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1.3.2 全等三角形模型九大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：全等三角形九大模型之“平移”模型
【经典例题1】如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．若，求的度数．
【变式训练1-1】如图，点是线段的中点，，，求证：．
【变式训练1-2】如图，点，在线段上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【变式训练1-3】如图，点，，，在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【变式训练1-4】如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为．
(1)若为的中点，求证：；
(2)若平分，求的度数．
题型二：全等三角形九大模型之“轴对称”模型
【经典例题2】如图：已知中，，中，，连接并延长交于．试说明的理由．
【变式训练2-1】如图，点，在上，，，．试说明．
【变式训练2-2】如图，在中，，在边上顺次取点，，使．作，，分别与，的延长线交于点，．求证：．
【变式训练2-3】如图所示，已知．
(1)求证：；
(2)若，请求出的长度．
【变式训练2-4】如图，已知点在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【变式训练2-5】如图，和相交于点，，，求证：．
题型三：全等三角形九大模型之“旋转”模型
【经典例题3】如图，已知和中，，，，，，线段分别交，于点，．
（1）请说明的理由；
（2）可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换；
（3）求的度数．
【变式训练3-1】【基本模型】
（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【变式训练3-2】如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式训练3-3】如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的一个是 （请写序号），并给出证明过程．
【变式训练3-4】如图，，，．
（1）求证：；
（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；
（3）若，求的度数．
【变式训练3-5】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC，边CD上的两点．
（1）若∠ABC＝∠ADC，∠BAE＝30°，AD＝3，求AE的长；
（2）若∠EAF＝∠BAD，求证：BE+DF＝EF．
题型四：全等三角形九大模型之“三垂直”模型
【经典例题4】如图，为等腰直角三角形，，．
(1)求证：；
(2)求证：
【变式训练4-1】如图， 在中， 点在的延长线上，且 过点 作 与的垂线交于点．
(1)求证：
(2)若 求的长．
【变式训练4-2】中，，过点作，且，过点作分别交于点．若，求的长．
【变式训练4-3】已知：如图，在中，，过点作，垂足为．在射线上截取，过点作，交的延长线于点．求证：．
【变式训练4-4】如图，在中，，延长至点，使，过点作，使，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【变式训练4-5】如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且．
(1)如图1，过F点作交于G点，求证：；
(2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点；
(3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ．
【变式训练4-6】如图，中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，垂足为D，E，
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
题型五：全等三角形九大模型之“角平分线”模型
【经典例题5】如图，是的平分线，，点在上，，，，分别是垂足，求证：．
【变式训练5-1】如图，在中，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为M，N．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【变式训练5-2】如图，正方形的对角线相交于点．是线段上的点（不与、重合），过点作，交于点．
(1)求证：；
(2)若平分，求的长．
【变式训练5-3】已知，平分；
(1)如图1中，若点B,D分别在上，，求证：；
(2)在图2中，若，，求（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明，若不成立，则说明理由．
【变式训练5-4】如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上．
(1)求证：是的垂直平分线．
(2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【变式训练5-5】如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N．
(1)求证：；
(2)试猜想与有何特殊关系，并证明；
(3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的有______（请写序号，少选、错选均不得分）．
题型六：全等三角形九大模型之“一线三等角”模型
【经典例题6】已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现．
(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）
【变式训练6-1】（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由．
【变式训练6-2】如图，已知：在中，，，直线经过点，，．
（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：；
（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________．
【变式训练6-3】在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N．
（1）如图1，当直线在外时，证明：．
（2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【变式训练6-4】问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．
问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．
问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．
【变式训练6-5】某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．
(1)问题发现
___；___；___；___；
(2)类比探究
求证：．
(3)拓展延伸
组员小明想，如果三个角不是直角，那么（2）中的结论是否还成立呢？如图2若将题中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
题型七：全等三角形九大模型之“倍长中线”模型
【经典例题7】如图，，平分，点为中点，求证：．
【变式训练7-1】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是________．
A． B． C． D．
(2)求得的取值范围是________．
A． B． C． D．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
(3)如图2，在四边形中，，的角平分线交于，连接，且平分，猜想①的度数；②、、的数量关系；说明理由．
【变式训练7-2】八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答：
(1)由已知和作图能得到的理由是______；
A． B． C． D．
