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1.1.3 三角形的内角和定理七大题型（一课一练）
【同步习题】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，，，相交于点，如果，，那么的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，得到，由三角形内角和定理，即可求出的度数．
【详解】解：，
，
，，
．
故选：D．
2．如图，在中，．现分别作出边上的高和的平分线．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了角的计算，关键是正确作出辅助线．
首先计算出的度数，再计算出的度数，利用角的和差关系可得答案．
【详解】如图所示；分别作出边上的高和的平分线．
在中，，
平分，
，
在中，，
，
故选：C．
3．如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查四边形的内角和，三角形内角和，根据四边形的内角和为及三角形内角和，就可求出这一始终保持不变的性质．解决本题的关键是熟记翻折的性质．
【详解】解：，
理由：如图：延长，交于一点N，由翻折性质，知道点N与点A关于对称
则在四边形中，，
因为把纸片沿折叠，
所以，
因为，
则，
∴可得．
故选：B．
4．如图，已知直线，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据三角形的内角和定理得到的度数，然后根据平行线的性质得到的度数，再根据角的和差解题即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选D．
5．健康骑行逐渐受到人们喜欢，图1是便携式折叠自行车，图2是其示意图． ， ，平分．若，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得，，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故选：C．
6．两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点P，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由直角三角形的性质求出，从而得出，然后由三角形外角性质得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
7．如图，直线，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．由，利用两直线平行，同位角相等得到一对角相等，由的度数求出的度数，再由对顶角相等，由的度数求出的度数，利用三角形的内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴．
故选：．
8．在中，，，的角平分线相交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义，首先利用三角形的内角和求出，再根据，的角平分线相交于点O，求出得结果，再利用三角形的内角和求出的度数是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，的角平分线相交于点O，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
9．如图，已知，，，，则（ ）
A．60° B．80° C．90° D．100°
【答案】C
【分析】连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，得到∠FAB=4x，∠FCD=4x，根据平行线性质得出∠CAB+∠ACD=180°，从而得到x+y=30°，再根据∠AEC=180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC）得到结果．
【详解】解：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，
∴∠EAB=3x，∠ECD=3x，
∴∠FAB=4x，∠FCD=4x，
∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACD=180°，
∵∠AFC=120°，
∴∠FAC+∠FCA=180°-120°=60°，
∴∠FAC+∠FCA+∠FAB+∠FCD=180°，即60+4x+4y=180°，
解得：x+y=30°，
∴∠AEC
=180°-（∠EAC+∠ECA）
=180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC）
=180°-（x+y+60°）
=90°
故选C．
10．如图，在中，，，分别平分和，且相交于F，，于点G，则下列结论①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断结论①；只需要证明，，即可判断结论③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断结论④⑤；根据现有条件无法推出结论②．
【详解】解：∵平分，
∴，，
∵，
∴，故结论①正确；
∵，，，
∴，，即，
∴，
又∵，
∴，故结论③正确；
∵，
∴，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
∴，
∴，故结论④正确；
∵，
∴，故结论⑤正确；
若平分，而，
∴，与题干条件不相符，故结论②错误．
故选C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，，，，则 ．
【答案】
【分析】根据三角形的内角和等于，得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出的度数．
【详解】解：∵，
又∵，，
∴，
解得：，
∵，
∴．
故答案为：
12．如图，已知，，点在直线上．射线交直线于点，若，则 度．
【答案】50
【分析】
本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，以及对顶角相等，先利用平行线的性质求出，再利用三角形内角和定理得出，最后根据对顶角相等即可得出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
故答案为：50．
13．如图，在中，分别是的高线和角平分线，若与构成的角为，则 度．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，由，可得出，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数， 结合， 可求出的度数， 由平分， 利用角平分线的定义，可求出的度数， 再在中，利用三角形内角和定理， 即可求出的度数，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
