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1.1.1 三角形的认识及其三边关系八大题型（一课一练）
【同步习题】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（ ）
A．B． C． D．
2．如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
3．若线段分别是中线上的高和中线，则（ ）
A．或 B．
C．或 D．
4．一个三角形三个内角度数的比是，那么这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．在同一平面内不相交的两条线段必平行
B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线的长
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．三角形的任意两边之和大于第三边
6．如图，的三边长均为整数，且周长为，是边上的中线，的周长比的周长大2，则长的可能值有（ ）个．
A． B．
C． D．
7．已知的三边长度各不相等，各边上的高都是整数，其中有两边上的高是和，则第三边上的高最长为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知三角形的三条边为a，b，c，且满足，则这个三角形的最大边c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，AB边上的中线CD将的周长分为15和6两个部分，求的三边长分别为（ ）
A．10，10，1 B．4，4，13 C．8，8，5 D．9，9，3
10．老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5、9、10.5，并且只能对10.5的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．按如图所示的放置可以把手机放在一个支架上面，这样做的数学道理是 ．
12．如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是 ．
13．如图，D，E，F，G是线段BC上的点．
（1）以AC为边的三角形有 ；
（2）图中共有 个三角形．
14．一个三角形三个角的度数比是，按边分类这是一个 三角形，其中最小的角是 ．
15．如果不等边三角形的三边长分别是、、，那么整数的取值是 ．
16．若a，b，c为的三边，化简： ．
17．若、、满足．则以、、为边 （填“能”或“否”）构成三角形？若能构成三角形，则写出此三角形的周长 ．
18．现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，回答下列问题：
(1)写出以为顶点的三角形；
(2)写出为内角的三角形；
(3)写出以为边的三角形．
某
市木材市场上的木棒规格与价格如下表：
规格
价格/（元/根）
小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，在木材市场上已经购买了两根长度分别为和的木棒，还需要购买一根．
(1)有几根规格的木棒可供小明的爷爷选择？
(2)在能做成三角形支架的情况下，要求做成的三角形支架的周长为偶数，则小明的爷爷做三角形支架，买木棒一共花了多少元？
21．在中，，．
(1)求的取值范围；
(2)若的周长为偶数，求的周长为多少？
22．两根木棒分别长、，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形，如果第三根木棒的长为偶数（单位：），那么一共可以构成多少个不同的三角形？这些三角形的周长分别是多少？
23．已知，，是三边的长．
(1)若，，满足，试判断的形状；
(2)化简．
24．探究：如图，用钉子把木棒、和分别在端点、处连接起来，用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是．
(1)若，，，试求的最大值和最小值；
(2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗
25．先阅读后解题：
若，求m和n的值．
解：等式可变形为：
即，
因为，，
所以，
即，．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．
请利用配方法，解决下列问题：
(1)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长是______；
(2)求代数式的最小值是多少？并求出此时a，b满足的数量关系；
(3)请比较多项式与的大小，并说明理由．
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1.1.1 三角形的认识及其三边关系八大题型（一课一练）
【同步习题】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了三角形的概念，由三条线段首尾顺次连接构成的图形叫做三角形，据此进行判断即可．
【详解】解：三角形是由三条线段首尾顺次连接构成的，则C选项符合三角形概念，
故选：C
2．如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】A
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形中线的定义，解题的关键是掌握三角形顶点与对边中点的连线是三角形的中线．根据折叠的性质可得出，得出点E为中点，即可得出结论．
【详解】解：∵将三角形纸片折叠，使点B，C重合，
∴，
∴线段是的中线，
故选：A．
3．若线段分别是中线上的高和中线，则（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据垂线段最短可得，据此可得答案．
【详解】解：∵线段分别是中线BC上的高和中线，而垂线段最短，
∴，
故选C．
4．一个三角形三个内角度数的比是，那么这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的分类，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度．先计算出这个三角形的三个内角度数，即可解答．
【详解】解：，，，
∴这个三角形的三个内角度数分别为，
∴这个三角形是锐角三角形，
故选：B．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．在同一平面内不相交的两条线段必平行
B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线的长
