点，，，．
求证：
(1)；
(2)垂直平分．
【变式训练4-2】如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O．
(1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【变式训练4-3】已知：E是的平分线上一点，，垂足分别为C、D．
(1)若，求；
(2)求证：垂直平分．
【变式训练4-4】如图，在四边形中，，为的中点，连接，，延长交的延长线于点．
(1)求证：点是的中点；
(2)若，，求的长．
【变式训练4-5】如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．
(1)求证：
(2)点在线段的垂直平分线上，，，求四边形的面积．
题型五：垂直平分线性质和应用之多结论问题
【经典例题5】如图，，，，垂足分别为，，下列结论成立的是（ ）
①平分；②；③平分；④垂直平分．
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②③④
【变式训练5-1】如图，中，的平分线交于D，过点D作，，垂足为点E、F，下面四个结论中：①；②垂直平分；③；④，正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【变式训练5-2】如图，在中，平分交于点D，过点D作，垂足分别为E，F．下面四个结论：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【变式训练5-3】如图，在△ABC中，，，BD平分∠ABC，，交AB于点E．关于下面两个结论，说法正确的是（ ）
结论①；结论②．
A．结论①②都正确 B．结论①②都错误
C．只有结论①正确 D．只有结论②正确
【变式训练5-4】如图，在中，，分别为，边上的高，，相交于点F，，连接，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【变式训练5-5】如图，在中，D为上一点，于点E，于点F，连接，点H是的中点，交于点G，连接．若平分，则下列结论： ； ； ； ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型六：垂直平分线性质和应用之探究问题
【经典例题6】（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 ；
（2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，求证：；
（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个角，角的两边分别交，于E、F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【变式训练6-1】八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用与全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证与全等的判定方法是：__________；中线的取值范围是__________．
【阅读感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【理解与应用】如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．证明：．
【问题解决】如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由．
【变式训练6-2】八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
(1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是： ；中线的取值范围是
(2)【理解与应用】如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)【问题解决】如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由．
【变式训练6-3】在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．
(1)如图1，射线，都在内部．
①若，，则 ；
②作点关于直线的对称点，在图1中找出与线段相等的线段，并证明．
(2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段之间的数量关系，并证明．
【变式训练6-4】八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的线段，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解决．
(1)如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围；
(2)如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．
求证：；
(3)如图3，和均为等腰直角三角形，且，连接，，点D为边的中点，连接．请直接写出与的数量关系和位置关系．
【变式训练6-5】（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______；
（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：；
（3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系．
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1.3.4 垂直平分线的性质与判定六大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：利用垂直平分线的性质求线段长度
【经典例题1】如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，若，，则的长是（ ）
A．11 B．8 C．5 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
首先求出，然后根据线段垂直平分线的性质可得．
【详解】∵，
∴
∵是的垂直平分线
∴．
故选：C．
【变式训练1-1】如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
是的垂直平分线，
，
的周长，
，
，
，
的长为；
故选：C．
【变式训练1-2】如图，在中，边的垂直平分线交．于点，，且，，则的周长是（ ）
A．7.5 B．5 C．8 D．6
【答案】B
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题法关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：是边的垂直平分线，
，
的周长．
故选：B．
【变式训练1-3】如图，在中，，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，则的周长是（ ）
A． B．10 C．12 D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由是的垂直平分线，是的垂直平分线，得出，即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，
∵
∴的周长，
故选：C．
【变式训练1-4】如图，中，D是的中点，交于，则 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
先连接，过作于，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出，进而判定，即可得到，据此列出方程，求得的值，即可得到长．
【详解】解：连接，过作于，
∵是的中点，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
，
解得，
，
故答案为：10．
