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1.1.4 三角形的外角和定理七大题型（一课一练）
【同步习题】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角，第二次拐角，为了保持公路与平行，则第三次拐角的度数应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质定理及三角形的外角性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
延长，交于点F，根据平行线的性质，得出，再根据，可得，根据进行计算即可．
【详解】
如图，延长，交于点F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选C．
2．将一副三角板按照如图方式摆放，点共线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，根据，，求得，再根据三角形外角的性质即可求解，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，
是的一个外角，
，
故选A．
3．一个三角形的其中两个外角分别是和，则可知第三只外角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据题意求出三角形的两个内角，再根据外角的定义求出结果即可．
【详解】解：由题意可知：角形的其中两个内角和，
∴第三只外角的度数是，
故选：C．
4．如图，已知为的平分线．若，比大，求的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的定义及三角形的外角的性质，熟练应用三角形外角的性质是解题的关键．先由平分，可得，由比大，可得，再根据三角形外角即可求解．
【详解】解：平分，且，
，
比大，
，
，
．
故选：．
5．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由题意知，，由平行线的性质可得，，即，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
由平行线的性质可得，，即，
∴，
故选：C．
6．如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后图形全等．借助可得，根据即可求解．
【详解】解：∵沿折叠；使点B落在点处，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
7．已知直线，将一块直角三角板（其中是，是）按如图所示方式放置，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，由题意得，进而可得，然后根据平行线的性质可求解．
【详解】解：如图所示：
∵，，
∴，
∵是直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
8．如图，是中的平分线，是的外角的平分线．如果，，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义可得，，即有，，再根据三角形外角的定义与性质即可作答．
【详解】∵是中的平分线，是的外角的平分线，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故选：A．
9．如图，在中，，的平分线交于点D，点P是射线边上的动点，连接交于M，若，，则的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质；根据点P是射线边上的动点分类讨论并计算即可；准确地画出图形并根据相关性质计算是关键．
【详解】解：当点P在边上时，
的平分线交于点D，
，
是的一个外角
当点在的延长线上时，
是的一个外角
的度数是或
故选：D．
10．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义得，根据三角形外角的性质得，继而得到，可判断结论①；根据平行线的性质得，根据角平分线的定义得，再根据，可判断结论②；根据角平分线的定义得，由平角定义得，根据三角形外角的性质得，可推出，根据三角形三角和定理得，可判断结论③；根据角平分线的定义得，，由平行线的性质得，，得到，，可推出，可判断结论④；⑤由④得，，由平行线的性质得，继而得到，可判断结论⑤，即可得解．
【详解】解：①∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故结论①正确；
②∵，
∴，
∵平分，，
∴，故结论②正确；
③∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故结论③正确；
④∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故结论④正确；
⑤由④得，，
∵，
∴，
∴，故结论⑤不正确；
∴正确的结论有个．
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，，，平分，则的度数为 °．
【答案】75
【分析】本题考查了角平分线的意义和三角形外角的性质，先根据角平分线的意义得出，再根据三角形的外角等于与它不相邻的内角的和求解即可．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
故选：75．
12．如图，在中，射线是外角的角平分线，，已知，则 ．
【答案】/68度
【分析】根据射线是外角的角平分线，得到，根据
，得到，得到，利用三角形内角和定理计算即可．
本题考查了角的平分线，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】∵射线是外角的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ．
【答案】/40度
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据平行线的性质可得，然后利用三角形外角的性质进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．如图，已知四边形中，为上一点，连接、，与的延长线交于点，，，则的度数为 ．
【答案】/50度
【分析】题目主要考查平行线的性质及三角形外角的定义，对顶角相等，理解题意，找出各角之间的关系是解题关键．
设，则，结合图形得出，再由平行线的性质确定，根据三角形外角的定义得出，利用对顶角相等即可求解，然后代入计算即可．
【详解】解：设，则，
∴，
∵，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
15．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是 ．
【答案】/92度
【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解题的关键．延长交于，由三角形的外角性质得，再由平行线的性质得出即可．
【详解】解：如图，延长交于，
，
．
，
，
故答案为：．
16．如图，在中，的平分线与的补角平分线相交于点，的补角平分线与的补角平分线相交于点，则 度．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，利用角平分线定义和三角形外角的性质可探究出，利用角平分线定义和三角形内角和定理可探究出，即可求解．
【详解】解：如图，
∵的平分线与的补角平分线相交于点，
∴，，
∵，，
∴，
∵的补角平分线与的补角平分线相交于点，
∴，，
∴
，
∴，
故答案为：．
17．如图，平面上六个点构成一个封闭折线图形．则 ．
【答案】/180度
【分析】此题考查三角形外角的性质以及三角形的内角和定理，由三角形外角的性质得出：，，再进一步利用三角形的内角和得出答案即可．
【详解】解：如图，
，，
，
故答案为：．
18．如图，中，，，点D是三个内角平分线交点，延长到点G，与的平分线交于点E，若，则 ．
【答案】/72度
【分析】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角定理等，熟练掌握角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角定理是解决问题的关键．
先由三角形的外角定理得，再根据角平分线的定义及邻补角的定义得，然后根据得，进而得，由此可得值．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
即，
整理得：，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，是的角平分线，，，求的度数．
【答案】
【分析】根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论．此题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
【详解】解：∵．
∴，
∵是角平分线，
∴，
在中，．
20．在中，是高线，是角平分线，它们相交于点O，，，求与的度数．
