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1.3.1 全等三角形的判定十一大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：用SSS证明三角形全等
【经典例题1】用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和，则这两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
根据尺规作图可得，，，再根据定理即可得．
【详解】解：由尺规作图可知，，，，
在和中，
，
∴
即这两个三角形全等的依据是，
故选：C．
【变式训练1-1】如图，垂直平分，垂足为E，连接，则图中全等的三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】B
【分析】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，垂直平分线的性质，注意：全等三角形的判定定理有．根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：垂直平分，
，
，
在和中，，
∴，
在和中，，
∴，
在和中，，
∴，
故有3对三角形全等，
故选：B．
【变式训练1-2】如图，中，，，直接使用“”可判定（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
根据现有条件无法直接利用判定，，，
故选：C．
【变式训练1-3】如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，，和全等吗？请说明理由．
【答案】全等，理由见解析．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定．先证明，然后利用证明即可．
【详解】解：全等．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∵，
∴．
【变式训练1-4】如图，．求证：．
【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
直接利用“”证明全等即可．
【详解】证明： 和中，
，
，
．
【变式训练1-5】如图，若点、、、在同一直线上，，，．.那么吗？请说明理由.
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，，根据全等三角形的判定定理证即可．
【详解】证明：，
，
，
在和中
，
．
【变式训练1-6】如图，已知在同一条直线上，，，．与交于点，
(1)求证；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由，可得，利用即可证明；
（）如图，由（）知，，则，得到，进而推导出，由三角形内角和定理可得，即可求解；
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：如图，
由（）知，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
题型二：用SAS证明三角形全等
【经典例题2】 如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连．
(1)求证：
(2)若，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点．
（1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】（1）证明：∵E为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练2-1】如图，已知 连接．
(1)求证： ；
(2)若 求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；
（1）根据题意由，可得，即可求证；
（2）由，可得，再由内角和为即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练2-2】如图：已知，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，
（1）根据证明三角形全等即可；
（2）由两三角形全等，可得，再由三角形的外角性质即可解答．
【详解】（1）证明：
又，
，
在和中，
；
（2）解：
，
又，
．
【变式训练2-3】已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
（1）由，两边加上，得到，利用即可得证．
（2）根据全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质和三角形内角和定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，则,
∵，
∴，
∴．
【变式训练2-4】如图，点分别在上，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形内角和定理，解题的关键是得到．
（1）利用即可证明；
（2）根据三角形内角和定理求出，然后利用，得，进而利用角的和差即可解决问题．
【详解】（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
．
题型三：用ASA或AAS证明三角形全等
【经典例题3】如图，已知，，将沿射线的方向平移至，使为的中点，连结，记与的交点为．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平移的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形内角和定理．利用角角边证明是解题的关键．
（1）利用角角边即可证明．
（2）利用三角形内角和定理即可求出．
【详解】（1）证明：由平移可知，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
在与中，
∵，，，
∴．
（2）解：平分， ，
∴，
∴．
【变式训练3-1】如图，已知点、、、在直线上，点、在直线的异侧，连接、、、、、，且，，．
(1)试说明：；
(2)试说明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质与判定，熟练掌握知识点、推理证明是解题的关键．
（1） 根据“两直线平行，内错角相等”，得出，再结合，，利用证明即可；
（2）由，得，推出，根据“两直线平行，内错角相等”，得出，推出，利用证明，得出，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式训练3-2】如图，，求证：．
【答案】详见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用即可证明．
【详解】证明：，
，即．
在和中，
，
∴．
【变式训练3-3】如图，在和中，点E在边上，，与交于点G．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据等式的性质得，再利用即可证明结论；
（2）由三角形内角和定理可得，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，最后三角形内角和以及角的和差即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式训练3-4】如图，在和中，点在同一直线上，，．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由可得，利用即可证明；
（），可得，即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵
∴．
【变式训练3-5】如图，在中，是边的中点，点在上，点在延长线上，连接，，且．
(1)求证：；
(2)若，，延长至点，当为多少时，．请补全图形并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)当时，
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行线的性质可得，，结合即可证明；
（2）由得出，，，再证明得出，即可得解．
【详解】（1）证明：是边的中点，
∴，
又∵，
∴，，
∴；
（2）解：当时，，
延长至点，连接，
由（1）得，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
题型四：添加条件使三角形全等
【经典例题4】如图，在和中，再添两个条件不能使和全等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
又∵，
∴，故A选项不符合题意；
B、 ∵，，，不能根据判定两三角形全等，故B选项符合题意；
C、∵，，
又，
∴，故C选项不符合题意；
D、 ∵，
∴，
又∵，，
∴，故D选项不符合题意；
故选：B．
【变式训练4-1】如图，点在同一条直线上，已知，，添加下列条件中的一个，能使的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定逐一判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
即，
、添加，不能判定，不合题意；
、添加，根据可以判定，符合题意；
、添加，不能判定，不合题意；
、添加，不能判定，不合题意；
故选：．
【变式训练4-2】在与中，已知，，分别补充下列条件中的一个条件：；；；，其中能判定的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可，熟练掌握全等三角形的判定方法，，，，是解题的关键．
