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1.3.2 全等三角形模型九大题型（一课一练）
【同步习题】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，过点C作，垂足为点F，当时，BF的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
4．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为 边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）
A．118° B．125° C．136° D．124°
5．如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝1，AB＝，△AB'C'可以由△ABC绕点A逆时针旋转得到（B与B'对应，C与C'对应），连接CB'，且C、B'、C'恰好在同一条直线上，则CC'的长为（ ）
A．4 B． C． D．3
9．如图，已知：，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
10．如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（ ）
①△CDF≌△EBC；
②△CEF是等边三角形；
③∠CDF＝∠EAF；
④CE∥DF
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．
12．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ．
13．如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是 ．
14．如图， 是的角平分线，延长至点，使，若，， 则 ．
15．如图所示，在中，，则边上的中线的长取值范围是 ．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．
17．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则 ．
18．如图，中，，，，在上截取，使，过点作的垂线，交于点，连接，交于点，交于点，，则 .
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，已知是的中线，且．求证：．
20．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
21．如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于．
（1）证明：；
（2）试说明：；
（3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明；
（4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．
22．如图，，，分别平分和，经过点E．求证：．
23．如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．求证：．
24．如图，为等边的边延长线上的一动点，以为边向上作等边，连接．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数；
（3）与有怎样的数量关系？随着点位置的变化，与的数量关系是否会发生变化？请说明理由．
25．[问题]如图①，点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与有什么数量关系？
[探究]
探究一：如图②，若，则，即，，又因为平分，所以，理由是：_______．
探究二：若，请借助图①，探究与的数量关系并说明理由．
[结论]点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与的数量关系是______．
[拓展]已知：如图③，在中，，，平分．求证：．
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1.3.2 全等三角形模型九大题型（一课一练）
【同步习题】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解．
【详解】解：延长至，使，连接．
则，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
即，
，
故选：A．
2．如图，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，过点C作，垂足为点F，当时，BF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，，，得，根据，得，而，即得，又，可得，从而，即得，故；
【详解】解：如图：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
故选：D．
3．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解．
【详解】解：，，于，于，
，
，
又，，
．
，，
．
故选：C．
4．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为 边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）
A．118° B．125° C．136° D．124°
【答案】D
【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：在上截取，连接，如图：
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图：
∵，，
∴．
故选：D．
5．如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形的周长．
【详解】解：在线段AC上作AF=AB，
∵AE是的平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠D=∠CFE，
∵，
∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中
∵,
∴△CEF≌△CED（AAS）
∴CE=CF，
∴四边形的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=，
故选：B．
6．如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，构造一个新的三角形．根据三角形的三边关系就可以求解．
【详解】解：延长到E，使，
，
已知与的面积相等，
为的底边的中线，
，
在和中
，
，
，
，，
，
在中，，
，
，
；
故选：B
7．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
【答案】B
【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得．
【详解】解：如图，将关于AE对称得到，
则，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，即是直角三角形，
，
，
即与的面积之和为21，
故选：B．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝1，AB＝，△AB'C'可以由△ABC绕点A逆时针旋转得到（B与B'对应，C与C'对应），连接CB'，且C、B'、C'恰好在同一条直线上，则CC'的长为（ ）
A．4 B． C． D．3
【答案】A
【分析】连接BB′，根据旋转的性质得到AB＝AB′，AC＝AC′，∠C′＝∠ACB＝45°，B′C＝BC＝1，根据等腰三角形的性质得到∠ACC′＝∠C＝45°，求出∠CAC′＝∠BAB′＝90°，根据勾股定理得到BB′＝AB＝，根据勾股定理得到CB′＝3，于是得到结论．