在中， ， ，
∴，
∴，
∵平分，
∴
在中，，
∴
故答案为：．
14．如图，有一张三角形纸片，已知，将△ABC沿折叠，得到，，与相交于点F，当时，则的度数 ．
【答案】/29度
【分析】本题考查三角形的折叠问题．根据折叠得到，平行得到，利用，求出的度数，再利用三角形的外角，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
由折叠性质可得：
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴；
故答案为：．
15．如图，是一把椅子的侧面图，椅面与地面平行，， ，则 ．
【答案】/50度
【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，先求出的度数，再根据平行线的性质，求出的度数即可．
【详解】解：∵， ，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16．如图，中，是的平分线，中，是边上的高，又有，则的度数为 ．
【答案】/45度
【分析】设∠A=x，则∠EDA=∠CDB=5x，构建方程求出x，再求出∠CDE，∠DCE，∠BCA即可解决问题．
【详解】解：设∠A=x，则∠EDA=∠CDB=5x，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴6x=90°，
∴∠A=x=15°，∠EDA=∠CDB=75°，
∴∠CDE=180°-75°-75°=30°，
∵ 是的平分线，
∴∠BCD=∠DCE=60°，
∴∠ACB=120°，
∴∠B=180°-120°-15°=45°．
故答案为45°．
17．如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了 ．
【答案】三角形内角和等于180°
【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答．
【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向，
∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，
∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C，
∵笔尖方向变为点B到点A的方向，
∴旋转角度之和为180°，
∴这种变化说明三角形内角和等于180°．
故答案为：三角形内角和等于180°．
18．如图，在中，和的平分线相交于点O，将沿折叠，使点A落在点O处，若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】根据折叠的性质得到，再由平角的定义结合已知条件得到，则由三角形内角和定理得到，即可利用角平分线的定义和三角形内角和定理得到，则．
【详解】解：由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵和的平分线相交于点O，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，已知∠1＝∠BDE，∠2＋∠3＝180°
(1)证明：ADEF．
(2)若DA平分∠BDE，FE⊥AF于点F，∠1＝40°，求∠BAC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)70°
【分析】（1）根据平行线的判定得出ACDE，根据平行线的性质得出∠2=∠ADE，求出∠3+∠ADE=180°，根据平行线的判定得出即可；（2）求出∠BDE的度数，求出∠2的度数，根据平行线的性质求出∠DAB=∠F=90°，再求出答案即可．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠BDE，
∴ACDE，
∴∠2=∠ADE，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠3+∠ADE=180°，
∴ADEF；
（2）解∶ ∵∠1=∠BDE，∠1=40°，∴∠BDE=40°，∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠BDE=20°，
∴∠2=∠ADE=20°，
∵FE⊥AF，
∴∠F=90°，由（1）得，ADEF，
∴∠BAD=∠F=90°，
∴∠BAC=∠BAD-∠2=90°-20°=70°．
20．如图，和是分别沿着，边翻折形成的．若．求的度数．
【答案】
【分析】首先根据三角形内角之比得出三个内角的度数，然后根据翻折的两个三角形是全等三角形，由对应角相等得出，的度数；再根据三角形外角的性质得出答案即可．
【详解】解：根据题意设，则，，
则，
解得，
则，，，
由折叠的性质可知：，
，，
，，
．
21．如图，点A在MN上，点B在PQ上，连接AB，过点A作交PQ于点C，过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，且．
(1)求证：；
(2)若，求∠ADB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，利用三角形内角和．根据，得出，根据平行线判定定理即可得出结论；
（2）根据 ，得出方程，解方程求出，根据BD平分，求出，再根据余角性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
∵BD平分，
∴，
∵，
∴．
22．如图，中，．
（1）根据要求画图：过点画的垂线段，交于点．
（2）请在（1）的基础上回答下列问题：
①与的大小关系为__________．理由是____________________；
②图中线段__________的长度表示点到直线的距离．
【答案】（1）画图见解析；（2）① 同角的余角相等；②．
【分析】（1）利用三角尺或量角器过点画的垂线段即可；
（2）①由 可得： 从而可得答案；②由，从而可得答案．
【详解】解：（1）如图，即为所求作的垂线段，
（2）①
（同角的余角相等）
故答案为：，同角的余角相等．
②
图中线段的长度表示点到直线的距离．
故答案为：
23．如图，是的高，是的角平分线，是中点，，．
(1)求的度数；
(2)若与的周长差为3，，能否求出的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答．
【答案】(1)
(2)能，，理由见解析
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高．
（1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可；
（2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）解：是的高，
，
，
，
是的角平分线，，
，
；
（2）解：能，，理由如下：
是中点，
，
与的周长差为3，
，