【答案】，
【分析】由三角形内角和可求，由是角平分线，可得 ，，则，，由是高线，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∵是角平分线，
∴ ，，
∴，，
∵是高线，
∴，即，
∴，
∴，．
21．如图1，中，，为的外角的平分线．
(1)若，求证：；
(2)如图2，若的平分线交的延长线于点，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、角平分线的定义、平行线的判定等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由三角形外角的定义及性质得出，由角平分线的定义得出，即可得证；
（2）由角平分线的定义得出，设，则，结合三角形外角的定义及性质计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，且，
∴．
∵为的外角的平分线，
∴．
∴．
∴．
（2）解：∵的平分线交的延长线于点，
∴．
设，则．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
22．如图，有一块直角三角板（足够大），其中，把直角三角板放在锐角上，三角板的两边恰好分别经过点C，B，且点A在直线的右侧．
(1)若，，求的度数；
(2)请直接写出，与之间存在的数量关系．
【答案】(1)；
(2)（或其变形）
【分析】本题考查了三角形的外角的性质：
（1）连接，延长交于，是的外角，是的外角，，，进而可求解；
（2）同（1）中过程即可求解；
熟练掌握“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．
【详解】（1）解：连接，延长交于，如图：
是的外角，是的外角，
，，
，
即：，
，，，
．
（2）由（1）可知：
， 即，
．
23．已知：如图1，在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段，连接．
(1)当时，请说明．
(2)如图2，当在上方时，且时，求与的度数．
(3)在整个运动中，当垂直三角形中的一边时，求出所有满足条件的的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了平行线的性质，平移的性质，三角形的外角性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由平移的性质可得，可得，可得结论；
（2）由平行线的性质可得，由外角的性质可得，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由平行线的性质可求解．
【详解】（1）证明：将线段沿直线平移得到线段，
，
，
，
；
（2）解：将线段沿直线平移得到线段，
，
，
，
，
，
；
（3）如图2，当时，
，
，
，
，
，
；
如图3，当时，
，
，
③如图4，当时，
，
，
，
，
综上所述：或或．
24．如图，四边形中，点E和点F和分别为边和上的点，并且．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)若是的角平分线，，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】此题考查了三角形的内角与外角、平行线的判定，熟记三角形的外角性质是解题的关键．
（1）根据同位角相等，即可证明两直线平行；
（2）根据三角形的外角性质得出，结合题意得到，进而得到，即可判定；
（3）根据“两直线平行，同位角相等”得到，继而得出，由（2）知，根据角平分线的定义得出．
【详解】（1）解：，
．
（2），理由如下：
，
，
，
，
；
（3），
，
，
，
，
，
由（2）知，，
，
∵是的角平分线，
．
25．综合运用
（1）如图1，，点在直线、之间，连接、．若，，求的大小；
（2）如图2，、、交于点，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，，、分别平分和，且、所在直线交于点，过点作，若，求的度数．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题考查与角平分线有关的角的运算，平行公理及推论，平行线的性质．
（1）过点作，进而根据平行公理推论即可得到，再根据平行线的性质得到，，进而结合题意进行角的运算即可求解；
（2）延长到N，利用（1）的结论可得：，再利用平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答；
（3）延长交于点P，利用（2）的结论可得：，从而可得，再利用角平分线的定义可得，，然后利用平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，最后根据对顶角相等可得，从而利用等量代换可得，进行计算即可解答．
【详解】解：（1）过点E作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴的度数为；
（2），
理由：延长到N，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴；
（3）延长交于点P，
由（2）可得：，
∵，
∴，
∵，分别平分，，
∴，，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴
，
∴的度数为．
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1.1.4 三角形的外角和定理七大题型（一课一练）
【同步习题】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角，第二次拐角，为了保持公路与平行，则第三次拐角的度数应为（ ）
A． B． C． D．
2．将一副三角板按照如图方式摆放，点共线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．一个三角形的其中两个外角分别是和，则可知第三只外角的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知为的平分线．若，比大，求的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线，将一块直角三角板（其中是，是）按如图所示方式放置，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是中的平分线，是的外角的平分线．如果，，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，的平分线交于点D，点P是射线边上的动点，连接交于M，若，，则的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
10．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，，，平分，则的度数为 °．
12．如图，在中，射线是外角的角平分线，，已知，则 ．
13．将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ．
14．如图，已知四边形中，为上一点，连接、，与的延长线交于点，，，则的度数为 ．
15．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是 ．
16．如图，在中，的平分线与的补角平分线相交于点，的补角平分线与的补角平分线相交于点，则 度．
17．如图，平面上六个点构成一个封闭折线图形．则 ．
18．如图，中，，，点D是三个内角平分线交点，延长到点G，与的平分线交于点E，若，则 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，是的角平分线，，，求的度数．
20．在中，是高线，是角平分线，它们相交于点O，，，求与的度数．
21．如图1，中，，为的外角的平分线．
(1)若，求证：；
(2)如图2，若的平分线交的延长线于点，求的度数．
22．如图，有一块直角三角板（足够大），其中，把直角三角板放在锐角上，三角板的两边恰好分别经过点C，B，且点A在直线的右侧．
(1)若，，求的度数；
(2)请直接写出，与之间存在的数量关系．
23．已知：如图1，在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段，连接．
(1)当时，请说明．
(2)如图2，当在上方时，且时，求与的度数．
(3)在整个运动中，当垂直三角形中的一边时，求出所有满足条件的的度数．
24．如图，四边形中，点E和点F和分别为边和上的点，并且．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)若是的角平分线，，求的度数．
25．综合运用
（1）如图1，，点在直线、之间，连接、．若，，求的大小；
（2）如图2，、、交于点，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，，、分别平分和，且、所在直线交于点，过点作，若，求的度数．
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