(2)求得的取值范围是______；
A． B． C． D．
(3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．
如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分．
【变式训练7-3】【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围．
经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使．请根据小明的方法思考：
（1）请证明
（2）请直接写出的取值范围________________________；
【问题解决】
请利用上述方法（倍长中线）解决问题．
（3）如图2，已知，，，P为的中点，若A，C，D共线，求证：平分；
【变式训练7-4】如图1，在中，，点D在的延长线上，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，若点F为的中点，的延长线交于点G，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，求的面积．
【变式训练7-5】数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题．
(1)【问题初探】如图1：在中，，，为边上的中线，则的取值范围为__________．
(2)【类比分析】如图2：在中，，，是的中线，于点C，且．求的长度．
(3)【拓展延伸】如图3：在中，于点F，在右侧作于点A，且，在左侧作于点A，且，连接DE，延长交于点O．求证：点O为中点．
【变式训练7-6】倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线．
(1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围；
(2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：．
题型八：全等三角形九大模型之“截长补短”模型
【经典例题8】如图，交于，交于平分平分，直线经过点并与分别交于点．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出三条线段的数量关系．
【变式训练8-1】如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．
【变式训练8-2】已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
【变式训练8-3】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．
（1）求证：AD为∠BDC的平分线；
（2）若∠DAE=∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______．
【变式训练8-4】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD．
【变式训练8-5】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
【变式训练8-6】已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
题型九：全等三角形九大模型之“手拉手”模型
【经典例题9】如图，CA=CB, CD=CE，∠ACB=∠DCE=α, AD、BE相交于点H
（1）求证：AD=BE.
（2）连接CH, 求证：CH平分∠AHE.
（3）求∠AHE的度数（用含α的式子表示）.
【变式训练9-1】已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE,且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=α，直线AE与BD交于点F.
（1）如图1所示，
①求证AE= BD
②求∠AFB (用含α的代数式表示)
（2）将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转某个角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上)，得到如图2所示的图形，若∠AFB= 150°，请直接写出此时对应的α的大小(不用证明)
【变式训练9-2】已知，如图，等腰，等腰, ，，，，交、分别于点M、F
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
【变式训练9-3】将正方形ABCD和正方形BEFG如图（一）所示放置，已知AB＝5，BE＝6，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转一定的角度α（0°≤α≤360°）到图（二）所示：连接AE，CG，
（1）求线段AE与CG的关系，并给出证明
（2）当旋转至某一个角度时，点C，E，G在同一条直线上，请画出示意图形，并求出此时AE的长
【变式训练9-4】如图1，若点是线段上的动点（不与，重合），分别以、为边向线段的同一侧作等边和等边.
（1）图1中，连接、，相交于点，设，那么 ；
（2）如图2，若点固定，将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于），此时的大小是否发生变化？请说明理由.
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1.3.2 全等三角形模型九大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：全等三角形九大模型之“平移”模型
【经典例题1】如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．若，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确利用全等三角形的判定定理进行解答是解题的关键．首先得出，再利用证明，即可得出答案．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【变式训练1-1】如图，点是线段的中点，，，求证：．
【答案】详见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定等知识点，根据线段中点的定义得到，再根据全等三角形的判定定理即可得到结论，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【详解】∵点B是线段的中点，
∴，
在和中，
∴．
【变式训练1-2】如图，点，在线段上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形的内角和定理的应用；
（1）首先根据可得，再根据，可得出，即可判定；
（2）首先根据（1）中两三角形全等，可得，在中根据三角形内角和定理即可求出．
【详解】（1）证明： ，
，
即，
在和中，
，
∴．
（2），，，，
，
．
【变式训练1-3】如图，点，，，在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，关键是全等三角形判定定理的应用．
（1）先由平行线的性质得到，再利用即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到，则由同位角相等，两直线平行即可得到．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
．
【变式训练1-4】如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为．
(1)若为的中点，求证：；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查几何变换，平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握和理解这些性质进行推理是解题的关键．
（1）根据平移性质得到，，从而得到，再根据为的中点，得到，从而证明结论；
（2）根据平分，得到，从而证明．再根据三角形内角和定理以及，即可求解；
【详解】（1）解：由沿射线的方向平移所得，
，，
，
为的中点，
，
．
在和中
，
；
（2）平分，
，
又，
．
，，
．
题型二：全等三角形九大模型之“轴对称”模型