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．三角形的任意两边之和大于第三边
【答案】D
【分析】根据两条直线的位置关系、点到直线的距离、三角形的外角、三角形的三边关系逐项判断即可得．
【详解】解：A．在同一平面内不相交的两条直线必平行，则此项说法错误，不符题意；
B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，则此项说法错误，不符题意；
C．三角形的一个外角不一定大于任何一个内角．反例：当这个内角是钝角时，它的外角小于这个内角，则此项说法错误，不符题意；
D．三角形的任意两边之和大于第三边，则此项说法正确，符合题意；
故选：D．
6．如图，的三边长均为整数，且周长为，是边上的中线，的周长比的周长大2，则长的可能值有（ ）个．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依据的周长为22，的周长比的周长大2，可得，再根据的三边长均为整数，即可得到，6，8，10．
【详解】解：的周长为22，的周长比的周长大2，
，
解得，
又的三边长均为整数，的周长比的周长大2，
为整数，
边长为偶数，
，6，8，10，
即的长可能值有4个，
故选：B．
7．已知的三边长度各不相等，各边上的高都是整数，其中有两边上的高是和，则第三边上的高最长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查三角形三边关系．注意利用三角形面积的表示方法得到相关等式是解决本题的关键；
首先设高为4和12的两边长分别为a，b，第三边为c，根据，得，，根据三角形的任意两边之和一定要大于第三边，求出c边的高范围．
【详解】
设，，，
，
，，
，
，
，
即高为3到6之间，
或5
的三边长度各不相等，各边上的高都是整数，
高不能为4，
第三边上的高最长为，
故选：B
8．已知三角形的三条边为a，b，c，且满足，则这个三角形的最大边c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握完全平方公式、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．
【详解】解：，
，
，
，，
，，
，，
三角形的三条边为a，b，c，
，
，
又这个三角形的最大边为c，
故选：C．
9．在中，，AB边上的中线CD将的周长分为15和6两个部分，求的三边长分别为（ ）
A．10，10，1 B．4，4，13 C．8，8，5 D．9，9，3
【答案】A
【分析】设，（），根据三角形中线的定义得到，根据AB边上的中线CD将的周长分为15和6两个部分，分两种情况列比例式，求出y和x的关系，最后求出AB、BC、AC三边的比值，选出答案．
【详解】设，（），
∵CD是AB边上的中线，
∴，
∵与是中线CD将的周长分为15和6的两部分，
∴当时，，
当时，，不合，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
10．老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5、9、10.5，并且只能对10.5的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组求解即可．
【详解】解：设从10.5的小木棍上裁剪的线段长度为x，
则，即，
∴整数x的值为5、6 、7 、8、9、10，
∴同学们最多能做出6个不同的三角形木架．
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．按如图所示的放置可以把手机放在一个支架上面，这样做的数学道理是 ．
【答案】三角形具有稳定性
【分析】本题主要考查了三角形稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握三角形的稳定性．
三角形手机支架利用了三角形的稳定性，形状稳定，不晃动，方便观看手机．
【详解】∵三角形具有稳定性，
∴三角形手机支架形状不变形，手机放上稳定不晃动，可以非常方便地观看显示内容．
故答案为：三角形具有稳定性．
12．如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是 ．
【答案】16或18或20或22
【分析】已知三角形的两边，则第三边的范围是大于两边之差的绝对值，小于两边之和．
【详解】依据题意得，已知三角形的两边之和为12，两边之差为2，则第三边的范围为大于2、小于12的偶数，故第三边的长度可取：4、6、8、10．
那么这个三角形的周长是：或或或．
∴答案为：16或18或20或22．
13．如图，D，E，F，G是线段BC上的点．
（1）以AC为边的三角形有 ；
（2）图中共有 个三角形．
【答案】 ，，，， 15
【解析】略
14．一个三角形三个角的度数比是，按边分类这是一个 三角形，其中最小的角是 ．
【答案】 等腰 /度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和为180度，求出三个内角的度数即可得到答案．
【详解】解：因为一个三角形三个角的度数比是，
所以这个三角形三个内角的度数分别为，，，
所以该三角形是一个等腰三角形，且最小的角是，
故答案为：等腰；．
15．如果不等边三角形的三边长分别是、、，那么整数的取值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查的知识点是三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形三边关系．
三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此即可求解．
【详解】解：根据三角形三边关系可得：，
即，
又∵该三角形是不等边三角形，
∴且，即且
∴符合条件的整数x的取值为：5或7．
故答案为：或．
16．若a，b，c为的三边，化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，绝对值化简，合并同类项，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0，以及合并同类项，字母和字母指数不变，只把系数相加减；根据三角形三边之间的关系得出，则，再化简绝对值，最后合并同类项即可．
【详解】解：∵a，b，c为的三边，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
17．若、、满足．则以、、为边 （填“能”或“否”）构成三角形？若能构成三角形，则写出此三角形的周长 ．
【答案】 能 /
【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性和绝对值的非负性可求出，再根据三角形三边关系即可判断能或否构成三角形，最后求出周长即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：．