【详解】解：如图，连接BB′，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴AB＝AB′，AC＝AC′，∠C′＝∠ACB＝45°，B′C＝BC＝1，
∴∠ACC′＝∠C′＝45°，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝90°，
∴BB′＝AB＝，
∵∠ACB＝∠ACC′＝45°，
∴∠BCB′＝90°，
∴CB′＝＝3，
∴CC′＝CB′+B′C′＝4．
故选：A．
9．如图，已知：，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】连接，如图，
在与中
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
10．如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（ ）
①△CDF≌△EBC；
②△CEF是等边三角形；
③∠CDF＝∠EAF；
④CE∥DF
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用“边角边”证明△CDF和△EBC全等，判定①正确；同理求出△CDF和△EAF全等，根据全等三角形对应边相等可得，判定△ECF是等边三角形，判定②正确；利用“8字型”判定③正确；若，则C、F、A三点共线，故④错误；即可得出答案．
【详解】在中，，，，
∵都是等边三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
，
∴，
在和中，，
∴，故①正确；
在中，设AE交CD于O，AE交DF于K，如图：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故②正确；
则，
若时，
则，
∵，
∴，
则C、F、A三点共线
已知中没有给出C、F、A三点共线，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③．
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解．
【详解】如图，过作轴于点，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴点坐标为，
故答案为：．
12．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ．
【答案】3
【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可．
【详解】解：过点作交延长线于点，
则∠DMC=90°=∠ABC，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故填．
13．如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是 ．
【答案】20°
【分析】延长至点E使，连接，证明是等边三角形，设，则，再证明，即可得到结果．
【详解】解：如图，延长至点E使，连接．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴设，则．在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案是．
14．如图， 是的角平分线，延长至点，使，若，， 则 ．
【答案】102°
【分析】在BC上截取BF＝AB，连DF，如图，先根据SAS证明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD，进而可得∠EDC＝∠FDC，然后可根据SAS证明△CDE≌△CDF，再根据全等三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：在BC上截取BF＝AB，连接DF，如图，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵BA=BF，∠ABD＝∠FBD，BD=BD，
∴△ABD≌△FBD（SAS），
∴DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD=78°，
∴∠FDC＝60°，∠DFC=102°，
又∵∠EDC＝∠ADB＝60°，
∴∠EDC＝∠FDC，
∵DE＝DF，∠EDC＝∠FDC，DC＝DC，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴∠E=∠DFC=102°；
故答案为：102°．
15．如图所示，在中，，则边上的中线的长取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的中线定义，全等三角形，三角形三边关系；倍长中线，构造全等三角形，在新的三角形中运用三边关系定理求解．延长到E，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可．
【详解】解：如图所示，延长到，且，并连接，
是中点，
，
又，
，
，
在中，
有，
，即，
．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．
【答案】3
【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论．
【详解】解：如图，连接AD．
在Rt△ADF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），
∴DF＝DC，
∵BD＝5，BC＝4，
∴CD＝DF＝5﹣4＝1，
∵EF＝BC＝4，
∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
17．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则 ．
【答案】
【分析】在CD上截取CG=CF，连接AG，可得，设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，再证明，进而即可求解．
【详解】解：在CD上截取CG=CF，连接AG，
∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°，
∴，
∴∠AGC=∠CFD，
设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，
∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°，
∴∠EAF=∠B，
∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB，
又∵AE=AB，
∴，
∴AF=BG=5x，
∴BD=BG-GD=4x，
∴．
18．如图，中，，，，在上截取，使，过点作的垂线，交于点，连接，交于点，交于点，，则 .
【答案】
【分析】过点D作DM⊥BD，与BF延长线交于点M，先证明△BHE≌△BGD得到∠EHB=∠DGB，再由平行和对顶角相等得到∠MDG=∠MGD，即MD=MG，在△△BDM中利用勾股定理算出MG的长度，得到BM，再证明△ABC≌△MBD，从而得出BM=AB即可.
【详解】解：∵AC∥BD，∠ACB=90°，
∴∠CBD=90°，即∠1+∠2=90°，
又∵BF⊥AB，
∴∠ABF=90°，
即∠8+∠2=90°，
∵BE=BD，
∴∠8=∠1，
在△BHE和△BGD中，
，
∴△BHE≌△BGD（ASA），
∴∠EHB=∠DGB
∴∠5=∠6，∠6=∠7，
∵MD⊥BD
∴∠BDM=90°，
∴BC∥MD，
∴∠5=∠MDG，
∴∠7=∠MDG
∴MG=MD，
∵BC=7，BG=4，
设MG=x，在△BDM中，
BD2+MD2=BM2，
即，
解得x=，
在△ABC和△MBD中
,
∴△ABC≌△MBD（ASA）
AB=BM=BG+MG=4+=.
故答案为：.