【详解】添加，根据能推出，符合题意；
添加，根据能推出，符合题意；
添加，根据能推出，符合题意；
添加，根据，，不能推出，不符合题意；
综上，能判定的有，
故选：．
【变式训练4-3】如图，已知，要使，则可以添加下列哪一个条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形全等的判定，已知两边，若要证明，只需添加夹角相等，由此可求解．
【详解】A．∵，
若，则，
∵，
∴，
故A正确；
B．当时，
∵，
∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但不是夹角，
∴不能判断，
故B不正确；
C，当时，
∵，
∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但不是夹角，
∴不能判断，
故C不正确；
D．当与不可能相等，
∴不能判断，
故D不正确；
故选：A．
【变式训练4-4】如图，已知，，要使，则需要添加的条件是 ．（写一个即可）
【答案】或或（写一个即可）
【分析】本题考查全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．由，可得，再根据题干中的条件，可添加角相等或边相等即可．
【详解】解：添加，
，
，
又，，
，
添加，
，
，
又，，
，
添加，
，
，
又，，
，
故答案为：或或（写一个即可）．
【变式训练4-5】如图，与相交于点，，添加一个条件 ，使得．（填一个即可）
【答案】或或或（答案不唯一）
【分析】此题考查了添加条件判定三角形全等，首先根据图形，可知，又由已知，可添加或或或，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法及其应用．
【详解】解：∵，，
添加，
∴；
添加，
∴；
添加，
∴；
添加，
∴，，同理，
故答案为：或或或（答案不唯一）．
题型五：全等三角形方法的灵活运用
【经典例题5】如图，D是的边上一点．，交于点E，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)的长是3；
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，
（1）根据平行线得到角度关系，再根据角角边判定直接证明即可得到答案；
（2）根据三角形全等对应边相等直接求解即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∵，，
∴，
，
∴，即的长是3．
【变式训练5-1】如图，中，，D是延长线上一点，点E是的平分线上一点，过点E作于F，于G．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)1
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由角平分线的定义以及垂直的定义，利用即可证明；
（2）先利用证明，得到，继而得到，而，则，即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴．
又∵，，
∴．
在和中：
，，，
∴．
（2）解：∵平分且，，
∴．
∵
∴，
∵
∴
∴
即
在和中
，，
∴．
∴．
又∵，，
即，
又∵，
∴．
∴．
∴．
【变式训练5-2】如图，在中，在上取点，使，点在上，连接，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（）证明即可求证；
（）由得，进而得，即得，设，则，可得，得到，再根据三角形外角性质得，解方程求出即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及外角性质，一元一次方程的应用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式训练5-3】如图，在四边形中，，点，分别在，上，连接，，，，，
(1)试说明：；
(2)试说明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
（1）利用证明，得出即可；
（2）根据，得出，推出，利用证明，得出即可．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵由（1）得，
∴，
∴，即，
在和中，
，
，
∴．
【变式训练5-4】已知：如图，是的角平分线，点B、点D分别在上，连接．且．
(1)如图1，当时，求证：．
(2)如图2，当时，（1）问的结论是否成立并给予说明．
【答案】(1)见解析
(2)成立，见解析
【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形判定与性质，
（1）先证明，根据角平分线性质证明结论；
（2）过点C作于H，过点C作于G，证明，进而证明，证出结论即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴；
∴于B，于D，；
又∵是的角平分线，
∴；
（2）成立
过点C作于H，过点C作于G，
∴，
∵是的角平分线，于H，于G，
∴，
∵，，
∴，
∵在与中，
，
∴；
∴；
【变式训练5-5】如图，已知、相交于点，，于点，于点，．
(1)试说明；
(2)判断与的关系，并加以说明．
【答案】(1)见解析
(2)，，说明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、垂线的定义、垂直于同一条直线的两条直线平行，熟练运用全等三角形的判定与性质推理证明是解题的关键．
（1）根据，得，根据于点，于点，得出，根据，推出，利用“”证明即可；
（2）根据可得，根据“垂直于同一条直线的两条直线平行”，得出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵于点，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：，，说明如下，
∵由（1）得，
∴，
∵于点，于点，
∴．
题型六：利用全等三角形求角度或线段长度
【经典例题6】如图，在四边形中，，，和的平分线交于点P，点P在上，于点E，若四边形的面积为78，，则的长为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．18
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，平行线性质，通过证明，，得到，根据求出结果即可．
【详解】解：，，
，
于点E，
，
平分，平分，
，，
在与中，
，
，
同理，
，
，
，
，
故选：C．
【变式训练6-1】如图，平分，，的延长线交于点，如果，则的度数为 ．
【答案】/84度
【分析】本题考查了全等三角形的性质及判定，角平分线的性质，灵活运用全等三角形的性质及判定是解题的关键．
利用全等三角形的判定方法证出，再通过角的等量代换求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练6-2】和的位置如图所示，交于点F，，，，，则的度数为 °．
【答案】30
【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质．由三角形内角和定理可得，由可证，可得，由三角形的外角性质可求．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：30．
【变式训练6-3】如图，中，D是的中点，交于，则 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
先连接，过作于，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出，进而判定，即可得到，据此列出方程，求得的值，即可得到长．
【详解】解：连接，过作于，
∵是的中点，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
，
解得，
，
故答案为：10．
【变式训练6-4】如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接．若，则的度数为 ．
【答案】12
【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理．根据垂直平分线得到，从而得到，由角平分线得到，得到，根据三角形内角和定理，结合，得到，再根据角的和差求解即可得到答案．
【详解】解：∵的平分线与的垂直平分线交于点P，，
，，
，
，
∴，
∴，
故答案为：12．
【变式训练6-5】如图，D、E分别是外部的两点，连接，，有，，．连接、交于点F，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键；由题意可得，得；由，利用三角形内角和及全等的结论，即可求得其度数为，由互补即可求得结果．
【详解】解：，
，
即；
，
，
；
，，
，
则；
故答案为：．
【变式训练6-6】如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点使得，连．
(1)求证：；
(2)若，连接，平分，平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而可得，最后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答；
（2）先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，然后利用角平分线的定义可得，再利用（1）的结论即可解答．
【详解】（1）证明：为中点，
，
在和中，
，
，
，
；
（2），
，
∵
，
平分，
，
，
，
