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1.4 尺规作图七大题型（一课一练）
【同步习题】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作直角三角形的三种方案：①已知两条直角边长﹔②已知一条直角边和斜边长，③已知一个锐角和斜边长﹔图1、图2、图3分别对应以上三种方案中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（ ）
A．①②③ B．②③① C．①③② D．③①②
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图，线段的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图，根据相关作图方法进行判断求解即可．
【详解】解：由作图方法可知，图1对应的是已知两条直角边长；图2对应的是已知一个锐角和斜边长；图3对应的是已知一条直角边和斜边长，
故选：C．
2．下列作图语句正确的是（ ）
A．作线段，使 B．延长线段到点，使
C．作，使 D．以点为圆心作弧
【答案】C
【分析】本题主要考查了基本作图，根据画线段，作一个角等于已知角，画弧的作图方式一一判断即可．
【详解】解：A．只能说作线段，使，原说法错误．不符合题意；
B．延长线段到C，不可能使得，原说法错误． 不符合题意；
C．作，使，原说法正确．符合题意；
D．没有给出半径的长度，无法以点O为圆心作弧，原说法错误． 不符合题意；
故选：C．
3．如图，已知，点B为上一点，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，E，以点B为圆心，以长为半径作弧，交线段于点F，以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接并延长交于点C，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查基本作图、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握基本作图，熟练掌握三角形外角的性质，属于中考常考题型．根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．
【详解】解：由题意可知，
∴．
故选：D．
4．下列作图属于尺规作图的是（ ）．
A．画线段
B．用量角器画出的平分线
C．用三角尺作过点A垂直于直线的直线
D．已知，用没有刻度的直尺和圆规作，使
【答案】D
【详解】解：根据尺规作图的定义：只能用没有刻度的直尺和圆规作图，不难判断，只有D 选项属于尺规作图．
故选D．
5．已知锐角∠AOB，如图所示：
①在OA、OB上截取OD、OE，使OD＝OE
②分别以D、E为圆心，以大于DE为半径画弧，两弧在∠AOB内交于C，连接OC
③过C作CG∥BO交OA于G，作CF⊥OB于F点．
下列结论不一定成立的是．（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．CG＝OG C．∠AGC＝∠AOB D．CG＝CF
【答案】D
【分析】利用基本作图可对A选项进行判断；根据平行线的性质可证明∠GCO=∠GOC，则GO=GC，于是可对B选项进行判断；利用平行线的性质对C选项进行判断；作CH⊥OA于H，如图，根据角平分线的性质得到CH=CF，再根据垂线段最短得到CH＜CG，则可对D选项进行判断．
【详解】解：由作法得OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，所以A选项不符合题意；
∵CG∥OB，
∴∠GCO=∠BOC，
∴∠GCO=∠GOC，
∴GO=GC，所以B选项不符合题意；
∵CG∥OB，
∴∠AGC=∠AOB，所以C选项不符合题意；
作CH⊥OA于H，如图，
∵OC平分∠AOB，
∴CH=CF，
∵CH＜CG，
∴CF＜CG，所以D选项符合题意．
故选：D．
6．在中，，，所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】本题考查了利用全等三角形的判定作图，对于没有不属于全等三角形的判定情况，要根据实际情况作图，是本题解答的关键．根据全等三角形的判定，可判断B选项和C选项不符合题意，对于选项A和选项D，则作以点C为圆心，长为半径作弧，查看该弧与直线的交点情况，即可判断答案．
【详解】A、如图1，在中， ，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连结，则在中， ，，，同样满足题意，所以此三角形不唯一，符合题意；
B、，
a，b，c三线段能作组成三角形，
根据两个三角形“边边边”全等的判定，可知此三角形唯一确定，不符合题意；
C、根据两个三角形“角角边”全等的判定，可知此三角形唯一确定，不符合题意；
D、如图2，在中， ，，，以点C为圆心，长为半径作弧，与直线没有交点，可知此三角形唯一确定，不符合题意．
故选A．
7．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（ ）
A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可．
【详解】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定，
所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等，
故选：C．
8．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（ ）
A．6 B．11 C．14 D．28
【答案】C
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到点E到和的距离相等，点E到的距离等于的长度，利用三角形面积公式即可得到答案．
【详解】解：由基本作图得到平分，
∴点E到和的距离相等，
∴点E到的距离等于的长度，即点E到的距离为4，
∴．
故选：C．
9．如图，已知，按以下步骤作图：
①在射线上，分别截取，使，大于长为半径作圆弧；作射线，连结．