【变式训练1-5】如图，在中，，，作边的垂直平分线，交于点，交于点．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质；根据题意得出，进而根据角平分线的性质，即可求解．
【详解】解：，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
平分，
，，
，
故答案为：．
题型二：利用垂直平分线的性质求角度
【经典例题2】如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交，于点E，F．若点E，F分别在，的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键．由线段垂直平分线的性质可知，．再根据平角和三角形内角和定理计算即可得出答案．
【详解】解：∵点E，F分别在，的垂直平分线上，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【变式训练2-1】如图，，点O是，的垂直平分线，的交点，则的度数为（ ）
A．145° B．150° C．160° D．165°
【答案】C
【分析】本题考查垂直平分线性质、等腰三角形性质、以及三角形内角和定理，根据垂直平分线性质和等腰三角形性质，得到，，再利用三角形内角和定理进行求解，即可解题．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵、的垂直平分线交于点O，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故选C．
【变式训练2-2】如图，在中，，点D为中点，过点D作的垂线，交于点E，连接，作的平分线，与的延长线交于点F，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本考查中垂线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据题意，易得垂直平分，进而推出，角平分线，得到，三角形的内角和得到，进而得到，三角形内角和求出的度数即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵点D为中点，过点D作的垂线，交于点E，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴；
故选B．
【变式训练2-3】如图，在中，点为三边垂直平分线交点，是三角形角平分线的交点，连接，，，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，角平分线的定义；连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到 ，求出 ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵O是三边垂直平分线的交点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
∴，
故选：D．
【变式训练2-4】如图，在中，为直角，由图中的尺规作图痕迹得到的直线交于点D，连接．若，则的度数为 ．
【答案】/26度
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由题意可知，为线段的垂直平分线，得出，在中，为直角，，求出即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵在中，为直角，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练2-5】如图，线段的垂直平分线m，n相交于点O． 连接，若，则 °．
【答案】43
【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，再根据余角的性质得到即可．
【详解】连接并延长至，直线与m交于点，
∵线段的垂直平分线m，n相交于点O
∴，，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
题型三：利用垂直平分线的性质求最值
【经典例题3】如图，四边形中，，，在、上分别找一点M、N，当周长最小时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB= ，
∴∠HAA′=，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=，
．
故选：B．
【变式训练3-1】如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】A
【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M＝∠OPM＝50°，OP1＝OP2＝OP，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，
∵PP1关于OA对称，
∴∠P1OP＝2∠MOP，OP1＝OP，P1M＝PM，∠OP1M＝∠OPM＝50°
同理，∠P2OP＝2∠NOP，OP＝OP2，
∴∠P1OP2＝∠P1OP+∠P2OP＝2（∠MOP+∠NOP）＝2∠AOB，OP1＝OP2＝OP，
∴△P1OP2是等腰三角形．
∴∠OP2N＝∠OP1M＝50°，
∴∠P1OP2＝180°﹣2×50°＝80°，
∴∠AOB＝40°，
故选A．
【变式训练3-2】如图，P为内一定点，M，N分别是射线上的点，当周长最小时，，则 ．
【答案】50°
【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM，, OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】如图，作P关于，的对称点，连接．则当M，N是与的交点时，的周长最小．
∵P，关于对称，，
∴，．
同理，，，
∴．
∵，∴，
∴，∴．
故答案为：
【变式训练3-3】如图，四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的一点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ．
【答案】100°．
【分析】根据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝40°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．
【详解】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，
则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝40°，
∴∠DAB＝140°，
∴∠HAA′＝40°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝40°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°，
故答案为：100°．
【变式训练3-4】如图，已知∠BAC＝65°，D为∠BAC内部一点，过D作DB⊥AB于B，DC⊥AC于C，设点E、点F分别为AB、AC上的动点，当△DEF的周长最小时，∠EDF的度数为 ．
【答案】50°
【分析】先作点D关于AB和AC的对称点M、N，连接MN交AB和AC于点E、F，此时△DEF的周长最小，再根据四边形内角和与等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示：
延长DB和DC至M和N，使MB＝DB，NC＝DC，
连接MN交AB、AC于点E、F，
连接DE、DF，此时△DEF的周长最小．
∵DB⊥AB，DC⊥AC，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAC＝65°，
∴∠BDC＝360°﹣90°﹣90°﹣65°＝115°，
∴∠M+∠N＝180°﹣115°＝65°
根据对称性质可知：
DE＝ME，DF＝NF，
∴∠EDM＝∠M，∠FDN＝∠N，
∴∠EDM+∠FDN＝65°，
∴∠EDF＝∠BDC﹣（∠EDM+∠FDN）＝115°﹣65°＝50°．
故答案为50°．
【变式训练3-5】如图，，点、分别是边、上的定点，点、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为 .
