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1.3.3 角平分线的性质与判定九大题型（一课一练）
【同步习题】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、点到直线的距离，先根据计算，根据“角平分线上的点到角两边的距相等”，即可得出答案，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，是的角平分线，
∴点到的距离，
故选：C．
2．如图，在四边形中，，若对角线平分，则的面积为（ ）
A．10 B．24 C．15 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
平分，，，
，
，
的面积，
故选：D
3．如图，在中，和的平分线交于点O，于点D，若的面积9，且，，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】过点O作，垂足分别为E，F，根据和的平分线交于点O，得到，利用三角形面积公式计算即可．
本题考查了角的平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】过点O作，垂足分别为E，F，
∵和的平分线交于点O，
∴，
∵的面积9，且，，
∴,
解得，
故选D．
4．在内一点P到三边的距离相等，则点P一定是（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点
D．三条中线的交点
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质；熟练掌握角的平分线的性质是解决问题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答即可．
【详解】解：∵点到的三边的距离相等，
∴点应是三条角平分线的交点．
故选：A．
5．如图，在中，，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作于点E，作于点F，根据可证，从而可知是的平分线，进而可求出的度数．
【详解】解：如图，作于点E，作于点F，
∵，
∴．
∵，，
∴
∴，
∴是的平分线．
∴．
故选C．
6．如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质定理的应用．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
根据角平分线的性质定理判断作答即可．
【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴到三条公路的距离相等的点在角平分线的交点上，
如图，
三角形两个内角平分线的交点，三角形外角两两平分线的交点均为满足要求的点，共4处，
故选：D．
7．如图，点C在线段上（不与点A，B重合），在的上方分别作和，且，，，连接，交于点P，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．连接，则平分
【答案】B
【分析】先通过证明，并根据全等三角形的性质即可证明A选项不符合题意；由外角的性质及等腰三角形的定义，可证明C选项不符合题意；连接，过点C作于点G，于点H，根据角平分线判定定理证明D选项不符合题意；无法证明B选项．
【详解】解：，
，
即，
，，
，
，故A选项不符合题意；
，
∵，
，故C选项不符合题意；
如图，连接，过点C作于点G，于点H，
，
，
，
，
平分，故D选项不符合题意；
当时，需成立，与题意矛盾，故B选项符合题意；
故选：B．
8．如图，把剪成三部分，边放在同一直线l上，点O都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的角平分线的判定，利用平行线间的距离处处相等判定点O是的三个角平分线的交点是解题的关键．
首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O是的三个内角平分线的交点，从而容易得到，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，过点O分别作于D，B于E，于F，如图，
∵直线，
∴，
∴点O是的三个内角平分线的交点，
∴，
∴．
故选：C．
9．如图，在中，，，的角平分线与外角的角平分线交于点，连接．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是角平分线的性质，作交的延长线于，于，交的延长线于，根据角平分线的性质和判定得到平分求出 的度数，根据角平分线的定义求出 的度数，根据三角形内角和定理计算得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：作交的延长线于，于，交的延长线于，如图：
∵平分，平分，
∴，，
∴，又，，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，又平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
10．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（ ）个
A．2 B．4 C．3 D．1
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出即可判定①；如图所示，过点P作于F，于G，于H，利用角平分线的性质得到即可判断②；证明，得到，，即可判断③；再证明，得到，同理可证， 推出即可判断④．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵的两条角平分线和交于，
∴，
，
，故①正确；
，
如图所示，过点P作于F，于G，于H，
∴，
∴，
∴是的角平分线，故②正确；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，故③正确；
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证，
∵，
∴，
∴，故④正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，分别平分和，于点，，若的面积为，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，根据角平分线的性质得，然后根据三角形的面积公式列式即可，熟记性质是解题的关键．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵的面积为，
∴的面积的面积的面积，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
12．如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，， ．
【答案】2
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，可得，根据的面积是，列式得，再进行计算，即可作答．
【详解】解：∵中，于E，于F，为的平分线
∴
∵的面积是，
∴
则
∴
解得
故答案为：2
13．如图，四边形中，平分，，，，，则四边形的面积为 ．
【答案】36
【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出是解题的关键．过点作的延长线于点，利用角平分线的性质可得出，再利用三角形的面积公式结合可求出四边形的面积．
【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示．
平分，
，
，
，
，
．
故答案为：36
14．如图，将沿折叠，点落在点处，连接，若平分，平分，且，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识．连接，先求出，再由平分，平分，可得平分，最后由三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图，连接，
平分，平分，，
，，
，
，
，
，
平分，平分，，
平分，
，
沿折叠，
，
，
故答案为：．
15．将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得，点是角平分线的交点，根据角平分线的性质可得点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为，根据三角形面积的计算方法即可求解．
【详解】解：∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为，
∴是的角平分线，
∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为，
∴是的角平分线，
∴点是角平分线的交点，如图所示，连接，
∴点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为，
∴，且的长分别为，，
∴，，，
∴，
解得，，
16．如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ．
【答案】/84度
【分析】本题考查了三角形面积公式、角平分线的判定与性质，作于，于，由三角形面积公式得出，从而得出平分，再由角平分线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，于，
，
，，，，
，
，，
平分，
，
故答案为：．
17．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D，若，的面积为10，则的面积为 ．
【答案】15
【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．
过点D作于点E，于点F，则，进而得出，即可解答．
【详解】解：过点D作于点E，于点F，
由作图可知，平分，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为10，
∴的面积为15，
故答案为：15．
18．如图，双骄制衣厂在厂房的周围租了三幢楼、、作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房到每条公路的距离相等．
（1）则点为三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）；
（2）如图设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ．
【答案】 角平分线