②分别以点D和点E为圆心、大于长为半径作圆弧，两弧交于点F和点G，分别交射线于点H、点I．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由作图得：射线平分，，由角平分线的定义得，由外角的性质求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：由作图得：射线平分，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
10．对于题目“作的平分线”给出如下两种方案．
方案1： 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，D两点，分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，即为所求． 方案2： 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，D两点，过C，D两点按如图所示的方式分别作的垂线和的垂线，与交于点P，作射线，即为所求．
关于这两个方案，下列说法正确的是（ ）
A．只有方案1可行 B．只有方案2可行
C．两个方案都可行 D．两个方案都不可行
【答案】C
【分析】本题主要考查了尺规作图，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握尺规作图的方法和步骤，全等三角形对应角相等．
根据方案1作图可知，用证明，即可求证平分；根据方案2作图可知，，即可用证明，即可求证平分．
【详解】解：方案1：
连接，
由作图可知：，
∵，
∴，
∴，即平分；
方案2：由作图可知：，
∵分别为的垂线，
∴，
∵，
∴，
∴，即平分；
综上：方案1、方案2均正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理得出即可．
【详解】解：已知：线段和，，求作：，使，，．
作法：（1）作；
（2）在射线上截取线段；
（3）以为顶点，以为一边作，交于点，
就是所求的三角形．
由作图可知：，，，
∴
故答案为：．
12．如图，方格纸中△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，则在图中能够作出与△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）的个数是 ．
【答案】4
【分析】和△ABC全等，那么必然有一边等于3，有一边等于，又一角等于45°．据此找点即可，注意还需要有一条公共边．
【详解】如图，分三种情况，
①公共边是AC，符合条件的是△ACE；
②公共边是BC，符合条件的是△BCF，△CBG，△CBH；
③公共边是AB，有符合条件的三角形，但是顶点不在格点上．
综上，共有4个．
13．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为14，则的面积为 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了尺规作图-作角平分线、角平分线的性质定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握角平分线的作法和性质是解题关键．过点作于点，点作于点，由作图可知，平分，由角平分线的性质定理可得，利用三角形面积公式可解得，易得，然后计算的面积即可．
【详解】解：如下图，过点作于点，点作于点，
由作图可知，平分，
∴，
∵，的面积为14，
即，
解得，
∴，
∴的面积．
故答案为：20．
14．如图，在中，，依据尺规作图的作图痕迹，可知的度数为 ．
【答案】/35度
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角外角及内角和等知识，熟悉掌握有关知识是解题关键．由三角形外角的性质得到，根据作图依据得到垂直平分，平分，推出，由计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
由作图痕迹得垂直平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：．
15．如图，已知直线l及直线外一点P，观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论不一定成立的是 ．（填序号）
①为直线的垂线；②；③；④．
【答案】③
【分析】此题主要考查了作图基本作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
直接利用线段垂直平分线的性质以及其基本作图，进而分析得出答案．
【详解】解：由作图方法可得出是线段的垂直平分线，
则为直线的垂线，故①正确，不合题意；
（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），故②正确，不合题意；
无法得出，故③错误，符合题意；
可得，，则，故④正确，不合题意；
故答案为：③．
16．如图，在中，分别以点 B和点 C为图心，大于长为半径画弧，两弧相交于点 ，作直线，交于点，交于点，连接，若，则的周长为 ．
【答案】18
【分析】本题考查了垂直平分线的画法，垂直平分线的性质，根据题意可知垂直平分，可得，得到进而得到结果．
【详解】解：由题意可得：垂直平分，
，
的周长为，
，
故答案为：18．
17．如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有 处．
【答案】三
【分析】此题考查了三角形角平分线的性质，分别作外角的角平分线，交点分别为，即为所求的点，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质及其应用．
【详解】解：如图所示，，即为所求的点，
故答案为：三．
18．如图，在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则 ．
【答案】/
【分析】如图所示，过点D作于H，由角平分线的性质可得，利用勾股定理求出，利用等面积法求出，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点D作于H，
由作图方法可知平分，
∵，，
∴，
在，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，，请用尺规作图法在内部求作一点P，使得，且，（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图—复杂作图，先作的垂直平分线，再作，交直线于，点即为所求.