【答案】/40度
【分析】本题考查轴对称最短问题、三角形的内角和定理．作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，
，，
，
，
，
故答案为：．
题型四：利用垂直平分线的性质和判定证明
【经典例题4】如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求证：
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：
（1）由中点，得到，由，得到，即可得证；
（2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证．
【详解】（1）证明：为的中点，
．
；
在和中，
；
（2）证明：
垂直平分，
．
【变式训练4-1】如图，与相交于点，，，．
求证：
(1)；
(2)垂直平分．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）证明，可得结论；
（2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【详解】（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【变式训练4-2】如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O．
(1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)点O在的垂直平分线上，理由见解析
(2)
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键．
（1）连接，根据垂直平分线的性质可得，则，根据垂直平分线的判定可证明结论
（2）证明，又由及四边形内角为即可得到的度数．
【详解】（1）点O在的垂直平分线上，理由如下：
连接，
∵边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O．
∴，
∴，
∴点O在的垂直平分线上；
（2）∵，
∴，
∵，
∴
【变式训练4-3】已知：E是的平分线上一点，，垂足分别为C、D．
(1)若，求；
(2)求证：垂直平分．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定、角平分线的性质：
（1）根据角平分线的性质，得，，通过证明，，结合等边对等角，即可作答．
（2）根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可作答．
【详解】（1）解：∵E是的平分线上一点，，
∴，
在和中
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴
（2）解：由(1)知，
∴又
∴O、E在的垂直平分线上
∴垂直平分
【变式训练4-4】如图，在四边形中，，为的中点，连接，，延长交的延长线于点．
(1)求证：点是的中点；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质及中点性质，再结合已知条件，利用全等三角形的判定定理得到，再由全等性质即可得证；
（2）由（1）中，结合中垂线的判定与性质即可得到，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
是的中点，
，
在与中，
，
，即点是的中点；
（2）解：，
，
又，，
是线段的垂直平分线，
，
，
．
【变式训练4-5】如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．
(1)求证：
(2)点在线段的垂直平分线上，，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)40
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
（1）根据三角形全等的判定证出，再根据全等三角形的性质即可得证；
（2）连接，先根据全等三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据和直角梯形的面积公式求解即可得．
【详解】（1）证明：为中点，
，
在和中，，
，
．
（2）解：如图，连接，
由（1）已证：，
，
点在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
，
∵在四边形中，，，，
∴四边形是直角梯形，
∴四边形的面积为．
题型五：垂直平分线性质和应用之多结论问题
【经典例题5】如图，，，，垂足分别为，，下列结论成立的是（ ）
①平分；②；③平分；④垂直平分．
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、垂直平分线定义，以及角平分线的性质和判定，由，，，可证明，再根据全等三角形的性质，即可解题．
【详解】解：，，
在和中，
有，，
，
，，，
平分，平分，
①②③正确，
，，
垂直平分，
④错误，
故选C．
【变式训练5-1】如图，中，的平分线交于D，过点D作，，垂足为点E、F，下面四个结论中：①；②垂直平分；③；④，正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质得到，根据垂直的定义、等腰三角形的性质判断①；根据线段垂直平分线的判定定理判断②；根据三角形的面积公式判断③，结合题意判断④．
【详解】解：∵的平分线交于D，，，
∴，
∴，又，
∴，①正确；
∵，
∴，又，
∴垂直平分，②正确；
，③正确；
由垂直平分，若，则，由题意，不一定垂直，故与不一定平行，④错误，
故选：A．
【变式训练5-2】如图，在中，平分交于点D，过点D作，垂足分别为E，F．下面四个结论：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【分析】①利用AAS证明△AFD≌△AED即可得出AF=AE；②由AF=AE，DF=DE，即可判定垂直平分；③利用DF=DE和三角形面积公式即可判定；④由AD不一定垂直BC即可判定该选项错误．
【详解】解：①在△ABC中，AD是的角平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，
∵在△AFD和△AED中，
∠FAD=∠EAD，∠AFD=∠AED，AD=AD，
∴△AFD≌△AED（AAS），
∴DF=DE，AF=AE，故①项正确；
②∵AF=AE，DF=DE，
∴A，D都在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF，故②项正确；
③∵DF=DE，
∴，故③正确；
④∵AD不一定垂直BC，
∴EF不一定平行BC，故④错误．
综上①②③正确，
故选A．
【变式训练5-3】如图，在△ABC中，，，BD平分∠ABC，，交AB于点E．关于下面两个结论，说法正确的是（ ）
结论①；结论②．
A．结论①②都正确 B．结论①②都错误
C．只有结论①正确 D．只有结论②正确
【答案】A
【分析】由三角形内角和定理得，根据ASA可证明得出，，从而得到BD是CE的垂直平分线，得DC=DE，又可得，从而再由三角形外角的性质可得结论．
【详解】解：如图，
∵在△ABC中，，，
∴
∵BD是∠ABC的平分线，
∴
又
∴
在和中，
∴
∴BC=BE，CO=EO
∴
∴
∵CO=EO，
∴BD是CE的垂直平分线，
∴DC=DE，
∴
∴
故①②都正确，
故选A
【变式训练5-4】如图，在中，，分别为，边上的高，，相交于点F，，连接，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，垂直的定义，三角形外角的性质，线段垂直平分线的意义，根据已知，选择好方法，证明判断即可．
【详解】解：如图，延长交于H，
∵，分别为，边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故①符合题意；
∵，
∴，
∴，
故②符合题意；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴的周长，
故③符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
故④不符合题意；
∴正确的有①②③．
故选：A．
【变式训练5-5】如图，在中，D为上一点，于点E，于点F，连接，点H是的中点，交于点G，连接．若平分，则下列结论： ； ； ； ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握判定方法是解题的关键；
根据角平分线的性质可对①进行判断；根据线段的垂直平分线的性质可对②进行判断；通过证明可对③进行判断；由，则，由于与的大小关系不能确定，则与的大小不能确定，则根据全等三角形的判定方法可对④进行判断；
【详解】于点E，于点F，平分，
故①正确，
点H是的中点，，
垂直平分，
，故②正确
平分，
，
，
，
，
，故③正确，
，
与的大小关系不能确定，
与的大小不能确定，
不能判断，故④错误，
综上所述：①②③正确；
故选：C．
题型六：垂直平分线性质和应用之探究问题
【经典例题6】（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 ；
（2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，求证：；
（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个角，角的两边分别交，于E、F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）（2）见解析（3），见解析