【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边；以及在同一个三角形内大角对大边．
（1）利用角平分线的性质定理判断即可；
（2）首先得出为的内心，进而得出，在中，推出，同理，，，，即可得出答案．
【详解】解：（1）点到每条公路的距离相等，
点是的角平分线的交点．
故答案为：角平分线；
（2）共有6条线路：，，，，，，
在上截取，连接，
在和中，
，
，
，
在中，
推出，
同理，，，，
最短，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，平分，平分，于点E，于点F．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，角平分线的性质：
（1）根据角平分线的定义，及三角形内角和定理即可求出结论；
（2）利用角平分线性质得出，再利用三角形面积公式即可求出．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴．
（2）解：平分，，，，
∴．
∵，
∴．
20．已知，如图，是的平分线，，点在上，，，垂足分别是、．试说明：．
【答案】见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及角平分线的性质定理．先证明，得到，再由角平分线性质证明．
【详解】证明：∵是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
21．如图，在中，作分别交于于点，延长至点，连接，使得，若，
(1)求证：；
(2)若平分，且，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)，
【分析】（1）利用平行线的性质得出，然后利用证明 ，即可证明．
（2）设，则，利用平行线的性质得出，再由角平分线的性质得出，由三角形外角定理得出，再由三角形内角和定理求得，进一步即可求出的度数．
【详解】（1）证明：∵
∴，
在和中，
∴，
∴
（2）设，则，
∵
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
22．如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，
(1)画，使它与关于直线l对称；
(2)在直线l找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短．
(3)在直线l找一点Q，使点Q到的距离相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了轴对称、两点之间线段最短、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、两点之间线段最短、角平分线的性质，从而完成求解．
（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可；
（2）连接交直线l于点P，点P即为所求；
（3）连接，则是的角平分线，与直线l的交点Q即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求作．
（2）解：如图，点P即为所求作．
理由：根据（1）的结论，点A、点关于直线l成轴对称，
∴，
∴，
∴当点P在直线l和的交点处时，，为最小值，
∴当点P在直线l和的交点处时，取最小值，
即点P到点A、点B的距离之和最短；
（3）解：如图，点Q即为所求作．
连接，
根据题意得：，
∴点Q在直线l和的交点处时， 点Q到边的距离相等．
23．如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，，，且，求的面积．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数；
（2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，，
，
（2）证明：过点E作交于点G，交于点H，
由（1）可知，，
平分，
，，
，
平分，，，
，
，
，，
平分；
（3）解：，
，，，
，
．
24．如图所示，四边形中，，M是的中点，平分，连接．
(1)是否平分？请证明你的结论；
(2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】(1)平分；理由见解析
(2)；理由见解析
【分析】（1）由题意过点M作，垂足为E，先求出，再求出，从而证明平分；
（2）根据题意利用两直线平行同旁内角互补可得，从而求证两直线垂直．
【详解】（1）解：平分，理由如下：
过点M作，垂足为E，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，，
∴（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵是中点，，
∴，
∵，，
∴平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，，
∴（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
又∵，（角平分线定义），
∴，
∴，
∴，即．
25．如图，在外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中，，．连接、交于F点．
(1)求证：；
(2)直线、是否互相垂直，试说明理由；
(3)求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）由题意可得，，由，可得到，从而可证；
（2）由（1）可得，再利用直角三角形的性质及等量代换即可得到结论；
（3）作于M，于N，利用全等三角形的面积相等及角平分线的判定即可证得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
又∵，，
∴；
（2）解：，理由如下；
∵，
∴，
∵ ，
，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：作于，于，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴平分．
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1.3.3 角平分线的性质与判定九大题型（一课一练）
【同步习题】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形中，，若对角线平分，则的面积为（ ）
A．10 B．24 C．15 D．12
3．如图，在中，和的平分线交于点O，于点D，若的面积9，且，，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．在内一点P到三边的距离相等，则点P一定是（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点
D．三条中线的交点
5．如图，在中，，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
7．如图，点C在线段上（不与点A，B重合），在的上方分别作和，且，，，连接，交于点P，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．连接，则平分
8．如图，把剪成三部分，边放在同一直线l上，点O都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，的角平分线与外角的角平分线交于点，连接．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（ ）个
A．2 B．4 C．3 D．1
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，分别平分和，于点，，若的面积为，则的周长为 ．
12．如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，， ．
13．如图，四边形中，平分，，，，，则四边形的面积为 ．
14．如图，将沿折叠，点落在点处，连接，若平分，平分，且，则的度数为 ．
15．将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为 ．
16．如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ．
17．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D，若，的面积为10，则的面积为 ．
18．如图，双骄制衣厂在厂房的周围租了三幢楼、、作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房到每条公路的距离相等．
（1）则点为三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）；
（2）如图设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，平分，平分，于点E，于点F．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的面积．
20．已知，如图，是的平分线，，点在上，，，垂足分别是、．试说明：．
21．如图，在中，作分别交于于点，延长至点，连接，使得，若，
(1)求证：；
(2)若平分，且，求的度数．
22．如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，
(1)画，使它与关于直线l对称；
(2)在直线l找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短．
(3)在直线l找一点Q，使点Q到的距离相等．
23．如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，，，且，求的面积．
24．如图所示，四边形中，，M是的中点，平分，连接．
(1)是否平分？请证明你的结论；
(2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由．
25．如图，在外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中，，．连接、交于F点．
(1)求证：；
(2)直线、是否互相垂直，试说明理由；
(3)求证：平分．
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