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1.1.2 三角形的高、中线、角平分线七大题型（一课一练）
【同步培优】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列各图形中，哪个图形中的是的高（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的高的概念，能够正确作三角形一边上的高．根据三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段即为该边上的高线，解答即可．
【详解】解：过点A作直线的垂线段，
即画边上的高，正确的是D．
故选：D．
2．如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点G，交于点H，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，中位线性质，等腰三角形的判定与性质，根据三角形的角平分线、中线和高的概念、直角三角形的性质、三角形中位线定理判断即可．
【详解】解：A、，
，
，故本选项说法错误，不符合题意；
B、当为等腰直角三角形时，
是中线，
不是角平分线，
，
为角平分线，
，故本选项说法错误，不符合题意；
C、是的中线，
当时，是的中位线，
则，故本选项说法错误，不符合题意；
D、，，，
，故本选项说法正确，符合题意，
故选：D．
3．如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质得到，再根据三角形周长公式进行求解即可．
【详解】解：∵为中线，
∴，
∵的周长，的周长，
∴与的周长之差为，
故选：A．
4．如图所示，在中，已知点、、分别是、、的中点，且的面积为64，则的面积是（ ）．
A．18 B．16 C．14 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质．根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形得出，，，再根据的面积即可求出的面积，从而求出的面积．
【详解】解：点是的中点，
，，
点是的中点，
，
，
的面积为64，
，
，
点是的中点，
，
故选：B．
5．如图，在，，，四个点中，有一个点是的重心，请你用刻度尺确定这个点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的重心，解题的关键是熟练掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点，分别连接三角形两个顶点与各个点并延长与各边相交，用刻度尺测出交点是否为各边的中点，即可作出判断．
【详解】解：A．如图，连接并延长交于点P，显然不是的中点，因此不是重心，故A错误；
B．如图，连接并延长交于点Q，显然不是的中点，因此F不是重心，故B错误；
C．如图，连接并延长交于点N，连接并延长交于点M，显然M、N分别是、的中点，因此G是重心，故C正确；
D．如图，连接并延长交于点K，显然不是的中点，因此H不是重心，故D错误．
故选：C．
6．如图，直线分别交于点B，D，连接，若平分，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握对顶角相等，角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．
由题意知，，由平分，可得，由，可证，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7．现有下列结论：①同旁内角相等，两直线平行；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形的中线和高都是线段；④三角形的一条角平分线将三角形分成面积相等的两部分；⑤钝角三角形最多有一个锐角．其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的判定，三角形的中线、角平分线、高的性质，
根据平行线的判定方法、三角形的中线、角平分线、高性质判断求解即可．
【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行，原说法错误，不符合题意；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确，符合题意；
③三角形的中线和高都是线段，符合题意；
④三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分，原说法错误，不符合题意；
⑤钝角三角形有2个锐角，原说法错误，不符合题意．
故选：C．
8．共享单车是一种低碳环保的出行方式，图①是某品牌共享单车，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，平分，，则当为（ ）度时，与平行．
A．69 B．64 C．59 D．52
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，角平分线的定义，由题意可得，可得出，即可求出，由角平分线的定义可得出，即可得出当时，与平行．
【详解】解：∵，都与地面l平行，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴当时，与平行．
故选：B．
9．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到点关于的对称点，再由垂线段最短是求解的关键．作点关于的对称点，连接，，过点作于点．利用垂线段最短解决问题即可．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于点．
是的角平分线，与关于对称，
点在上，，
，，，
∴，
，
，
的最小值为．
故选：B．
10．如图，在中，，点、分别在、的延长线上，、、的平分线相交于点．对于以下结论：①；②；③；④与互余．其中一定正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由等边对等角可得，外角的性质可知，可得，由角平分线可知，可得，根据平行线的判定可得，故①正确；由角平分线可知，由平行线的性质可知，所以，等角对等边可得，故②正确；因为，所以，结合，得，故③错误；由平行线的性质可知，由角平分线可知，即可证明，结合和，可得，故④正确，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确，符合题意；
∵，
∴，
又∵，
∴，故③错误，不符合题意；
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确，符合题意，
综上：①②④正确，共个，