【经典例题2】如图：已知中，，中，，连接并延长交于．试说明的理由．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定与性质，熟练掌握垂直平分线的判定条件是解题关键．根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，可得点、在线段的垂直平分线上，易得垂直平分线段，即可证明结论．
【详解】证明：∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分线段，
∵延长线交于，
∴．
【变式训练2-1】如图，点，在上，，，．试说明．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据，得出，再结合，，即可证明，进行作答即可．
【详解】解：∵，
∴，即．
在和中，
，
∴．
【变式训练2-2】如图，在中，，在边上顺次取点，，使．作，，分别与，的延长线交于点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据推出，根据，，得出，结合，利用证明，即可得出，熟练掌握利用证明三角形全等是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【变式训练2-3】如图所示，已知．
(1)求证：；
(2)若，请求出的长度．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）先证明，然后根据即可证明；
（2）由全等三角形的性质得，然后根据等式的性质即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）由（1）得，则．
由题有．
【变式训练2-4】如图，已知点在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定：
（1）先由平行线的性质得到，再利用即可证明；
（2）利用全等三角形的性质得到，再根据线段的和差关系求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴．
【变式训练2-5】如图，和相交于点，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是解题的关键．
根据题意运用“边角边”证明，再根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】证明：在和中，
．
．
题型三：全等三角形九大模型之“旋转”模型
【经典例题3】如图，已知和中，，，，，，线段分别交，于点，．
（1）请说明的理由；
（2）可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换；
（3）求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）通过观察可知绕点顺时针旋转，可以得到；（3）
【分析】（1）先利用已知条件∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，利用SAS可证△ABC≌△AEF，那么就有∠C=∠F，∠BAC=∠EAF，那么∠BAC-∠PAF=∠EAF-∠PAF，即有∠BAE=∠CAF=25°；
（2）通过观察可知△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；
（3）由（1）知∠C=∠F=57°，∠BAE=∠CAF=25°，而∠AMB是△ACM的外角，根据三角形外角的性质可求∠AMB．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）通过观察可知绕点顺时针旋转，可以得到；
（3）由（1）知，，
∴．
【变式训练3-1】【基本模型】
（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形．
（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解；
（2）结论：，证明方法同法（1）．
【详解】解：（1）结论：．
理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则：，，，
∴，即：三点共线，
，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）结论：．
理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则：，
同法（1）可得：，
，
又，
．
【变式训练3-2】如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质知识．
（1）根据“”证明，再利用全等三角形的性质求解；
（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【详解】（1）证明：，
，
即．
在和中
，
，
；
（2）解：，
．
，
，
，
．
【变式训练3-3】如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的一个是 （请写序号），并给出证明过程．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)②
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定与性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题．
（1）欲证明，只要证明；
（2）由，推出，由可得；
（3）结论：②；作于于J．利用角平分线的判定定理证明即可．
【详解】（1）证明：∵
∴
即
在和中，
∴
∴．
（2）证明：∵
∴
∵
又，
，
∴，
∴
（3）解：结论：②
理由：作于于J．
∵
∴
∴ ，
∴，
∵作于K，于J，
∴
不妨设①成立，则，则显然不可能，故①错误．
故答案为：②．
【变式训练3-4】如图，，，．
（1）求证：；
（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）见详解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3）
【分析】（1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可；
（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可；
（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA
【详解】（1）∵∠CAB=∠EAD
∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，
∴ ∠CAE=∠BAD，
∵AB=AC，AE=AD
在△AEC和△ADB中
∴ △AEC≌△ADB（SAS）
（2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下：
将直线CE与AB的交点记为点O，
由（1）可知△AEC≌△ADB，
∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD，
∵∠BOF=∠AOC，∠=90°，
∴ ∠BFO=∠CAB=∠=90°，
∴ CE⊥BD．
（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD
由（1）知△AEC≌△ADB，
∴两个三角形面积相等
故AM·CE=AN·BD
∴AM=AN
∴AF平分∠DFC
由（2）可知∠BFC=∠BAC=
∴∠DFC=180°-
∴∠CFA=∠DFC=
【变式训练3-5】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC，边CD上的两点．
（1）若∠ABC＝∠ADC，∠BAE＝30°，AD＝3，求AE的长；
（2）若∠EAF＝∠BAD，求证：BE+DF＝EF．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据已知条件得到∠ABC=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）延长CB到G，使BG=DF，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG=AF，∠GAB=∠FAD，证明△AEG≌△AEF，根据全等三角形的性质证明．
【详解】（1）解：∵AB＝AD，AD＝3，
∴AB＝3，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵∠BAE＝30°，
∴AE=AB＝；