【详解】解：如图，点即为所求.
20．作图题：已知及上一点A，
(1)过点A画，垂足为点E．
(2)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）在射线上，以C为顶点，作．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查作图-复杂作图，作一个角等于已知角的尺规作图是解题的关键．
（1）根据垂线的定义作图即可；
（2）先以B为圆心，任意长为半径画弧，交于点M、N，以同样半径长度将C作为圆心画弧，交于P，以P点为圆心\以为半径长度画弧，两弧相交于F，连接，即得．
【详解】（1）解：如图：即为所求：
（2）解：如图： 即为所求
21．如图，在中，点是延长线上一点，连接，利用尺规作图法在上求作一点，连接，使得与互补．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查作图复杂作图，余角和补角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作的角平分线，交一点，点即为所求．
【详解】解：如图，点即为所求．
平分，
，
，
，
与互补．
22．如图，一块三角板，D是边上一点，现要求在边上确定点E，使．
(1)通过尺规作图确定点E．（不写作法，留下作图痕迹，要有结论）
(2)请直接写出（1）中的作图理论依据．
【答案】(1)见解析
(2)同位角相等，两直线平行．
【分析】本题考查作一个角等于圆周角、平行线的判定；
（1）过点作，交于点，则点即为所求．
（2）结合平行线的判定可得答案．
【详解】（1）解：如图，过点作，交于点，
则，
则点E即为所求．
（2）作图理论依据为：同位角相等，两直线平行．
23．如图，在中，．
(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：设（1）中的平分线交于点，若的面积为，，求点到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图法、角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据角平分线的尺规作图法作图即可．
（2）由角平分线的性质得，所以，因为，，即，所以．
【详解】（1）解：的角平分线下图所示．
（2）如图，过点作于点，
为角平分线上的点，，，
，
，
，，即，
．
24．如图，使用圆规和直尺分别画出和的角平分线和，如果，那么：
(1)在图中作出角平分线、；
(2)写出的度数___________．
(3)反向延长到，写出与互补的角：___________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，
【分析】此题主要考查了角平分线的定义，正确把握角平分线的定义是解题关键．
（1）直接利用角平分线的作法得出符合题意的答案；
（2）直接利用角平分线的定义得出的度数；
（3）利用互补的定义得出与互补的角．
【详解】（1）如图所示：，即为所求；
（2）和的角平分线和，
，，
，
，
；
故答案为：；
（3）与互补的角有：，．
故答案为：，．
25．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成：（作图要求用铅笔、直尺在答题卡上完成，确定后，再用黑色签字笔描黑；）
画图操作：
(1)过点A作直线的平行线；
(2)过点B作直线，交直线于点E；
(3)作射线，交线段于点F，使得平分的面积；
(4)点A到的距离是 ；
(5)图中共有 对全等三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)2
(5)4
【分析】（1）根据方格纸的特点画平行线即可；
（2）根据方格纸的特点画垂线即可；
（3）找出的中点F，连接即可；
（4）过点A作于点H，根据图形得出即可得出答案；
（5）根据全等三角形的判断方法进行解答即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的平行线；
（2）解：如图，即为所求作的垂线；
（3）解：如图，即为所求作的射线；
（4）解：过点A作于点H，如图所示：
则为点A到的距离，
根据图形可知，，
∴点A到的距离为2，
故答案为：2；
（5）解：根据图形可知，，，，
∴；
根据图形可知，，，，
∴；
根据图形可知，，
∴，
∵，，
∴；
根据图形可知，，，，
∴；
一共4对全等三角形：和、和、和，和，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，点到直线的距离，作垂线、平行线，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合．
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1.4 尺规作图七大题型（一课一练）
【同步习题】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作直角三角形的三种方案：①已知两条直角边长﹔②已知一条直角边和斜边长，③已知一个锐角和斜边长﹔图1、图2、图3分别对应以上三种方案中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（ ）
A．①②③ B．②③① C．①③② D．③①②
2．下列作图语句正确的是（ ）
A．作线段，使 B．延长线段到点，使
C．作，使 D．以点为圆心作弧