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，是边上的高，平分，，则的度数为 ．
【答案】/40度
【分析】
本题考查三角形中求角度，涉及高的定义、角平分线等定义、三角形内角和、外角性质等知识，根据高的定义、角平分线定义，设，，利用三角形内角和、外角性质等列式表示出所要求解的角度即可得到答案，数形结合，熟练运用三角形中求角度的相关几何知识是解决问题的关键．
【详解】解：在中，是边上的高，
，
平分，
，
设，，则在中，，
，
，即，则，
是的一个外角，
，即，
，
故答案为：．
12．如图，在中，，分别是边上的高和中线．若，的面积是，则的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的定义，先根据的面积求得，再由三角形中线的定义即可求出．
【详解】解：边上的高，，的面积是，
，即，
，
是边上的中线，
，
故答案为：8．
13．如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则阴影部分的面积等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了中线的性质．熟练掌握中线将大三角形分成两个面积相等的小三角形是解题的关键．
由中线的性质可得，，则，进而可求阴影面积．
【详解】解：∵点分别为边的中点，
∴，，
∴，
∴（），
故答案为：．
14．如图，，分别是的高线和角平分线，且相交于点，若，则的度数是 ．
【答案】/55度
【分析】根据角平分线的定义和高线的定义分别计算和的值，然后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，计算的度数即可．
【详解】解：∵，是的角平分线，
∴，
∵是的高线，即，
∴，
∴．
故答案为：．
15．如图，在中，和的角平分线交于点，延长BO与的外角平分线交于点，若，则 ．
【答案】
【分析】由是的平分线，为的外角平分线，可得，，则，根据，可得，然后计算求解即可．
【详解】解：∵是的平分线，为的外角平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，，
故答案为：．
16．如图，在中，平分，点在射线上，于，，，则的度数为 ．
【答案】/34度
【分析】由三角形外角的定义及性质可得，由角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义及性质可得，由垂线的定义可得，最后由三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】解：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．已知是的角平分线，是的BC边上的高，，，则的度数为 °．
【答案】或/50或70
【分析】分两种情况作出简图，结合三角形的内角和与外角性质即可求的度数．
【详解】解：①如图： ∵是的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴；
②如图， ∵是的高， ∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴；
故答案为：70或50．
18．如图所示，中，，延长到，与的角平分线相交于点，则的大小是 ，与的平分线相交于点，依此类推，与的角平分线相交于点，则的大小是 ．
【答案】
【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证，进而可求，由于，，，以此类推可知．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
即，
，
，
，
，
同法可得：，
以此类推．
故答案为：，．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，已知平分，，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数；
(3)当，，时，求点到直线的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（3）过作于，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
平分，
，
，
，
；
（3）解：过作于，
，
，
，
，
故点到直线的距离为．
20．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．
(1)将向左平移8格，再向下移1格．请在图中画出平移后的；
(2)利用网格在图中画出的中线；
(3)利用网格在图中画出的高线；
(4)的面积为____________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)8
【分析】本题考查的是作图-平移变换以及与三角形有关的线段：
（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可；
（2）根据格点的特点找到的中点D，即可画出的中线；
（3）根据格点的特点画出的高线即可；
（4）根据三角形面积公式即可得出结论
【详解】（1）解：如图，即为所作：
（2）解：如图，即为所作：
（3）解：如图，即为所作：
（4）解：的面积为，
故答案为：8
21．如图所示，在中，，边上的中线把三角形的周长分为和的两部分，求这个三角形的边的长．
【答案】或
【分析】方法1：设，，进而得出，再分两种情况，建立方程组求解，最后判定能否构成三角形．
方法2：设，进而表示出，，再分两种情况，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】解法1：设，，
∵点D是AC的中点，
∴，
∵AC边上的中线把三角形的周长分为和的两部分，
∴①，
解得，
∴，
②，
解得，
∴，
解法2、∵是的中线，
∴，
设，
∴，
∵边上的中线把三角形的周长分为和的两部分，
∴，
①当时，
∴，
∴，
∴，
②当时，
∴，
∴，
∴，
综上，为或．
22．如图，，相交于点O，若，，平分．
(1)求的度数．
(2)试探究是的平分线吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)是的平分线．理由见解析
【分析】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之
和等于是解题的关键．
（1）设，，根据角的倍数关系可得答案；
（2）先计算的度数，判断是否相等，即可说明理由．
【详解】（1）解：设，，
．
，
，
，
．
（2）是的平分线．
理由：，
．
平分，
，
，
是的平分线．
23．如图，中，是角平分线，，垂足为．
(1)已知，，求的度数；
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，最后再由，进行计算即可得出答案；