（2）证明：延长CB到G，使BG＝DF，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，
∴∠ADC＝∠ABG，
在△ABG和△ADF中，，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠FAD+∠BAE＝∠GAB+∠BAE＝∠BAD，
∴∠GAE＝∠FAE，
在△AEG和△AEF中，，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EF＝GE，
∴EF＝BE+BG＝BE+DF．
题型四：全等三角形九大模型之“三垂直”模型
【经典例题4】如图，为等腰直角三角形，，．
(1)求证：；
(2)求证：
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可．
（2）利用（1）中的全等及互余关系证明直角即可．
【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式训练4-1】如图， 在中， 点在的延长线上，且 过点 作 与的垂线交于点．
(1)求证：
(2)若 求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，
（1）根据等角的余角相等，证明，再根据即可证明；
（2）根据全等三角形的性质即可得出，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
理由：由（）证得，，
，，
，
．
，
．
【变式训练4-2】中，，过点作，且，过点作分别交于点．若，求的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，，进而证明，得到，则．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【变式训练4-3】已知：如图，在中，，过点作，垂足为．在射线上截取，过点作，交的延长线于点．求证：．
【答案】见详解
【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题意，先得出，再用两角夹边判定即可．
【详解】证明：
在和中
．
【变式训练4-4】如图，在中，，延长至点，使，过点作，使，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，
（1）首先根据题意得到，然后利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【变式训练4-5】如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且．
(1)如图1，过F点作交于G点，求证：；
(2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点；
(3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定以及性质.
（1）易证，即可证明，即可解题；
（2）过点作交于点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，根据可证，根据，，即可解题；
（3）过作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：过点作交于点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为中点；
（3）解：过作的延长线交于点，如图，
，，，
，
由（1）（2）知：，，
，，
，
，
，
．
故答案为．
【变式训练4-6】如图，中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，垂足为D，E，
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．
（1）首先证明，然后再根据定理证明；
（2）根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案．
【详解】（1）证明 ，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
（2）解：，
，，
．
题型五：全等三角形九大模型之“角平分线”模型
【经典例题5】如图，是的平分线，，点在上，，，，分别是垂足，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，再证明，得到．进而得到．进一步证明，即可证明．
【详解】解：是的平分线，
，
在利中，
，
．
．
．
，，
∴，
又∵，
∴，
．
【变式训练5-1】如图，在中，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为M，N．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)的度数为；
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义和三角形内角和定理．
（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可解决问题；
（2）连接，证明，即可解决问题．
【详解】（1）解：在中，，，
，
、分别是、的平分线，
，，
，
，
∴的度数为；
（2）证明：如图，连接，
是角平分线交点，
也是角平分线，
，，
在中，，，
，
，
，
，，
，
，
．
【变式训练5-2】如图，正方形的对角线相交于点．是线段上的点（不与、重合），过点作，交于点．
(1)求证：；
(2)若平分，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判断和性质和角平分线定理，
（1）证明，即可得到；
（2）过点E作，垂足为P，根据角平分线定理得到，即可求得，在根据是等腰直角三角形即可求出的长．
【详解】（1）解：∵正方形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：过点E作，垂足为P，如下图所示，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
【变式训练5-3】已知，平分；
(1)如图1中，若点B,D分别在上，，求证：；
(2)在图2中，若，，求（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明，若不成立，则说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．全等三角形的对应角相等，对应边相等．对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边．
（1）由角平分线的性质可得，即可证明，可得，再根据，即可解题；
（2）过C作于E，于F，根据平分，可得，证明，即可证明，可得，再根据（1）中证明，即可解题．
【详解】（1）证明： ∵，
∴，
又∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：成立，过C作于E，于F，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴．
【变式训练5-4】如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上．
(1)求证：是的垂直平分线．
(2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由等边三角形的性质得出，结合，即可得出是的垂直平分线进行作答．
（2）先由等边三角形的性质得出，结合角平分线的性质，得出，证明，再证明，结合边的等量代换以及边的运算，即可作答．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
在的垂直平分线上，
，
∴在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线．
（2）证明：
过作，如图：
是等边三角形，
，，
．
．
，．
，平分，
，
，
．
，，
．
．
又，
，
【变式训练5-5】如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N．
(1)求证：；
(2)试猜想与有何特殊关系，并证明；
(3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的有______（请写序号，少选、错选均不得分）．
【答案】(1)见解析
(2)且，理由见解析
(3)②