的度数为．
题型七：全等三角形的实际应用
【经典例题7】政府准备在如图所示的河流上方修建一座桥梁方便河流两岸的人们通行交流，现需测量此段河流的宽度（该段河流两岸是平行的），工作人员是这样做的：先在河流的一条岸边E点，选对岸正对的一棵树A为参照点（即），再沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处，从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走，测得的长为，求河流的宽度．
【答案】河流的宽度的长是
【分析】此题考查了三角形全等的应用．由可以证明，根据全等三角形对应边相等即可得到答案．
【详解】解：由题意可知A、C、E三点在同一条直线上，
，，米，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
答：河流的宽度的长是．
【变式训练7-1】小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得．
(1)求证：；
(2)若，，求池塘的长度．
【答案】(1)证明详见解析；
(2)44m．
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线的性质等．
（1）根据题意利用平行线的性质，全等三角形判定即可得到本题答案；
（2）根据题意利用第（1）问结论由全等三角形性质即可得到本题答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴池塘的长为．
【变式训练7-2】八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表：
课题 测量学校教学楼高度
测量工具 测角仪、皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角．
测量数据 ，，，
请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
先证明，再证明，得到，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
答：教学楼高度为．
【变式训练7-3】小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使，此时量得．根据这些数据，小明计算出了路灯的高度．你能计算出路灯高度吗？请写出计算过程并说明理由．
【答案】能，
【分析】本题主要考查一线三直角类型，全等三角形的判定和性质综合，直接依据，最后在两个直角三角形中去求角，即可证明．
【详解】能．
∵，；；
∴；
在和中，
∴；
∴；
∵，；
∴
答：路灯的高度是．
【变式训练7-4】如图所示，某湖岸边有A，B两棵大树，想在两棵大树间架一条电话线路，为了计算两棵大树能承受的压力，需测量出A，B之间的距离，但是A，B两点又不能直接到达．你能用已学过的知识和方法设计测量方案，求出A，B两点间的距离吗？并说明理由．
【答案】能，见详解
【分析】本题主要考查构造全等三角形并利用全等的性质求边长，首先利用“”构造三角形全等，先在地面上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使；连接并延长到点，使．连接并测量出它的长度，的长就是，两点之间的距离．
【详解】解：能．利用“”构造三角形全等的设计方案：先在地面上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使；连接并延长到点，使．连接并测量出它的长度，的长就是，两点之间的距离．
理由：如图所示，
在和中，
，
．
．
∴即为所求．
【变式训练7-5】廊坊某初中数学兴趣小组为测量路灯高度，设计了如下方案，请据此求出路灯高度.
主题 测量路灯高度
工具 测角仪、皮尺等
人员 组长：xxx；组员：xxx、xxx、xxx
示意图
方案 在路灯前选一点P，并测出，然后把竖直竹竿在的延长线上左右移动到某处，并测出
数据 ，，，，
评价
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形中的两个锐角互余，先由角的条件得到，再通过证明，即，结合边的关系，即可作答．
【详解】解：∵，，，
∴
在和中，
，
∴.
∵，，
∴，
即.
题型八：全等三角形的应用之动点问题
【经典例题8】如图，在中，为高，．点为上的一点，，连接，交于，若．
(1)猜想线段与的位置关系，并证明；
(2)有一动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）条件下，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，求的值．
【答案】(1)垂直，见解析
(2)存在，
(3)或
【分析】（1）由全等三角形的性质得，再由三角形内角和定理得，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得，再求出，，①当时，在线段上，然后由三角形面积公式得，即可求解；
②当时，在射线上，由三角形面积公式得，即可求解；
（3）①当点在线段延长线上时，证，当时，，此时，求解即可；
②当点在线段上时，证，当时，，此时，求解即可．
【详解】（1），理由如下：
在中，为高，
，
又，
，
，，
，
；
（2）存在的值，使得的面积为27，理由如下：
，，
，
，
，，
由（1）可知，，
，
分两种情况：
当时，在线段上，如图1，
，
解得：（舍去）；
当时，在射线上，如图2，
，
解得：，
此时与重合；
综上所述，存在的值，使得的面积为27，的值为；
（3）由（1）可知，，
，
当点在线段延长线上时，如图3，
，
，
，
当时，，
此时，，
解得：；
当点在线段上时，如图4，
，
，
，
当时，，
此时，，
解得：；
综上所述，当与全等时，的值为或．
【变式训练8-1】如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当__________时，的面积等于面积的一半；
(2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，求点的运动速度．
【答案】(1)或
(2)Q运动的速度为或或或．
【分析】（1）分点P运动到、的中点时，根据三角形中线的性质即可求解；
（2）由，分①，②，由全等三角形的性质即可依次求解．
此题主要考查三角形的面积与三角形全等的判定，解题的关键是会画出与已知三角形全等的三角形．
【详解】（1）如图，当P在上，的面积等于面积的一半，
∴，
∴，
当P在上时，如图，的面积等于面积的一半，
∴，
∴，
综上当t为或时，的面积等于面积的一半．
（2）解：设点Q的运动速度为，
①当点P在上，点Q在上，时，，
∴，解得，
②当点P在上，点Q在上，时，，
∴，解得，
③当点P在上，点Q在上，时，，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴，解得，
④当点P在上，点Q在上，时，，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴，解得；
∴Q运动的速度为或或或．
【变式训练8-2】在中，，分别过点A、B两点作过点C的直线m的垂线，垂足分别为点D、E．
(1)如图1，当，点A、B在直线m的同侧时，求证：；
(2)如图2，当，点A、B在直线m的异侧时，请问（1）中有关于线段、和三条线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确结论，并说明理由；
(3)如图3，当，，点A、B在直线m的同侧时，一动点M以每秒的速度从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，同时另一动点N以每秒的速度从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点M和点N作于P，于Q．设运动时间为t秒，当t为何值时，与全等？
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
(3)或14或16秒
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出是解本题的关键，还用到了分类讨论的思想．
（1）根据于D，于E，得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断，则，，于是；
（2）同（1）易证，则，，于是；
（3）只需根据点M和点N的不同位置进行分类讨论即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵于D，于E，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：结论：；
理由：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：①当时，点M在上，点N在上，如图，
∵，
∴，
解得：，不合题意；
②当时，点M在上，点N也在上，如图，
∵，
∴点M与点N重合，
∴，
解得：；
③当时，点M在上，点N在上，如图，
∵，
∴，
解得：；
④当时，点N停在点A处，点M在上，如图，
∵，
∴，
解得：；
综上所述：当或14或16秒时，与全等．
【变式训练8-3】如图1，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图1，当 时，；
(2)如图2，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度．
【答案】(1)或
(2)两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，点的运动速度为或或cm/s或
