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1.2 全等三角形七大题型（一课一练）
【同步习题】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列命题中是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【答案】B
【分析】本题考查了命题与定理的知识，根据对顶角的性质，数的整除以及平行线的判定与性质进行判断即可
【详解】解：A. 对顶角相等，是真命题，故本选项不符合题意；
B. 如果一个数能被2整除，那么它不一定能被4整除，比如，2能被2整除，但不能被4整除，所以是假命题，故本选项符合题意；
C. 两直线平行，同位角相等，是真命题，故本选项不符合题意；
D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是真命题，故本选项不符合题意；
故选：B
2．在下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义逐一判断即可求解，熟记：“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是解题的关键．
【详解】
解：属于全等图形，
故选A．
3．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形 B．两个全等三角形的面积不一定相等
C．周长相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形
【答案】A
【分析】根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，故本选项正确；
B、两个全等三角形的面积一定相等，故本选项错误；
C、周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，故本选项错误；
D、所有的等边三角形形状都相同，大小与边长有关，边长不相等，则不能够重合，所以不一定是全等三角形，故本选项错误．
故选：A．
4．如图，已知，，，则的长度可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的三边关系，根据得出对应边相等，即得出，．结合三角形的三边关系列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
即
四个选项满足这个范围的是B选项的3，
故选：B．
5．如图，沿边所在直线向右平移得到，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了图形的平移，全等三角形的判定和性质，掌握图形平移的性质是解题的关键．
根据图形平移是改变图形的位置，不改变其大小，对应边相等，对应角相等，由此即可求解．
【详解】解：根据平移，，则A正确，不符合题意；
根据对应角相等，则，则B正确，不符合题意；
根据平移的性质，，则，C正确，不符合题意；
根据平移可得，，与不一定相等，则D错误，符合题意；
故选： D．
6．如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角即可得到答案．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】
观察图像可知：
和中
∴光线b与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角．
故选：B．
7．如图，已知点在上，点在上，，且，若．则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质，，，又，，在中根据内角和定理求解．
【详解】
解：，
，，
，
，
又，
，，，
，
故选：C．
8．已知，，，若的周长为偶数，则的取值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．2或4或5
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，以及三角形的三边关系．首先根据得到，，然后利用三角形三边关系得到，然后利用的周长为偶数求解即可．
【详解】解：∵
∴，，
∴，即
∴的周长为
∵的周长为偶数
∴为偶数
∴为偶数
∴．
故选：B．
9．如图，锐角中，、分别是、边上的点，，，且，、交于点．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，，由全等三角形的对应角相等得到，，，利用外角的性质得到，，利用平行线的性质得出，，再利用三角形内角和定理求出结果．
【详解】解：设，，
，，
，，，
，．
，
，，
，即．
则．
，
．
故选：C．
10．已知，其中．点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒．
①若，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍；
②当P、Q两点同时到达A点时，；
③若时，与垂直；
④若与全等，则或．
以上说法正确的选项为（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出点P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③分2种情况求出x的值可判断④．
【详解】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为 t 秒，
∴点P运动路程为，
若，则点Q运动路程为，
∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确；
②当P点到达A点时，秒，
∵P、Q两点同时到达A点，
∴，故②正确；
③如图所示，
当，时，
点P运动的路程为，点Q运动的路程为，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴和不全等，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与不垂直，故③错误；
④当时，则，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，则，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴若与全等，则或，故④正确．
综上所述，正确的选项为①②④．
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．要判断命题“一个正数的立方根小于它的算术平方根”是假命题，请你举出一个反例，这个数可以是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】找到一个立方根大于或等于它的算术平方根的数即可．
【详解】解：1的立方根是1，算术平方根也是1，
∴该命题是假命题，
故答案为：1（答案不唯一）．
12．如图，在的正方形网格中标出了和，则 度．
【答案】
【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解．
【详解】解：如图，连接、，，，，
由图可知，在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．如图，已知，，，，则 ．
【答案】/100度
【分析】根据全等三角形的性质可得，再求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】，
，
，，
，
．
故答案为：
14．如图，这是纸飞机的示意图，在折纸的过程中，使得与能够重合．如果，，那么 ．
【答案】90
【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，熟练使用全等三角形的对应角相等和三角形的内角和定理是解题的关键．
【详解】解：与能够重合
，
故答案为：．
15．如图，在锐角中，分别是边上的点，，，且交于点F．若，则的大小是 ．
AI
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的．
由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
则．
∵，
∴．
故答案为：．
16．如图，，的延长线交于F，交于G，，，，则的度数为 ．
【答案】/70度
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵，，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．两个全等的直角三角形重叠在一起． 将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为2．则阴影部分面积为 ．
【答案】7
【分析】先根据全等三角形的性质可得，再根据平移的性质可得，，从而可得，然后根据阴影部分的面积等于直角梯形的面积即可得．
【详解】解：由题意得：，，
，，
四边形是直角梯形，
由平移的性质得：，，
，
，
则阴影部分面积为
，
故答案为：7．
18．如图，在中，，，，是的中点．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为（）．设点的运动速度为，若使得与全等，则的值为 ．
【答案】2或
【分析】表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论，即可获得答案．
【详解】解：∵，，点为的中点，
∴，
∵点、的运动时间为，则，，
①当时，则有，
解得，
则，
故点的运动速度为：；
②当时，则有，
∵，
∴，
∴，
故点的运动速度为．
综上所述，的值为2或．
故答案为：2或．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图为4×4的正方形网格，的三个顶点均在小正方形的顶点上．在图1．图2中分别画和，使得和都与全等，（要求：D点和E点的位置不相同）
【答案】见解析
【分析】此题考查了轴对称作图，全等三角形的性质，正确掌握全等三角形的性质利用轴对称作图是解题的关键．
【详解】如图，和即为所求．
．
20．如图，已知，点E在上，与交于点F．
(1)若，，求的长；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和的定理．
（1）利用全等的性质即可求出，然后根据线段的和差即可求出．
（2）利用全等的性质求出，然后根据三角形的内角和定理即可求出，然后利用角的和差即可求出．
【详解】（1）（1）∵，，
∴，
∴．
（2）∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴.