【分析】本题考查了常见的全等三角形模型――“手拉手模型”，熟记模型的构成条件、推理过程及结论是解题关键．
（1）推出，即可求证；
（2）由可得，结合可得，即可得；
（3）作，由可得，，即可推出，从而结论②正确；假设结论①正确，可得出，，与条件不符．
【详解】（1）证明：∵，，
，
∴
∵
∴
（2）解：且，理由如下：
∵，
∴，
，
，
，
，
∴
（3）解：作，如图所示：
∵，
∴，
∵
∴
∵
∴平分
假设①正确，即平分，
则有：
∴
即：
∵平分，
，
，
，
，
故只有当时，①才成立；
故答案为：②
题型六：全等三角形九大模型之“一线三等角”模型
【经典例题6】已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现．
(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）
【答案】(1)，证明见解析；
(2)，，．
【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论；
（2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系；
【详解】（1）证明：如图2，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴．
（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，．
如图1时，，
如图2时，，
如图3时，，（证明同理）
【变式训练6-1】（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析
【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；
（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；
【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下：
∵BD⊥，CE⊥，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2），理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
【变式训练6-2】如图，已知：在中，，，直线经过点，，．
（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：；
（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD
【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；
（2）结论：DE=AD-BE．与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案．
（3）结论：DE=BE-AD．证明方法类似．
【详解】解：（1）证明：如图1，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．
（3）DE=BE-AD；
如图3，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．
【变式训练6-3】在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N．
（1）如图1，当直线在外时，证明：．
（2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析
【分析】（1）根据题目条件可以证明，然后根据全等的性质就可以证得结论；
（2）依然是证明，再根据全等对应边相等即可得出结论；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴．
【变式训练6-4】问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．
问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．
问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．
【答案】问题1，AD＝EC，证明见解析；问题2：DE+BE＝AD；问题3：DE＝AD+BE，证明见解析．
【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到△ADC≌△CEB，即可得出AD=EC；
（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（3）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之间的等量关系．
【详解】解：（1）AD＝EC；
证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝EC；
（2）DE+BE＝AD；
由（1）已证△ADC≌△CEB，
∴AD＝EC，CD=EB，CE=AD
∴CE=CD+DE=BE+DE=AD
即DE+BE＝AD；
（3）DE＝AD+BE．
证明：∵BE⊥BC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵CD+CE＝DC，
∴DE＝AD+BE．
【变式训练6-5】某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．
(1)问题发现
___；___；___；___；
(2)类比探究
求证：．
(3)拓展延伸
组员小明想，如果三个角不是直角，那么（2）中的结论是否还成立呢？如图2若将题中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)；；；
(2)证明见解析
(3)成立，证明见解析
【分析】（1）证明，则，，，，即可得到答案；
（2）同（1）的方法，证明，则，，即可得到，结论得证；
（3）由得到，，则，即可证明，则，，即可得到．
【详解】（1）证明：如图1，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，，
故答案为：；；；
（2）证明：如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：成立．
证明：如图，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
题型七：全等三角形九大模型之“倍长中线”模型
【经典例题7】如图，，平分，点为中点，求证：．
【答案】见解析
【分析】延长，交于点，根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】证明：延长，交于点，
，
，
点是的中点，
，
在与中，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
【变式训练7-1】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是________．
A． B． C． D．
(2)求得的取值范围是________．
A． B． C． D．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
(3)如图2，在四边形中，，的角平分线交于，连接，且平分，猜想①的度数；②、、的数量关系；说明理由．
【答案】(1)B
(2)C
(3)①，理由见解析；②，理由见解析
【分析】（1）根据，，，得出和全等即可；
（2）根据（1）得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据三角形三边关系，得出，求出即可；
（3）①根据平行线的性质，得出，再根据角平分线的定义，得出，，进而得出，再根据三角形的内角和定理，计算即可得出的度数；②延长交的延长线于点，根据①得出，进而得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据平行线的性质，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据线段之间数量关系，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵在和中
，
∴，
故选：B；
（2）解：∵由（1）知：，
∴，，
∵在中，，由三角形三边关系定理得：，
∴，
故选：C．
（3）解：①，理由如下：
∵，
∴，
∵、分别是与的角平分线，
∴，，
∴，
∴；
②，理由如下：
如图，延长交的延长线于点，