【分析】本题考查全等三角形与动点的综合，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．
（1）点运动的速度为，则，；根据，分类讨论：点在上时；点在上时，进行解答，即可；
（2）根据全等三角形的性质，分类讨论：当点在上，，，；当点在上，点在上，，，；当点在上，，，；当点在上，点在上，，，，求出对应的点的运动速度，即可．
【详解】（1）∵点运动的速度为，
点在上时，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：；
点在上时，过点作于点，
∴点的运动路程为，
∴，，
∵，
∴，
∵是直角三角形，
∴当点在的中点时，，，
∴，
解得：；
故答案为：或；
（2）∵在中，，，，，
∴当点在上，，，；
∴点的速度为：；
当点在上，点在上，，，，
∴点的速度为：；
当点在上，，，，
∴点运动的距离为：，
点运动的距离为：，
∴点的速度为：；
当点在上，点在上，，，
∴点的速度为：；
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，点的运动速度为或或cm/s或．
【变式训练8-4】如图，与相交于点，，．动点从点出发，沿方向以每秒5个单位的速度匀速运动，返回到终点．同时动点从点出发，沿方向以每秒3个单位的速度匀速运动到终点．设点的运动时间为．
(1)求证：；
(2)当点Q到点E时，求的长；
(3)用含t的代数式表示的长；
(4)连接，当点C在线段上时，直接写出t的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当时，；当时，
(4)或
【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由可证；
（2）当点到点时，点从点返回，根据题意列出方程即可求解；
（3）根据题意分两种情况表示即可；
（4）由全等三角形的性质可得，列出方程可求解．
【详解】（1）证明：，，，
；
（2）解：当点到点时，，
，
；
（3）解：当时，．
当时，；
（4）解：当线段经过点时，
∵，
，
在和中，
，
，
，，
或，
或．
【变式训练8-5】如图，在中，，，，.过点作射线，使，点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时点从点出发向点匀速运动，速度为，连接、，设动点的运动时间为（）（），解答下列问题：
(1)用含有的代数式表示和的长度
(2)当时，请说明；
(3)若的面积为时，直接写出的值.
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)4.5或7.5
【分析】（1）根据路程=速度×时间，即可得到答案；
（2）利用“SAS”可证得，可得，即可得证；
（3）先根据，求得，再用含有的代数式表示，由三角形的面积公式，得到关于的方程，求解即可．
【详解】（1）解：点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为，
，
点从点出发向点匀速运动，速度为，
；
（2）解：当时，，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：，
，
点从点出发向点匀速运动，速度为，
当时，，
当时，，
的面积为，
，
，
或，
解得：或7.5．
题型九：全等三角形的应用之探究线段之间的关系
【经典例题9】在平面直角坐标系中，已知点，，连接．
(1)如图①，动点在轴负半轴上，且交于点、交于点，求证：．
(2)如图，在（1）的条件下，连接，求证：．
(3)如图③，E为的中点，动点G在轴上，，，连接，作交轴于F，猜想，、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)当点在线段上时，．当点在线段的延长线上时，，
【分析】（1）欲证明已经有一边，一角相等，只要证明即可．
（2）如图②中，过分别作于点，作于点，由，推出．因为，，推出平分，由此即可证明．
（3）结论：当点在线段上时，．当点在线段的延长线上时，，分两种情况讨论，连接，证明，推出即可．
【详解】（1）证明：如图①中，
即，
，
．
在与中，
，
，
（2）证明：过分别作于点，作于点，如图②．
由（1）中结论，得，
在与中，
，
，
．
，，
平分，
，
，
．
（3）结论：当点在线段上时，．
当点在线段的延长线上时，，
当点在线段上时，理由如下：连接，如图：
，，为的中点，
，，，
，
即，
，
，
在与中，
，
，
，
，
．
当点在线段的延长线上时，理由如下：连接，如图：
，，为的中点，
，，，
，
即，
，
，
在与中，
，
，
，
，
．
【变式训练9-1】在平面直角坐标系中，，，点C为x轴负半轴上一动点，过点B作交y轴于点E．
(1)如图①，若点C的坐标为，请直接写出点E的坐标；
(2)如图②，若点C在x轴负半轴上运动，且，其他条件不变，连接，求证：平分；
(3)如图③，若点C在x轴负半轴上，且，猜想、和间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)，理由见解析；
【分析】（1）本题考查三角形全等的性质与判定，证明即可得到答案；
（2）本题考查角平分线判定，过点O作于M，于N，根据（1）中三角形全等得到面积相等，结合面积公式得到，即可得到证明；
（3）本题考查三角形全等的性质与判定，在上截取，根据角平分线定义得到的条件结合等角对等边直接求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵x轴轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点A，B的坐标分别为，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点C的坐标为，
∴，
∴点E的坐标为；
（2）解：如图②，过点O作于M，于N，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴点O一定在的角平分线上，
∴平分；
（3）解：，理由如下：
如图③所示，在上截取，连接，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式训练9-2】已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接．
(1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系．
(2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由．
【答案】(1)
(2)不成立．
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
（1）证明．再证明，可得，再进一步可得结论；
（2）证明．再证明，可得，再进一步可得结论；
【详解】（1）解：∵，
∴，
即．
在与中，，
∴，
∴，
∴．
（2）不成立．．
理由：∵，
∴．
在与中，
，
∴，
∴．
【变式训练9-3】已知为等腰三角形，，点为直线上一动点（点不与点、点重合）以为边作，且，连接，．
(1)如图，当点在边上时，试说明：
①
②；
(2)如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，探究线段、、之间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)，见解析
【分析】主要考查了全等三角形的判定和性质．
（1）①先判断出，进而用判断出，即可得出结论；②利用全等三角形的性质可得，等量代换即可求解．
同（1）的方法即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
，
在和中，
，
；
由知，，
，
；
（2），
，
，
在和中，
，
∴
，
【变式训练9-4】如图，点A在y轴正半轴上，点D在点A下方的y轴上，点B在x轴正半轴上，平分与x轴交于点C．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，若点A的坐标为，点E为上一点，且，求的长；
(3)如图3，若，过C作于点F，点H为线段上一动点，点G为线段上一动点，在运动过程中，始终满足，试判断之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，
（1）由“”可证，可得；
（2）由“”可证，可得，可证，由等腰三角形的性质可得，即可求解；
（3）由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解；
添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图2，在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图3，在的延长线截取，连接，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【变式训练9-5】如图，已知，点A，B在直线l两侧，点C，D在直线l上，点P为l上一动点，连接，，且．
(1)【问题解决】如图①，当点P在线段上时，若，，则 （填“＞”或“＝”或“＜”）；
(2)【问题探究】如图②，当点P在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图③，当点P在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)＝
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，
（1）可证明≌，从而得出结果；
（2）可证明≌从而得出，进而得出结论；
（3）证明≌，从而得出，从而得出．
【详解】（1）∵，，
∴≌，
∴，
故答案为：＝；
（2），理由如下：
∵，，
∴≌，
∴.