∵，即，
∴以、、为边能构成三角形，
∴此三角形的周长为．
故答案为：能，．
18．现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是 ．
【答案】11
【分析】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
根据三角形的三边关系，进行分类讨论即可求解．
【详解】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
∴选4，5，7，9，
如图，①当时，
，即，
且，即，
，
此时对角线最长可以取到的整数是8，
②当时，
，即，
且，即，
此时对角线最长可以取到的整数是10，
如图，当时，
③当时，
，即，
且，即，
，
此时对角线最长可以取到的整数是11，
④当时，
，即，
且，即，
此时对角线最长可以取到的整数是10，
综上，∴该木框的对角线最长可以取到的整数是11．
故答案为：11．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，回答下列问题：
(1)写出以为顶点的三角形；
(2)写出为内角的三角形；
(3)写出以为边的三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接写出以为顶点的三角形即可；
（2）直接写出以为内角的三角形即可；
（3）直接写出以为边的三角形即可．
【详解】（1）解：以为顶点的三角形有：．
（2）解：以为内角的三角形有：．
（3）解：以为边的三角形有：．
20．某市木材市场上的木棒规格与价格如下表：
规格
价格/（元/根）
小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，在木材市场上已经购买了两根长度分别为和的木棒，还需要购买一根．
(1)有几根规格的木棒可供小明的爷爷选择？
(2)在能做成三角形支架的情况下，要求做成的三角形支架的周长为偶数，则小明的爷爷做三角形支架，买木棒一共花了多少元？
【答案】(1)种
(2)元
【分析】（1）做一个三角形的支架，根据三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解；
（2）做成的三角形支架的周长为偶数，根据（1）中可选的结果，即可求解．
【详解】（1）解：设第三根木棒的长度为，根据三角形的三边关系可得，解得，
∵是整数，
∴，共种，
∴有种规格木棒可供选择．
（2）解：三角形支架的周长为偶数，，
∴，三角形支架的第三根木棒长为，
∴（元）．
∴买木棒一共花了95元．
21．在中，，．
(1)求的取值范围；
(2)若的周长为偶数，求的周长为多少？
【答案】(1)
(2)16
【分析】本题考查了三角形的三边关系，
（1）直接根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可；
（2）先求出周长的范围，再根据其为偶数进行求解即可；
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）∵，，
∴，
即；
（2）∵，设的周长为x，
∴，即，
∵的周长为偶数，
∴其周长为16．
22．两根木棒分别长、，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形，如果第三根木棒的长为偶数（单位：），那么一共可以构成多少个不同的三角形？这些三角形的周长分别是多少？
【答案】共可以构成个不同的三角形，他们的周长分别为：，，，
【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，先求得第三根木棒长的取值范围，进而求得满足已知的第三根木棒长以及周长．
【详解】解：两根木棒分别长、，
根据三角形的三边关系，得：第三根木棒的长大于而小于．
又第三根木棒的长是偶数，则应为，，，．
共可以构成个不同的三角形，
他们的周长分别为：，，
，．
23．已知，，是三边的长．
(1)若，，满足，试判断的形状；
(2)化简．
【答案】(1)等边三角形
(2)
【分析】本题考查化简绝对值、不等式的性质、三角形的三边关系和三角形分类；
（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可．
【详解】（1），
且，
，
为等边三角形；
（2），，是的三边长，
，，，
，，，
．
24．探究：如图，用钉子把木棒、和分别在端点、处连接起来，用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是．
(1)若，，，试求的最大值和最小值；
(2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗
【答案】(1)最大值为19，最小值为3
(2)
【分析】此题考查了三角形的三边关系，关键是确定取最值时木棒的位置及围成四边形时满足的条件．
（1）最大值应该是所有其他三条线段的和，最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长；
（2）当大于最小值，小于最大值时，可构造四边形，根据（1）中的最大值和最小值即可确定的取值范围．
【详解】（1）要求的最大值，即将绕点逆时针方向旋转，使其与在一条直线上；将绕点顺时针方向旋转，使其与在一条直线上，即四点从左到右依次为、、、．
，，，
，
要求的最小值，即将绕顺时针方向旋转，使其与共线；将绕点逆时针方向旋转，使其与共线，即四点从左到右依次为、、、．
，，，
．
综上，的最大值是19，最小值是3．
（2）要围成四边形，则的取值范围为：．
25．先阅读后解题：
若，求m和n的值．
解：等式可变形为：
即，
因为，，
所以，
即，．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．
请利用配方法，解决下列问题：
(1)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长是______；
(2)求代数式的最小值是多少？并求出此时a，b满足的数量关系；
(3)请比较多项式与的大小，并说明理由．
【答案】(1)9
(2)3，
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据配方法，可得a，b的值，在根据三角形三边的关系，可得c的值，根据三角形的周长，可得答案；
（2）根据配方法，可得非负数的和，根据非负数的性质，可得答案；
（3）根据多项式的减法计算，然后根据配方法化简多项式的差，可得结论．
【详解】（1）
已知的三边长a，b，c都是正整数，
的周长是
故答案为：
（2）
当时，的最小值为3
（3）
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