∵由①可知：，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
【变式训练7-2】八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答：
(1)由已知和作图能得到的理由是______；
A． B． C． D．
(2)求得的取值范围是______；
A． B． C． D．
(3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．
如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分．
【答案】(1)B
(2)C
(3)证明见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键．
（1）根据三角形全等的判定定理去选择即可；
（2）根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可；
（3）由“”可证，可得，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证，可得平分．
【详解】（1）解：延长到点，使，
，
在和中，
，
，
故选：B．
（2）解：，
，
，，，
，
，
故选：C；
（3）证明：如图，延长至，使，连接，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
【变式训练7-3】【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围．
经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使．请根据小明的方法思考：
（1）请证明
（2）请直接写出的取值范围________________________；
【问题解决】
请利用上述方法（倍长中线）解决问题．
（3）如图2，已知，，，P为的中点，若A，C，D共线，求证：平分；
【答案】（1）见解析；（2）1，7；（3）见解析．
【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，画出辅助线推理论证是解题的关键．
（1）根据证明即可；
（2）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答；
（3）延长交延长线于点，首先证明出，得到，，然后证明出，得到，即可证明．
【详解】（1）为边上的中线，
，
在和中
；
（2）∵
，
，
，
即，
，
，
；
（3）如下图，延长交延长线于点
，
，
，，
为的中点
，
，
，，
又，
，即，
在和中
，
∴平分．
【变式训练7-4】如图1，在中，，点D在的延长线上，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，若点F为的中点，的延长线交于点G，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，求的面积．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)80
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）根据，可得，然后根据，可证明，继而可得出；
（2）延长至，使，连接，证，可得出，证，从而证得，通过，得到；
（3）求出，由（2）可求出，则的面积可求出．
【详解】（1）证明：∵，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：延长至，使，连接，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
，
即；
（3）解：如图，∵，
，
，
，
，
，
．
【变式训练7-5】数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题．
(1)【问题初探】如图1：在中，，，为边上的中线，则的取值范围为__________．
(2)【类比分析】如图2：在中，，，是的中线，于点C，且．求的长度．
(3)【拓展延伸】如图3：在中，于点F，在右侧作于点A，且，在左侧作于点A，且，连接DE，延长交于点O．求证：点O为中点．
【答案】(1)
(2)18
(3)证明见解析
【分析】本题考查三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质：
（1）延长到点，使，连接，证明，得到，再根据在中，，即，求解即可；
（2）延长到点F，使，连接，先证明，得到，，再证明E、C、F三点共线，得到，然后证明，得到解决问题；
（3）过点E作交延长线于M，先证明，得到，再证明，得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接，
∵为边上的中线，
，
，
，
，
中，
∴，
，
；
（2）解：延长到点F，使，连接，如图4，
∵为边上的中线，
，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴E、C、F三点共线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）证明：过点E作交延长线于M，如图4，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
∵，，
∴，
∴，
∴O为中点．
【变式训练7-6】倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线．
(1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围；
(2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及能正确作出辅助线；
（1）方法一中利用证明，则，再根据三角形的三边关系来确定取值范围即可；
（2）先用证明，得出，再用证明，即可解答．
【详解】（1）解：选方法一来证明，
是的中线，
在和中
，
，
在中，
，
，
即：，
，
（2）解：延长到F使，连接，如图所示；
点D是的中点，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
在和中，
，
，
．
题型八：全等三角形九大模型之“截长补短”模型
【经典例题8】如图，交于，交于平分平分，直线经过点并与分别交于点．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出三条线段的数量关系．
【答案】(1)见解析；
(2)（1）中结论不成立，；
【分析】（1）在上截取，连，根据题意证明，得到，，再由证明，由平角定义得到，则有，再证明，得到，则；
（2）延长交于点H，根据题意证明，得到，，再由平分，证明，得到，则．
【详解】（1）证明：如图，在上截取，连，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
（2）（1）中的结论不成立，；
理由：延长交于点H，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【变式训练8-1】如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．
【答案】见解析
【分析】运用截长补短的方法，在上取点F，使，由角平分线定义得，，可证，得，结合平行线的性质可证，进一步证得，所以，得证结论．
【详解】在上取点F，使
∵，分别是，的平分线
∴，
∵
∴
在和中
∴
∴
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴．
【变式训练8-2】已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）由题意，根据，即可解决问题；
（2）在上截取，连接．只要证明，推出，，再证明，推出，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：、分别为的角平分线，
，，
，
；
（2）解：在上截取，连接．
、分别为的角平分线
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【变式训练8-3】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．
（1）求证：AD为∠BDC的平分线；
（2）若∠DAE=∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______．
【答案】（1）见解析；（2）DE= B E+DC.