∵，
∴；
（3），理由如下：
∵，，，
∴，
由折叠得：，，
∵，，
∴，，
∴≌，
∴，
∴．
【变式训练9-6】在中，，，D是射线上一动点，连接，以为边作，在右侧，与过点A且垂直于的直线交于点E，连接．
(1)当都在的左侧时，如图①，线段之间的数量关系是_________；
(2)当在的两侧时，如图②，线段之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
(3)当都在AC的右侧时，如图③，线段之间有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．
【答案】(1)
(2)，详见解析
(3)
【分析】（1）过点C作，交AB延长线于点F，如图，先证明，得到，，然后证明解题即可；
（2）过点C作，交AB于点F，如图，先证明，得到，，然后证明解题即可；
（3）过点C作，交AB于点F，如图，先证明，得到，，然后证明解题即可；
【详解】（1）过点C作，交AB延长线于点F，如图．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
（2）图②的猜想：．
证明：过点C作，交AB于点F，如图②．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）过点C作，交AB于点F，如图
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
题型十：全等三角形的应用之定值问题
【经典例题10】在中，，，点D为上一动点．
(1)如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足，．求证：；
(2)在（1）的条件下，求证：；
(3)由（1）我们知道，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作于F，连接AF．那么的度数是否发生变化？请证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，不变化，理由见解析
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行推导．
（1）根据，得出，即可根据证明；
（2）易得，根据，得出，则，进而得出，则，即可求证；
（3）过点A作的垂线交于点E，易得，，即可得出，通过求证得出，则是等腰直角三角形，即可求出．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在和中
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，不变化，理由如下：
过点A作的垂线交于点E
∵
∴
∴
同理
∵
∴
同（1）理得
在和中
，
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∴．
【变式训练10-1】定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．
(1)互补四边形中，若， 度；
(2)如图1，在四边形中，平分，，、求证：四边形是互补四边形；
(3)如图2，互补四边形中，，，点E，F分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由；
【答案】(1)90
(2)证明见解析
(3)不变，12
【分析】
对于（1），设，则，，根据互补四边形的定义得，即可求出各角的度数；
对于（2），过点D作，，再证明，可得，然后结合可得答案；
对于（3），延长至G，使，连接，可证明，可得，，进而得出，接着证明，可得，再连接，可证明，即可得出，，然后求出，再说明的周长等于，即可得出答案．
【详解】（1）
解：设，则，，根据题意，得，
即，
解得，
则，
所以．
故答案为：90；
（2）
过点D作，交的延长线于点E，作，交于点F．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是互补四边形；
（3）
不变，
延长至G，使，连接，
∵，，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
连接，
∵，，
∴，
∴，．
在中，，，
∴，
∴的周长等于．
【变式训练10-2】定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．
(1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和；
①如图（2），当时，求证：；
②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由．
(2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值．
【答案】(1)①见解析；②相等，理由见解析
(2)变化，最大值为18
【分析】（1）①由正方形的性质可以得出，，，即可得出而得出结论；
②如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点，通过证明就有而得出结论；
（2）根据（1）可以得出，要使最大，就要使最大，当时最大，即可求出结论．
【详解】（1）解：①证明：正方形和正方形，
，，，
，
，
．
在和中，
，
．
，
．
②．
理由如下：
如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点．
．
四边形，四边形均为正方形，
，，
，．
．
在和中，
，
，
．
，
，，
；
（2）的值发生变化；的最大值为18；理由如下：
由（1）得，是面积的三倍，
要使最大，只需的面积最大，
当是直角三角形，即时，有最大值．
此时，．
【变式训练10-3】如图，点A，B分别在两互相垂直的直线上．
(1)如图1，在三角形尺子中，如果点C到直线的距离是5，求的长；
(2)如图2，若，点B在射线上运动时，分别以为边作与图1中相同形状的，连接交射线于点P．
①当时，，求的大小；
②当点B在射线上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②的长度不变，，理由见解析
【分析】（1）过点C作，交直线于点D，利用证明，根据全等三角形的性质求解即可；
（2）①根据等腰直角三角形的性质求出，根据角的和差及直角三角形的性质求出，根据平角的定义求解即可；
②结合等腰直角三角形的性质利用证明，根据全等三角形的性质利用证明，根据全等三角形的性质即可得解．
【详解】（1）过点C作，交直线于点D，
由题意可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
在△和中，
，
∴，
∴；
（2）①∵为等腰直角三角形，与形状相同，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②的长度不变，，理由如下：
过点E作于G，如下图所示，则，
由题意可知：都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式训练10-4】如图，中，，，点D，E分别是，上的两点，连接，，相交于点F，且．
(1)试说明：．
(2)改变点的位置，其它条件不变，与所成的的大小有无变化，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)与所成的的大小无变化，理由见解析
【分析】（1）由证得即可；
（2）先由三角形内角和定理得出，再由（1）得，则，然后由三角形的外角性质推出，进而求出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：与所成的的大小无变化，
理由如下：
，，
，
由（1）得：，
，
，
，
是定值，
与所成的的大小无变化．
【变式训练10-5】如图，在中，，，，点是边上的一动点（点不与端点A、重合），过点A作于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)在点移动的过程中，若，试求的长；
(3)试探索，在点移动的过程中，的大小是否保持不变？若保持不变，请求出的大小；若有变化，请说明变化情况．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)不变，为135°
【分析】（1）根据同角的余角相等证得，根据AAS证明△ACE≌△BCP即可；
（2）由得到，即可利用余角定义求出，证得 ，结合得到．再根据全等三角形的性质求得CP=CE，即可求出答案；
（3）的大小保持不变． 作于点，于点，证明 ，得到，由此推出平分，求出，即可求出=135°．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴；
（3）解：的大小保持不变．理由如下：
作于点，于点，如图．