【分析】（1）根据判定，选择即可．根据，运用三角形三边关系定理计算即可．
（2）延长到点G使，再连接, 证明，运用三角形三边关系定理计算即可．
（3）延长到点M使，连接，证明，构造半角模型证明即可．
【详解】（1）∵边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
（2）如图，延长到点G使，连接
∵边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴直线是线段的垂直平分线，
连接，则，
在中，，
∴，
故．
（3）线段，，之间的数量关系是．证明如下：
如图，延长到点M使，连接
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练6-1】八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用与全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证与全等的判定方法是：__________；中线的取值范围是__________．
【阅读感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【理解与应用】如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．证明：．
【问题解决】如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由．
【答案】阅读理解：；；理解与应用：证明见解析；问题解决：，，理由见解析
【分析】阅读理解：由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
理解与应用：延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
问题解决：延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，，则，延长交于，根据 ，，可得，即有，则有．
【详解】阅读理解：解：延长至E，使，连接，
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
，
，
；
故答案为：；；
理解与应用：证明：延长至点，使，连接、，如图2所示：
同上可证：，
，
，，
∴是线段的垂直平分线，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
；
问题解决：解：，，理由如下：
延长至，使，连接，如图3所示：
由（1）得：，
，，
，
，即，
，
，
∵，，
∴，
在和中，
，
，
，，
．
延长交于，
，，
，
，
，
．
【变式训练6-2】八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
(1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是： ；中线的取值范围是
(2)【理解与应用】如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)【问题解决】如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)；证明见解析
(3)；理由见解析
【分析】（1）由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）延长至点，使，连接、，同（1）得，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（3）延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，则．
【详解】（1）解：延长至E，使，连接，
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
，
，
；
故答案为：；；
（2）解：，证明如下：
延长至点，使，连接、，如图2所示：
同（1）可证：，
，
，，
∴是线段的垂直平分线，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
；
（3）解：，理由如下：
延长至，使，连接，如图3所示：
同（1）得：，
，，
，
，即，
，
，
∵，
∴，
在和中，
，
，
，
．
【变式训练6-3】在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．
(1)如图1，射线，都在内部．
①若，，则 ；
②作点关于直线的对称点，在图1中找出与线段相等的线段，并证明．
(2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)①20；②，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）①先根据角的运算得出的度数，根据三角形内角和求出的度数；再根据直角三角形两锐角互余可得出的度数，作差可得结论；
②连接，可得出，再根据，，可得出，，所以；进而可得，再由全等三角形的性质可得结论；
（2）在延长线上取点，使．连接．由垂直平分线的性质可得，；设，，所以，由此表达，由，可得，所以，即；由此可得，所以，由此可得结论．
【详解】（1）解：①，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：20；
②，理由如下：
证明：如图1，连接，
，
∵点与点关于直线对称，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：，
证明：如图2，在延长线上取点，使，连接，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
．
【变式训练6-4】八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的线段，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解决．
(1)如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围；
(2)如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．
求证：；
(3)如图3，和均为等腰直角三角形，且，连接，，点D为边的中点，连接．请直接写出与的数量关系和位置关系．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）延长至，使，连接，由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（3）延长至，使，连接，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，，则．延长交于，证出，得出，即可．
【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1，
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
；
（2）证明：延长至点，使，连接、，如图2：
同（1）得：，
，
，，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
；
（3）解：，，理由如下：
延长至，使，连接，如图3，
同（1）得：，
，，
，
，
即，
，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
．
延长交于，
，
，
，
，
，
即，．
【变式训练6-5】（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______；
（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：；
（3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系．
【答案】（1），；（2）见解析；（3），
【分析】（1）延长至，使，连接，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可；
（2）延长至点，使，连接，利用“”证明，易得，可知为的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得，然后由三角形的三边关系可证明结论；
（3）延长于，使得，连接，延长交于，首先证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，可得，，进而可证明．
【详解】解：（1）如图1，延长至，使，连接，
∵为边上的中线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，根据三角形三边关系可得：，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）如图2中，延长至点，使，连接，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴；
（3）结论：，，
如图3，延长于，使得，连接，延长交于，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即．
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