【分析】（1）过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，先证明∠BAG=∠CAF，然后证明△BAG≌△CAF得到AG=AF，最后由角平分线的判定定理即可得到结论；
（2）过A作∠CAH=∠BAE，证明△EAD≌△HAD，得到AE=AH，再证明△EAB≌△HAC中，即可得出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系.
【详解】证明:（1）如图1，过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，
∵AG⊥BD，AF⊥DC，
∴∠AGD=∠F=90°，
∴∠GAF+∠BDC=180°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠GAF=∠BAC，
∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC，
∴∠BAG=∠CAF，
在△BAG和△CAF中
∴△BAG≌△CAF（AAS），
∴AG=AF，
∴∠BDA=∠CDA，
（2）BE、DE、DC三条线段之间的等量关系是DE= B E+DC，理由如下：
如图2，过A作∠CAH=∠BAE交DC的延长线于H，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE=∠BAE+∠CAD，
∵∠CAH=∠BAE，
∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH，
在△EAD和△HAD中
，
∴△EAD≌△HAD（ASA），
∴DE=DH，AE=AH，
在△EAB和△HAC中
，
∴△EAB≌△HAC（SAS），
∴BE=CH，
∴DE=DH=DC+CH=DC+BE，
∴DE=DC+BE.
故答案是：DE=DC+BE.
【变式训练8-4】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD．
【答案】证明见解析．
【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．
【详解】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD
【变式训练8-5】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
【答案】见解析
【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性质可证∠C＝∠BFE，即可证明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解题．
【详解】证明：在AB上找到F使得AF＝AD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠EAF，
∵在△AEF和△AED中，
，
∴△AEF≌△AED，（SAS）
∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，
∵AD∥BC，
∴∠D＋∠C＝180°，
∵∠AFE＋∠BFE＝180°
∴∠C＝∠BFE，
∵BE平分∠BAD，
∴∠FBE＝∠C，
∵在△BEC和△BEF中，
，
∴△BEC≌△BEF，（AAS）
∴BF＝BC，
∵AB＝AF＋BF，
∴AB＝AD＋BC，
即AD＝AB﹣BC．
【变式训练8-6】已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
【答案】详见解析
【分析】过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE＝CF，根据同角的补角相等求出∠CDF＝∠B，然后利用“角角边”证明△CDF和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得DF＝BE，再利用“HL”证明Rt△ACF和Rt△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，然后根据AF＝AD＋DF等量代换即可得证．
【详解】证明：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，
∴CE＝CF，
∵∠B＋∠ADC＝180°．
∠ADC＋∠CDF＝180°（平角定义），
∴∠CDF＝∠B，
在△CDF和△CBE中，
，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴DF＝BE，
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AE＝AF，
∵AF＝AD＋DF，
∴AE＝AD＋BE．
题型九：全等三角形九大模型之“手拉手”模型
【经典例题9】如图，CA=CB, CD=CE，∠ACB=∠DCE=α, AD、BE相交于点H
（1）求证：AD=BE.
（2）连接CH, 求证：CH平分∠AHE.
（3）求∠AHE的度数（用含α的式子表示）.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠AHE=180°－α.
【分析】（1）由，，，利用，即可判定：；
（2）首先作于，于，由，可证，再证，（或证，可得，即可证得平分；
（3）由，可得，继而求得，则可求得的度数．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）证明：过点作于，于，
，
，
在和中，
，
，
，
平分；
（3），
，
，
，
，
．
【变式训练9-1】已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE,且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=α，直线AE与BD交于点F.