∵，
∴，．
在和中，
∴，
∴．
又∵，，
∴平分，
∴，
∴，即的大小保持不变，为135°．
题型十一：全等三角形的应用之最值问题
【经典例题11】如图，，，．过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点．
(1)的度数为______
(2)连接，交于点，试说明垂直平分；
(3)点是直线上的动点，当的值最小时，证明点与点重合．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意可证明，得到，由，可得，然后根据直角三角形的性质即可解答；
（2）先说明，由平行的性质可得，然后再证明可得，再根据等腰三角形的性质可证明结论；
（3）先说明，则，此时的值最小，进而证明结论．
【详解】（1）解：，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，，，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中点，，
垂直平分；
（3）证明：如图，延长、交于点，
由（1）（2）知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，此时的值最小，
点是直线上的动点，
当的值最小时，点与点重合．
【变式训练11-1】如图一，在中，，，是边上的一点，连接，将沿翻折，点恰好落在边上的点处．
(1)求的度数．
(2)如图二，将绕点顺时针旋转，使点落在的延长线上点处，点落在的延长线上点处．连接．
①求的度数．
②点在上且点、关于对称，点是边上的动点，当的值最小时，请直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）根据三角形内角和，求出，根据折叠的性质，则，即可；
（2）根据旋转的性质，则，；根据等边对等角，三角形内角和，求出，根据，即可；连接交于点，此时取最小值；根据全等三角形的判定和性质，得，得出，根据，即可．
【详解】（1）∵在中，，，
∴，
∵沿翻折，点恰好落在边上的点处，
∴．
（2）∵是旋转而得，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
连接交于点，此时取最小值，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式训练11-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．点E，F分别在边AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称．
（1）连接AF，CE，判断四边形AFCE是何种特殊的四边形，并说明理由．
（2）若P是边DC上的一动点，当△PEF的周长最小时，求的值．
【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）
【分析】（1）连接AF、CE，AC交于EF于点O，由“AAS”证明△AEO≌△CFO，四边形AFCE是平行四边形，再结合AC⊥EF，即可求证结论；
（2）作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△PEF的周长最小，由AD∥BC，可得△DEP∽△CHP，由相似三角形性质可得比例式继而求得答案．
【详解】解：（1）四边形AFCE是菱形．
证明：如图，连接AF，CE，AC交EF于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，
∵点A与点C关于EF所在的直线对称，
∴AO＝CO，AC⊥EF，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF，且AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）如图，作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△PEF的周长最小，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∵，
∴，
∴AF＝CF＝CH＝，DE＝，
∵AD∥BC，
∴△DEP∽△CHP，
∴＝．
【变式训练11-3】如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，．
（1）如图①，，，．求证：；
（2）如图②，，当周长最小时，求的度数；
（3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）延长到点G,使，连接，首先证明，则有，，然后利用角度之间的关系得出，进而可证明，则，则结论可证；
（2）分别作点A关于和的对称点，，连接，交于点，交于点，根据轴对称的性质有，，当点、、、在同一条直线上时，即为周长的最小值，然后利用求解即可；
（3）旋转至的位置，首先证明，则有，最后利用求解即可．
【详解】（1）证明：如解图①，延长到点，使，连接，
在和中，
．
，，
，，
．
，
在和中，
．
，；
（2）解：如解图，分别作点A关于和的对称点，，连接，交于点，交于点．
由对称的性质可得，，
此时的周长为．
当点、、、在同一条直线上时，即为周长的最小值．
，
．
，，
；
（3）解：如解图，旋转至的位置，
，
，．
在和中，
．
．
．
【变式训练11-4】如图，、分别是、轴上两点，其中与互为相反数.点是第二象限内一点，且，点是直线上一动点；
（1）若，且是等腰三角形，求的度数；
（2）点在直线上运动过程中，当最短时，求的大小.
【答案】（1）30°或120°或75°；（2）45°
【分析】（1）根据相反数的定义与非负数的性质求出a，b的值，即可得出，根据已知条件求出，然后分情况讨论当是等腰三角形时，的度数；
（2）记与轴交于点，过作交于点，则有，当最短时有，根据等角替换求出，则可证明≌，推出，再根据，即可求出.
【详解】解：（1）由题意有：∵与互为相反数
+=0
∴
解得：，，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
①当时，
②当时，
③当时，；
（2）记与轴交于点，过作交于点
∴
当最短时有
∴
∵，
∴
在与中
∴≌
∴
∵
∴
【变式训练11-5】如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
（1）当M点在 （何处）时，AM＋CM的值最小；
（2）当AM+EM的值最小时，∠BCM= °.
（3）①求证：△AMB≌△ENB；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由.
【答案】（1）BD的中点；（2）15；（3）①证明见解析；
②当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，理由见解析.
【详解】试题分析：（1）根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；（2）②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+EM的值最小，根据三角形外角的性质可得∠BCM=15°；（3）①由题意得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45°，容易证出△AMB≌△ENB；
②根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长；
试题解析：（1）①当M点落在BD的中点时，A. M、C三点共线，AM+CM的值最小；
（2）如图：
连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+EM的值最小，
过E作EF⊥BC于点F，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，
∴BE=BC，∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°-60°=30°，
∴∠BCM=∠EBF=15°；
(3)①∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°，
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN，
即∠BMA=∠NBE，
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
②如图，
连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，
理由如下：连接MN，
由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长.