（2）设，则，由三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义得出，计算出，，即可得证．
【详解】（1）解：，，
，
是角平分线，
，
；
（2）证明：设，则，
，
是角平分线，
，
又，
，
，
，
．
24．如图，在直角三角形中，，是边上的高，，，．求：
(1)作出的边上的中线，并求出的面积；
(2)作出的边边上的高，当时，试求出的长．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，
【分析】本题考查了直角三角形面积的计算方法，三角形的高、中线的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质．
（1）找的中点，连接，则是的边上的中线，根据三角形中线的性质可得，即可求解；
（2）过点作，先根据，求出，再根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图，找的中点，连接，则是的边上的中线，
在直角三角形中，，，，
，
是的中线，
；
（2）如图，过点作，则为的边边上的高，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
25．如图，，点是直线上一点，点是平行线、内部一点，连接、．
(1)如图1，当，，求的度数；
(2)如图2，平分，平分，与相交于点，求证：；
(3)如图3，平分，平分，过点作，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，明确角度之间的数量关系是解题的关键．
（1）过点作，由平行线的性质得出，，根据，计算求解即可；
（2）根据（1）中的结论先得到：，，再由角平分线的定义即可得出结论；
（3）作的角平分线交于点，由邻补角的角平分线互相垂直得到，由根据两直线平行，同旁内角互补得到与的关系，再由（2）题的结论即可得出与的数量关系即可．
【详解】（1）解：如图1所示，过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的度数为；
（2）证明：由（1）得：，
同理：，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如图3，作的角平分线交于点，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
由（2）得：，
．
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1.1.2 三角形的高、中线、角平分线七大题型（一课一练）
【同步习题】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列各图形中，哪个图形中的是的高（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点G，交于点H，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
4．如图所示，在中，已知点、、分别是、、的中点，且的面积为64，则的面积是（ ）．
A．18 B．16 C．14 D．12
5．如图，在，，，四个点中，有一个点是的重心，请你用刻度尺确定这个点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．如图，直线分别交于点B，D，连接，若平分，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．现有下列结论：①同旁内角相等，两直线平行；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形的中线和高都是线段；④三角形的一条角平分线将三角形分成面积相等的两部分；⑤钝角三角形最多有一个锐角．其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．共享单车是一种低碳环保的出行方式，图①是某品牌共享单车，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，平分，，则当为（ ）度时，与平行．
A．69 B．64 C．59 D．52
9．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
10．如图，在中，，点、分别在、的延长线上，、、的平分线相交于点．对于以下结论：①；②；③；④与互余．其中一定正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，是边上的高，平分，，则的度数为 ．
12．如图，在中，，分别是边上的高和中线．若，的面积是，则的长为 ．
13．如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则阴影部分的面积等于 ．
14．如图，，分别是的高线和角平分线，且相交于点，若，则的度数是 ．
15．如图，在中，和的角平分线交于点，延长BO与的外角平分线交于点，若，则 ．
16．如图，在中，平分，点在射线上，于，，，则的度数为 ．
17．已知是的角平分线，是的BC边上的高，，，则的度数为 °．
18．如图所示，中，，延长到，与的角平分线相交于点，则的大小是 ，与的平分线相交于点，依此类推，与的角平分线相交于点，则的大小是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，已知平分，，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数；
(3)当，，时，求点到直线的距离．
20．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．
(1)将向左平移8格，再向下移1格．请在图中画出平移后的；
(2)利用网格在图中画出的中线；
(3)利用网格在图中画出的高线；
(4)的面积为____________．
21．如图所示，在中，，边上的中线把三角形的周长分为和的两部分，求这个三角形的边的长．
22．如图，，相交于点O，若，，平分．
(1)求的度数．
(2)试探究是的平分线吗？请说明理由．
23．如图，中，是角平分线，，垂足为．
(1)已知，，求的度数；
(2)若，求证：．
24．如图，在直角三角形中，，是边上的高，，，．求：
(1)作出的边上的中线，并求出的面积；
(2)作出的边边上的高，当时，试求出的长．
25．如图，，点是直线上一点，点是平行线、内部一点，连接、．
(1)如图1，当，，求的度数；
(2)如图2，平分，平分，与相交于点，求证：；
(3)如图3，平分，平分，过点作，请直接写出与的数量关系．
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