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，已知是的中线，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了倍长中线证全等，三角形的三边关系；延长至点E，使，连接，证明，得出，进而根据三角形的三边关系，即可得证．
【详解】证明：如图，延长至点E，使，连接，
在中，
∴，
∴．
在中，，
∴，
即．
20．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】(1)90°
(2)见解析
(3)CD= BE + DE，证明见解析
【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；
（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．
（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE．
【详解】（1）∵∠BAC=90°
∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°
故答案为：90°．
（2）证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在△DCA和△EAB中
∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且EA=DC
由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．
（3）∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在△DCA和△EAB中
∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且AE=CD
由图可知：AE = AD +DE
∴ CD= BE + DE．
21．如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于．
（1）证明：；
（2）试说明：；
（3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明；
（4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） BD=DE+CE ；证明见解析；（4）BD=DE CE
【分析】（1）根据题意可得，结合，直接用AAS证明三角形全等即可；
（2）根据（1）的结论，进而可得；
（3）方法同（1）证明，进而可得
（4）方法同（1）结论同（2）证明，进而可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
又∵ ，，
∴，，
∴．
又∵，
∴．
（2） 解：∵，
∴，．
又∵，
∴．
（3） 解：∵，
∴．
又∵ ，，
∴，，
∴．
又∵，
∴．
∴，，，
∴
（4） 解：．理由如下：
∵，
∴．
又∵ ，，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
又∵，
∴．
22．如图，，，分别平分和，经过点E．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】在上截取，连接，通过证明和，然后根据全等三角形的性质分析求证．
【详解】证明：在上截取，连接．
∵，分别平分和，
∴．
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
23．如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．求证：．
【答案】见解析
【分析】方法一，在BC上截取BE，使，连接DE，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，，由AD=CD等量代换可得，继而可得，由于，可证；
方法2，延长BA到点E，使，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，．由，可得，继而求得，由，继而可得；
方法3， 作于点E，交BA的延长线于点F，由角平分线的定义可得，由，，可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，再根据HL定理可得可证．
【详解】解：方法1 截长如图，在BC上截取BE，使，
连接DE，
因为BD是的平分线，
所以．
在和中，
因为
所以，
所以，．
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
方法2 补短
如图，延长BA到点E，使．
因为BD是的平分线，
所以
在和中，
因为，
所以，
所以，．
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
方法3 构造直角三角形全等
作于点E．交BA的延长线于点F
因为BD是的平分线，
所以．
因为，，
所以，
在和中，
因为，
所以，
所以．
在和中，
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
24．如图，为等边的边延长线上的一动点，以为边向上作等边，连接．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数；
（3）与有怎样的数量关系？随着点位置的变化，与的数量关系是否会发生变化？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；数量关系不变；理由见解析
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出∠BAC＝∠PAQ＝60°，AB＝AC，AP＝AQ，再由SAS定理即可得出结论；
（2）由∠APC=∠CAP，∠B=∠BAC，∠B+∠BAC+∠APC+∠CAP=180°，得∠BAP=90°，再结合，进而即可求解；
（3）设CD与AP交于点O，由，得∠ACD=∠APD，结合∠AOC=∠DOP，三角形内角和定理，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵△ABC与△APD是等边三角形，
∴∠BAC＝∠PAD＝60°，AB＝AC，AP＝AD，
∴∠BAP＝∠DAC，
在△ABP与△ACD中，
，
∴（SAS）；
（2）∵，
∴∠APC=∠CAP，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠BAC=60°，
又∵∠B+∠BAC+∠APC+∠CAP=180°，
∴∠BAC+∠CAP=×180°=90°，即：∠BAP=90°，
∴∠APB=90°-60°=30°，
∴∠ADC=∠APB=30°，
∵△APD是等边三角形，
∴=60°-∠ADC=60°-30°=30°；
（3）=，随着点位置的变化，与的数量关系不会发生变化，理由如下：
设CD与AP交于点O，
∵，
∴∠ACD=∠ABP=60°，
∵∠APD=60°，
∴∠ACD=∠APD，
又∵∠AOC=∠DOP，∠AOC+∠ACD+∠PAC=180°，∠DOP+∠APD+∠PDC=180°，
∴=．
25．[问题]如图①，点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与有什么数量关系？
[探究]
探究一：如图②，若，则，即，，又因为平分，所以，理由是：_______．
探究二：若，请借助图①，探究与的数量关系并说明理由．
[结论]点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与的数量关系是______．
[拓展]已知：如图③，在中，，，平分．求证：．
【答案】探究一：角的平分线上的点到角的两边距离相等；探究二：AD＝CD；理由见解析；[结论]：AD＝CD；[拓展]：见解析．
【分析】探究一：根据角平分线的性质定理解答；
探究二：作于，作交的延长线于，证明，根据全等三角形的性质证明结论；
[理论] 根据探究结果得到答案；
[拓展]在上取一点，使，作角的延长线于，于，证明，得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，结合图形证明结论．
【详解】解：探究一：平分，，，
，
理由是：角平分线上的点到角的两边的距离相等，
故答案为：角平分线上的点到角的两边的距离相等；
探究二：作于，作交的延长线于，
平分，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
[理论] 综上所述，点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与的数量关系是，
故答案为：；
[拓展] 在上取一点，使，作交的延长线于，于，
．
平分，，，
，
，，
，，
，
，
，
．
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
．
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