21．如图，点A、D、C、F在同一直线上，．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等，熟记性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形对应角相等可得，再根据三角形的内角和定理求出的度数；
（2）根据全等三角形对应边相等可得，然后直接计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在中，；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴
22．如图，已知，点D在的延长线上，点E在上，连接并延长交于点F．
(1)求证：．
(2)若点F为线段的中点，的面积为10，的面积为6，则四边形的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形中线的性质；
（1）根据全等三角形的性质可得，等量代换求出，可得，问题得证；
（2）根据三角形中线的性质求出，根据全等三角形的性质可得，进而求出四边形的面积．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，点D在BC的延长线上，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）∵点F为线段的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积，
故答案为：．
23．如图，已知，点E在边上，与交于点F．
(1)若 ，，求线段的长；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)20
(2)
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质．
（1）由全等三角形的性质得到，，求出的长，即可得到长．
（2）由全等三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，由对顶角的性质得到．
【详解】（1）解：，
，，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
．
24．如图所示，E为线段上一点，．
(1)试猜想线段与满足什么条件时，能保证，并证明你的结论；
(2)猜想的数量关系．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理：
（1）当时，则，进而得到，由全等三角形的性质得到，则，进一步可得，即．
（2）由全等三角形的性质可得，，进而可得．
【详解】（1）解：．理由如下：
设，则，
∴．
，
，
，
，
．
（2）解：．理由如下：
，
，，
，
．
25．如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．
(1)______．（用的代数式表示）
(2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当或2时与全等．
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质．
（1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长；
（2）此题主要分两种情况①当，时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．
【详解】（1）解：依题意，得
∴．
故答案为：；
（2）解：①当，时，，
∵，
∴，
∴，
，
解得：，
，
，
解得：；
②当时，，
∵，
∴，
，
解得：，
，
，
解得：．
综上所述：当或2时与全等．
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1.2 全等三角形七大题型（一课一练）
【同步习题】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列命题中是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
2．在下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形 B．两个全等三角形的面积不一定相等
C．周长相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形
4．如图，已知，，，则的长度可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，沿边所在直线向右平移得到，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知点在上，点在上，，且，若．则等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，若的周长为偶数，则的取值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．2或4或5
9．如图，锐角中，、分别是、边上的点，，，且，、交于点．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，其中．点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒．
①若，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍；
②当P、Q两点同时到达A点时，；
③若时，与垂直；
④若与全等，则或．
以上说法正确的选项为（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．要判断命题“一个正数的立方根小于它的算术平方根”是假命题，请你举出一个反例，这个数可以是 ．
12．如图，在的正方形网格中标出了和，则 度．
13．如图，已知，，，，则 ．
14．如图，这是纸飞机的示意图，在折纸的过程中，使得与能够重合．如果，，那么 ．
15．如图，在锐角中，分别是边上的点，，，且交于点F．若，则的大小是 ．
AI
16．如图，，的延长线交于F，交于G，，，，则的度数为 ．
17．两个全等的直角三角形重叠在一起． 将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为2．则阴影部分面积为 ．
18．如图，在中，，，，是的中点．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为（）．设点的运动速度为，若使得与全等，则的值为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图为4×4的正方形网格，的三个顶点均在小正方形的顶点上．在图1．图2中分别画和，使得和都与全等，（要求：D点和E点的位置不相同）
20．如图，已知，点E在上，与交于点F．
(1)若，，求的长；
(2)若，，求的度数．
21．如图，点A、D、C、F在同一直线上，．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的长．
22．如图，已知，点D在的延长线上，点E在上，连接并延长交于点F．
(1)求证：．
(2)若点F为线段的中点，的面积为10，的面积为6，则四边形的面积为______．
23．如图，已知，点E在边上，与交于点F．
(1)若 ，，求线段的长；
(2)若，，求的度数．
24．如图所示，E为线段上一点，．
(1)试猜想线段与满足什么条件时，能保证，并证明你的结论；
(2)猜想的数量关系．
25．如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．
(1)______．（用的代数式表示）
(2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
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