，
，
，
24．如图甲所示，已知点在直线上，点，在直线上，且，平分．
(1)判断直线与直线是否平行，并说明理由．
(2)如图乙所示，是上点右侧一动点，的平分线交的延长线于点，设，
①若，，求的度数．
②点在运动过程中，请直接写出和的数量关系．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)①∠Q=50°；②α=β
【分析】（1）根据平行线的判定定理解答即可；
（2）①依据∠HEG=40°，即可得到∠FEG=70°，依据QG平分∠EGH，即可得到∠QGH=∠QGE=20°，根据∠Q=∠FEG-∠EGQ进行计算即可；
②根据∠FEG是△EGQ的外角，∠AEG是△EGH的外角，即可得到∠Q=∠FEG-∠EGQ，∠EHG=∠AEG-∠EGH，再根据FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH，即可得出∠FEG=∠AEG，∠EGQ=∠EGH，最后依据∠Q=∠FEG-∠EGQ进行计算，即可得到α=β．
【详解】（1）直线AB与直线CD平行，理由：
∵EF平分∠AEG，
∴∠AEF=∠GEF，
又∵∠EFG=∠FEG，
∴∠AEF=∠GFE，
∴AB∥CD；
（2）①∵∠HEG=40°，
∴∠FEG=（180°-40°）=70°，
又∵QG平分∠EGH，
∴∠QGH=∠QGE=20°，
∴∠Q=∠FEG-∠EGQ=70°-20°=50°；
②点H在运动过程中，α和β的数量关系不发生变化，
∵∠FEG是△EGQ的外角，∠AEG是△EGH的外角，
∴∠Q=∠FEG-∠EGQ，∠EHG=∠AEG-∠EGH，
又∵FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH，
∴∠FEG=∠AEG，∠EGQ=∠EGH，
∴∠Q=∠FEG-∠EGQ
=（∠AEG-∠EGH）
=∠EHG，
即α=β．
25．中，是的角平分线，是的高．
(1)如图1，若，请说明的度数；
(2)如图2（），试说明、、的数量关系；
(3)如图3，延长到点F，和的角平分线交于点G，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题为与三角形有关的角平分线，高线的计算等知识，考查了三角形的内角和定理，外角定理，直角三角形两锐角互余等知识．
（1）根据三角形内角和定理求出， 根据角平分线的定义求出，根据三角形外角定理求出，根据直角三角形两锐角互余即可求出；
（2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形外角定理求出，根据直角三角形两锐角互余即可求出；
（3）根据角平分线的定义求出，根据三角形外角定理得到进行等量代换即可求解．
【详解】（1）解：如图1，∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵是的高，
∴，
∴；
（2）解：．
证明：如图2，在中，，
∵是的角平分线，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵是的高，
∴，
∴；
（3）解：∵、分别是和的角平分线，
∴，
∵是的外角，是的外角，
∴
．
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1.1.3 三角形的内角和定理七大题型（一课一练）
【同步习题】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，，，相交于点，如果，，那么的度数是( )
A． B． C． D．
2．如图，在中，．现分别作出边上的高和的平分线．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，已知直线，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．健康骑行逐渐受到人们喜欢，图1是便携式折叠自行车，图2是其示意图． ， ，平分．若，，则
A． B． C． D．
6．两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点P，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，的角平分线相交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知，，，，则（ ）
A．60° B．80° C．90° D．100°
10．如图，在中，，，分别平分和，且相交于F，，于点G，则下列结论①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，，，，则 ．
12．如图，已知，，点在直线上．射线交直线于点，若，则 度．
13．如图，在中，分别是的高线和角平分线，若与构成的角为，则 度．
14．如图，有一张三角形纸片，已知，将△ABC沿折叠，得到，，与相交于点F，当时，则的度数 ．
15．如图，是一把椅子的侧面图，椅面与地面平行，， ，则 ．
16．如图，中，是的平分线，中，是边上的高，又有，则的度数为 ．
17．如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了 ．
18．如图，在中，和的平分线相交于点O，将沿折叠，使点A落在点O处，若，则的度数为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，已知∠1＝∠BDE，∠2＋∠3＝180°
(1)证明：ADEF．
(2)若DA平分∠BDE，FE⊥AF于点F，∠1＝40°，求∠BAC的度数．
20．如图，和是分别沿着，边翻折形成的．若．求的度数．
21．如图，点A在MN上，点B在PQ上，连接AB，过点A作交PQ于点C，过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，且．
(1)求证：；
(2)若，求∠ADB的度数．
22．如图，中，．
（1）根据要求画图：过点画的垂线段，交于点．
（2）请在（1）的基础上回答下列问题：
①与的大小关系为__________．理由是____________________；
②图中线段__________的长度表示点到直线的距离．
23．如图，是的高，是的角平分线，是中点，，．
(1)求的度数；
(2)若与的周长差为3，，能否求出的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答．
24．如图甲所示，已知点在直线上，点，在直线上，且，平分．
(1)判断直线与直线是否平行，并说明理由．
(2)如图乙所示，是上点右侧一动点，的平分线交的延长线于点，设，
①若，，求的度数．
②点在运动过程中，请直接写出和的数量关系．
25．中，是的角平分线，是的高．
(1)如图1，若，请说明的度数；
(2)如图2（），试说明、、的数量关系；
(3)如图3，延长到点F，和的角平分线交于点G，求的度数．
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