（1）如图1所示，
①求证AE= BD
②求∠AFB (用含α的代数式表示)
（2）将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转某个角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上)，得到如图2所示的图形，若∠AFB= 150°，请直接写出此时对应的α的大小(不用证明)
【答案】（1）①见解析，②180° -α（2）30°
【分析】（1）①由∠ACD=∠BCE=α，得到∠ACE=∠DCB=180°，然后得到△ACE≌DCB，即可得到AE=BD；
②由①知△ACE≌DCB，则∠CAF=∠CDF，利用三角形内角和定理，由∠CAF+∠AFB+∠B=180°，∠CDF+∠DCB+∠B=180°，则∠AFB=∠DCB=；
（2）由∠AFB= 150°，则∠EFB=，由∠ACD=∠BCE，得∠ACE=∠DCB，然后得到△ACE≌△DCB，得到∠AEC=∠DBC，则∠BCE=∠EFB=30°.
【详解】解：（1）如图1：
①证明：∵∠ACD=∠BCE=α，
∴180°∠ACD=180°∠BCE，
即∠ACE=∠DCB=180°，
∵CA=CD，CB=CE，
∴△ACE≌DCB，
∴AE=DB；
②∵△ACE≌DCB，
∴∠CAF=∠CDF，
由三角形内角和定理，得
∠CAF+∠AFB+∠B=180°，∠CDF+∠DCB+∠B=180°，
∴∠AFB=∠DCB=；
（2）如图2：
∵∠AFB= 150°，
∴∠EFB=，
∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCO=∠BCE+∠DCO，
∴∠ACE=∠DCB，
∵AC=DC，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠DBC，
∵∠FOE=∠COB，
∴∠BCE=∠EFB=30°，
∴.
【变式训练9-2】已知，如图，等腰，等腰, ，，，，交、分别于点M、F
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）答案见详解；（2）8.
【分析】（1）由，，可得∠BAE=∠DAC，结合条件，即可证明；
（2）由，可得∠ADC=∠AEB，进而可知∠EFM=∠DAM=90°，可得∠DEF=60°，∠FDE=30°，根据“直角三角形中，30°所对得直角边等于斜边的一半”，即可求解.
【详解】（1）∵，，
∴∠BAC=90°，∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,
∴∠BAE=∠DAC，
在与中，
∵
∴（SAS）；
（2）∵，
∴∠ADC=∠AEB，
∵∠AMD=∠EMF，
∴∠EFM=∠DAM=90°，
∵∠AED=45°，∠AEF=15°，
∴∠DEF=60°，∠FDE=30°，
∴DE=2EF=2×4=8.
【变式训练9-3】将正方形ABCD和正方形BEFG如图（一）所示放置，已知AB＝5，BE＝6，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转一定的角度α（0°≤α≤360°）到图（二）所示：连接AE，CG，
（1）求线段AE与CG的关系，并给出证明
（2）当旋转至某一个角度时，点C，E，G在同一条直线上，请画出示意图形，并求出此时AE的长
【答案】（1）AE＝CG，证明详见解析；（2）AE＝或
【分析】（1）由旋转中对应边和对应角相等，可证△ABE≌△CBG，可得AE＝CG
（2）画图可知，点C、E、G在同一条直线上存在两种情况，根据（1）的全等证明，可知AE＝CG，利用CG所在三角形利用勾股定理求出CH，加上HG可得CG长度即AE的长．
【详解】解：（1）AE＝AG
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBG，BE＝BG
∴△ABE≌△CBG（SAS）
∴AE＝CG
（2）当E在CG线段上时，如图所示
由（1）可知△ABE≌△CBG
∴AE＝CG
在Rt△CBH中
BC＝，BH＝EH＝
∴CH＝
∴CE＝
∴CG＝
∴AE＝
当点E在CG的延长线上时，如图所示
由（1）可知△ABE≌△CBG
∴AE＝CG
在Rt△BHC中
BH＝HG＝，BC＝
∴CH＝
∴CG＝
∴AE＝
∴AE＝或
【变式训练9-4】如图1，若点是线段上的动点（不与，重合），分别以、为边向线段的同一侧作等边和等边.
（1）图1中，连接、，相交于点，设，那么 ；
（2）如图2，若点固定，将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于），此时的大小是否发生变化？请说明理由.
【答案】（1）；（2）此时的大小不会发生改变，始终等于，理由见解析
【分析】（1）首先证得△APD≌△CPB，然后根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）旋转的过程中，（1）中得两个三角形的全等关系不变，因而角度不会变化．
【详解】（1），理由：
∵△APC是等边三角形，
∴PA=PC，∠APC=60°，
∵△BDP是等边三角形，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°；
（2）此时的大小不会发生改变，始终等于.
理由：∵是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形
∴，
∴
∴
∴≌
∴
∵
∴
∴
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