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1.3.1 全等三角形的判定十一大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：用SSS证明三角形全等
【经典例题1】用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和，则这两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】如图，垂直平分，垂足为E，连接，则图中全等的三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【变式训练1-2】如图，中，，，直接使用“”可判定（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，，和全等吗？请说明理由．
【变式训练1-4】如图，．求证：．
【变式训练1-5】如图，若点、、、在同一直线上，，，．.那么吗？请说明理由.
【变式训练1-6】如图，已知在同一条直线上，，，．与交于点，
(1)求证；
(2)若，，求的度数．
题型二：用SAS证明三角形全等
【经典例题2】 如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连．
(1)求证：
(2)若，，，求的度数．
【变式训练2-1】如图，已知 连接．
(1)求证： ；
(2)若 求的度数．
【变式训练2-2】如图：已知，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式训练2-3】已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【变式训练2-4】如图，点分别在上，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
题型三：用ASA或AAS证明三角形全等
【经典例题3】如图，已知，，将沿射线的方向平移至，使为的中点，连结，记与的交点为．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
【变式训练3-1】如图，已知点、、、在直线上，点、在直线的异侧，连接、、、、、，且，，．
(1)试说明：；
(2)试说明：．
【变式训练3-2】如图，，求证：．
【变式训练3-3】如图，在和中，点E在边上，，与交于点G．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
【变式训练3-4】如图，在和中，点在同一直线上，，．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
【变式训练3-5】如图，在中，是边的中点，点在上，点在延长线上，连接，，且．
(1)求证：；
(2)若，，延长至点，当为多少时，．请补全图形并说明理由．
题型四：添加条件使三角形全等
【经典例题4】如图，在和中，再添两个条件不能使和全等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练4-1】如图，点在同一条直线上，已知，，添加下列条件中的一个，能使的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】在与中，已知，，分别补充下列条件中的一个条件：；；；，其中能判定的有（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】如图，已知，要使，则可以添加下列哪一个条件（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-4】如图，已知，，要使，则需要添加的条件是 ．（写一个即可）
【变式训练4-5】如图，与相交于点，，添加一个条件 ，使得．（填一个即可）
题型五：全等三角形方法的灵活运用
【经典例题5】如图，D是的边上一点．，交于点E，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【变式训练5-1】如图，中，，D是延长线上一点，点E是的平分线上一点，过点E作于F，于G．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【变式训练5-2】如图，在中，在上取点，使，点在上，连接，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式训练5-3】如图，在四边形中，，点，分别在，上，连接，，，，，
(1)试说明：；
(2)试说明：．
【变式训练5-4】已知：如图，是的角平分线，点B、点D分别在上，连接．且．
(1)如图1，当时，求证：．
(2)如图2，当时，（1）问的结论是否成立并给予说明．
【变式训练5-5】如图，已知、相交于点，，于点，于点，．
(1)试说明；
(2)判断与的关系，并加以说明．
题型六：利用全等三角形求角度或线段长度
【经典例题6】如图，在四边形中，，，和的平分线交于点P，点P在上，于点E，若四边形的面积为78，，则的长为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．18
【变式训练6-1】如图，平分，，的延长线交于点，如果，则的度数为 ．
【变式训练6-2】和的位置如图所示，交于点F，，，，，则的度数为 °．
【变式训练6-3】如图，中，D是的中点，交于，则 ．
【变式训练6-4】如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接．若，则的度数为 ．
【变式训练6-5】如图，D、E分别是外部的两点，连接，，有，，．连接、交于点F，则的度数为 ．
【变式训练6-6】如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点使得，连．
(1)求证：；
(2)若，连接，平分，平分，求的度数．
题型七：全等三角形的实际应用
【经典例题7】政府准备在如图所示的河流上方修建一座桥梁方便河流两岸的人们通行交流，现需测量此段河流的宽度（该段河流两岸是平行的），工作人员是这样做的：先在河流的一条岸边E点，选对岸正对的一棵树A为参照点（即），再沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处，从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走，测得的长为，求河流的宽度．
【变式训练7-1】小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得．
(1)求证：；
(2)若，，求池塘的长度．
【变式训练7-2】八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表：
课题 测量学校教学楼高度
测量工具 测角仪、皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角．
测量数据 ，，，
请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值．
【变式训练7-3】小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使，此时量得．根据这些数据，小明计算出了路灯的高度．你能计算出路灯高度吗？请写出计算过程并说明理由．
【变式训练7-4】如图所示，某湖岸边有A，B两棵大树，想在两棵大树间架一条电话线路，为了计算两棵大树能承受的压力，需测量出A，B之间的距离，但是A，B两点又不能直接到达．你能用已学过的知识和方法设计测量方案，求出A，B两点间的距离吗？并说明理由．
【变式训练7-5】廊坊某初中数学兴趣小组为测量路灯高度，设计了如下方案，请据此求出路灯高度.