3．如图，已知，点B为上一点，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，E，以点B为圆心，以长为半径作弧，交线段于点F，以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接并延长交于点C，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．下列作图属于尺规作图的是（ ）．
A．画线段
B．用量角器画出的平分线
C．用三角尺作过点A垂直于直线的直线
D．已知，用没有刻度的直尺和圆规作，使
5．已知锐角∠AOB，如图所示：
①在OA、OB上截取OD、OE，使OD＝OE
②分别以D、E为圆心，以大于DE为半径画弧，两弧在∠AOB内交于C，连接OC
③过C作CG∥BO交OA于G，作CF⊥OB于F点．
下列结论不一定成立的是．（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．CG＝OG C．∠AGC＝∠AOB D．CG＝CF
6．在中，，，所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
7．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（ ）
A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
8．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（ ）
A．6 B．11 C．14 D．28
9．如图，已知，按以下步骤作图：
①在射线上，分别截取，使，大于长为半径作圆弧；作射线，连结．
②分别以点D和点E为圆心、大于长为半径作圆弧，两弧交于点F和点G，分别交射线于点H、点I．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．对于题目“作的平分线”给出如下两种方案．
方案1： 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，D两点，分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，即为所求． 方案2： 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，D两点，过C，D两点按如图所示的方式分别作的垂线和的垂线，与交于点P，作射线，即为所求．
关于这两个方案，下列说法正确的是（ ）
A．只有方案1可行 B．只有方案2可行
C．两个方案都可行 D．两个方案都不可行
【答案】C
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ．
12．如图，方格纸中△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，则在图中能够作出与△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）的个数是 ．
13．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为14，则的面积为 ．
14．如图，在中，，依据尺规作图的作图痕迹，可知的度数为 ．
15．如图，已知直线l及直线外一点P，观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论不一定成立的是 ．（填序号）
①为直线的垂线；②；③；④．
16．如图，在中，分别以点 B和点 C为图心，大于长为半径画弧，两弧相交于点 ，作直线，交于点，交于点，连接，若，则的周长为 ．
17．如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有 处．
18．如图，在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，，请用尺规作图法在内部求作一点P，使得，且，（保留作图痕迹，不写作法）
20．作图题：已知及上一点A，
(1)过点A画，垂足为点E．
(2)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）在射线上，以C为顶点，作．
21．如图，在中，点是延长线上一点，连接，利用尺规作图法在上求作一点，连接，使得与互补．（不写作法，保留作图痕迹）
22．如图，一块三角板，D是边上一点，现要求在边上确定点E，使．
(1)通过尺规作图确定点E．（不写作法，留下作图痕迹，要有结论）
(2)请直接写出（1）中的作图理论依据．
23．如图，在中，．
(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：设（1）中的平分线交于点，若的面积为，，求点到的距离．
24．如图，使用圆规和直尺分别画出和的角平分线和，如果，那么：
(1)在图中作出角平分线、；
(2)写出的度数___________．
(3)反向延长到，写出与互补的角：___________．
25．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成：（作图要求用铅笔、直尺在答题卡上完成，确定后，再用黑色签字笔描黑；）
画图操作：
(1)过点A作直线的平行线；
(2)过点B作直线，交直线于点E；
(3)作射线，交线段于点F，使得平分的面积；
(4)点A到的距离是 ；
(5)图中共有 对全等三角形．
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