主题 测量路灯高度
工具 测角仪、皮尺等
人员 组长：xxx；组员：xxx、xxx、xxx
示意图
方案 在路灯前选一点P，并测出，然后把竖直竹竿在的延长线上左右移动到某处，并测出
数据 ，，，，
评价
题型八：全等三角形的应用之动点问题
【经典例题8】如图，在中，为高，．点为上的一点，，连接，交于，若．
(1)猜想线段与的位置关系，并证明；
(2)有一动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）条件下，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，求的值．
【变式训练8-1】如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当__________时，的面积等于面积的一半；
(2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，求点的运动速度．
【变式训练8-2】在中，，分别过点A、B两点作过点C的直线m的垂线，垂足分别为点D、E．
(1)如图1，当，点A、B在直线m的同侧时，求证：；
(2)如图2，当，点A、B在直线m的异侧时，请问（1）中有关于线段、和三条线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确结论，并说明理由；
(3)如图3，当，，点A、B在直线m的同侧时，一动点M以每秒的速度从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，同时另一动点N以每秒的速度从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点M和点N作于P，于Q．设运动时间为t秒，当t为何值时，与全等？
【变式训练8-3】如图1，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图1，当 时，；
(2)如图2，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度．
【变式训练8-4】如图，与相交于点，，．动点从点出发，沿方向以每秒5个单位的速度匀速运动，返回到终点．同时动点从点出发，沿方向以每秒3个单位的速度匀速运动到终点．设点的运动时间为．
(1)求证：；
(2)当点Q到点E时，求的长；
(3)用含t的代数式表示的长；
(4)连接，当点C在线段上时，直接写出t的值．
【变式训练8-5】如图，在中，，，，.过点作射线，使，点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时点从点出发向点匀速运动，速度为，连接、，设动点的运动时间为（）（），解答下列问题：
(1)用含有的代数式表示和的长度
(2)当时，请说明；
(3)若的面积为时，直接写出的值.
题型九：全等三角形的应用之探究线段之间的关系
【经典例题9】在平面直角坐标系中，已知点，，连接．
(1)如图①，动点在轴负半轴上，且交于点、交于点，求证：．
(2)如图，在（1）的条件下，连接，求证：．
(3)如图③，E为的中点，动点G在轴上，，，连接，作交轴于F，猜想，、之间的数量关系，并说明理由．
【变式训练9-1】在平面直角坐标系中，，，点C为x轴负半轴上一动点，过点B作交y轴于点E．
(1)如图①，若点C的坐标为，请直接写出点E的坐标；
(2)如图②，若点C在x轴负半轴上运动，且，其他条件不变，连接，求证：平分；
(3)如图③，若点C在x轴负半轴上，且，猜想、和间的数量关系，并说明理由．
【变式训练9-2】已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接．
(1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系．
(2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由．
【变式训练9-3】已知为等腰三角形，，点为直线上一动点（点不与点、点重合）以为边作，且，连接，．
(1)如图，当点在边上时，试说明：
①
②；
(2)如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，探究线段、、之间存在的数量关系，并说明理由．
【变式训练9-4】如图，点A在y轴正半轴上，点D在点A下方的y轴上，点B在x轴正半轴上，平分与x轴交于点C．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，若点A的坐标为，点E为上一点，且，求的长；
(3)如图3，若，过C作于点F，点H为线段上一动点，点G为线段上一动点，在运动过程中，始终满足，试判断之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
【变式训练9-5】如图，已知，点A，B在直线l两侧，点C，D在直线l上，点P为l上一动点，连接，，且．
(1)【问题解决】如图①，当点P在线段上时，若，，则 （填“＞”或“＝”或“＜”）；
(2)【问题探究】如图②，当点P在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图③，当点P在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【变式训练9-6】在中，，，D是射线上一动点，连接，以为边作，在右侧，与过点A且垂直于的直线交于点E，连接．
(1)当都在的左侧时，如图①，线段之间的数量关系是_________；
(2)当在的两侧时，如图②，线段之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
(3)当都在AC的右侧时，如图③，线段之间有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．
题型十：全等三角形的应用之定值问题
【经典例题10】在中，，，点D为上一动点．
(1)如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足，．求证：；
(2)在（1）的条件下，求证：；
(3)由（1）我们知道，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作于F，连接AF．那么的度数是否发生变化？请证明你的结论．
【变式训练10-1】定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．
(1)互补四边形中，若， 度；
(2)如图1，在四边形中，平分，，、求证：四边形是互补四边形；
(3)如图2，互补四边形中，，，点E，F分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由；
【变式训练10-2】定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．
(1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和；
①如图（2），当时，求证：；
②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由．
(2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值．
【变式训练10-3】如图，点A，B分别在两互相垂直的直线上．
(1)如图1，在三角形尺子中，如果点C到直线的距离是5，求的长；
(2)如图2，若，点B在射线上运动时，分别以为边作与图1中相同形状的，连接交射线于点P．
①当时，，求的大小；
②当点B在射线上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．
【变式训练10-4】如图，中，，，点D，E分别是，上的两点，连接，，相交于点F，且．
(1)试说明：．
(2)改变点的位置，其它条件不变，与所成的的大小有无变化，请说明理由．
【变式训练10-5】如图，在中，，，，点是边上的一动点（点不与端点A、重合），过点A作于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)在点移动的过程中，若，试求的长；
(3)试探索，在点移动的过程中，的大小是否保持不变？若保持不变，请求出的大小；若有变化，请说明变化情况．
题型十一：全等三角形的应用之最值问题
【经典例题11】如图，，，．过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点．
(1)的度数为______
(2)连接，交于点，试说明垂直平分；
(3)点是直线上的动点，当的值最小时，证明点与点重合．
【变式训练11-1】如图一，在中，，，是边上的一点，连接，将沿翻折，点恰好落在边上的点处．
(1)求的度数．
(2)如图二，将绕点顺时针旋转，使点落在的延长线上点处，点落在的延长线上点处．连接．
①求的度数．
②点在上且点、关于对称，点是边上的动点，当的值最小时，请直接写出的度数．
【变式训练11-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．点E，F分别在边AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称．
（1）连接AF，CE，判断四边形AFCE是何种特殊的四边形，并说明理由．
（2）若P是边DC上的一动点，当△PEF的周长最小时，求的值．
【变式训练11-3】如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，．
（1）如图①，，，．求证：；
（2）如图②，，当周长最小时，求的度数；
（3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度．
【变式训练11-4】如图，、分别是、轴上两点，其中与互为相反数.点是第二象限内一点，且，点是直线上一动点；
（1）若，且是等腰三角形，求的度数；
（2）点在直线上运动过程中，当最短时，求的大小.
【变式训练11-5】如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
（1）当M点在 （何处）时，AM＋CM的值最小；
（2）当AM+EM的值最小时，∠BCM= °.
（3）①求证：△AMB≌△ENB；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由.
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