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1.3.4 垂直平分线的性质与判定六大题型（一课一练）
【同步习题】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，兔子的三个洞口A、B、C构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三个角的角平分线的交点 D．三条高的交点
2．如图，在中，分别以，为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，连接，交于点P．若，的周长为，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．如图，已知的平分线与BC的垂直平分线相交于点，垂足分别为、，则（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1.5
5．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行
B．三角形的三条角平分线的交点到三角形三边距离相等
C．三角形的高线将三角形分成面积相等的两部分
D．点P到线段两个端点的距离相等，则过点P的直线是线段的垂直平分线
6．在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（ ）
A． B．平分
C．线段垂直平分线段 D．
7．如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．
9．如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，是边的垂直平分线，分别交于点两点，连接，，，则的度数是 °．
12．如图，中，垂直平分，交于，交于，连结．若，则的长为 ．
13．如图，在中，是的垂直平分线．若，则的周长为 ．
14．如图：小文在一个周长为的中，截出了一个周长为的，发现点D刚好落在的垂直平分线上，请问的长是 cm．
15．在中，小明利用直尺和圆规进行了下面的作图：首先作的角平分线交于点D；然后作线段的垂直平分线交于点E，交于点F．据此，我们可以推出：线段与线段的关系为 ．
16．如图，点O是内一点，且，则点O是 的交点．
17．如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则 ．
18．如图，在中，，点D是内部一点，，点E是边上一点，若平分，，则的度数为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，点为的中点，连接，此时，．试说明：．
20．如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，则的长为多少？
21．如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并证明你的猜想；
(2)在“筝形”中，已知，请用含m，n的式子表示筝形的面积．
22．如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且.
(1)求证：
(2)连接，判断与的位置关系，并说明理由
23．图①，图②均是的正方形网格，的顶点均在格点上．在图①，图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中画出线段，使垂直平分，且点E，F均在格点上．
(2)在图②中的边上找到一点P，连结，使．
24．如图，点A、B分别在的边上，的平分线与的垂直平分线交于点C，于点E，于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)求证：．
25．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______；
（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：；
（3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系．
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1.3.4 垂直平分线的性质与判定六大题型（一课一练）
【同步习题】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，兔子的三个洞口A、B、C构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三个角的角平分线的交点 D．三条高的交点
【答案】A
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握性质是解本题的关键．用线段垂直平分线性质判断即可．
【详解】解：猎狗到三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在的三条边垂直平分线的交点．
故选：A
2．如图，在中，分别以，为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，连接，交于点P．若，的周长为，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】
本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等直接求解即可得到答案；
【详解】解：由作图可得，
垂直平分，
∴，
∵，的周长为，
∴，
∴，
故选：B．
3．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，由全等三角形的性质得到，进而证明，则垂直平分线，可得，再利用正方形的面积计算公式即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
又∵，
∴垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4．如图，已知的平分线与BC的垂直平分线相交于点，垂足分别为、，则（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1.5
【答案】B
【分析】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键．
连接、，由的平分线与的垂直平分线相较于点D，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，从而得到，可证的，则可得，即可得到结果．
【详解】连接、，
是的平分线，，，
，，
，
是的垂直平分线，
，
在和中
，
，
，，
．
故选：B
5．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行
B．三角形的三条角平分线的交点到三角形三边距离相等
C．三角形的高线将三角形分成面积相等的两部分
D．点P到线段两个端点的距离相等，则过点P的直线是线段的垂直平分线
【答案】B
【分析】本题考查命题真假的判定，解题的关键是掌握平移的性质，三角形角平分线的性质，三角形的高、线段垂直平分线的判定等知识．
根据图形的平移、三角形角平分线的性质，三角形的高、线段垂直平分线的判定逐项判断．
【详解】解：A、一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行或在一条直线上，故此选项是假命题，不符合题意；
B、三角形三个内角的平分线相交于一点，这个点到三角形三边的距离相等，故此选项是真命题，符合题意；
C、三角形的高线将三角形分成的两部分面积不一定相等，三角形中线将三角形分成的两部分面积相等，故此选项是假命题，不符合题意；
D、点到线段的两端点距离相等，过点的直线不一定是线段的垂直平分线，故此选项是假命题，不符合题意；
故选：B．
6．在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（ ）
A． B．平分
C．线段垂直平分线段 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，先证明，得出，，，根据，，得出点A、D在线段的垂直平分线，证明线段垂直平分线段．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∴平分，
∵，，
∴点A、D在线段的垂直平分线，
∴线段垂直平分线段，
无法证明，故D符合题意，不符合题意．
故选：D．
7．如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，先根据，，得出直线是线段的垂直平分线，结合垂直平分线的性质，即可作答．
【详解】解：∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴是的中点
∴
故选：B
8．如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，过点作于，于，延长交于，过作于，交于，利用可证明，得出，，可知垂直平分，得出，根据垂线段最短得出为的最小值，利用等面积法求出的长，再次利用等面积法得出即可得答案．
【详解】解：如图，过点作于，于，延长交于，过作于，交于，
在和中，；
∴，
∴，，
∴垂直平分，
∴
∵，
∴的最小值为，
∵，，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：B．
9．如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的判定与性质等知识点，掌握5种基本作图是解决问题的关键．
根据作图过程可得，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断垂直平分，进而即可得到答案
【详解】解：由作法得，
∴垂直平分，
∴．
故选：C．
10．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
利用基本作图可对①进行判断；利用角平分线的定义计算出， 则，于是可对②进行判断；由得到，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断； 利用含度的直角三角形三边的关系得到，则，所以，然后根据三角形面积公式可对④进行判断．
【详解】由作法得平分， 所以①正确；
∵，
∴，，
∴，所以②正确；
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上，所以③正确；
∵
，
∴，
∴，
，所以④正确．
故选:．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，是边的垂直平分线，分别交于点两点，连接，，，则的度数是 °．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和的运用，掌握三角形内角和定理，垂直平分线的性质是解题的关键．
根据垂直平分线的性质可得，可算出的度数，结合三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为： ．
12．如图，中，垂直平分，交于，交于，连结．若，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，根据即可求解．解题关键是掌握线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．
13．如图，在中，是的垂直平分线．若，则的周长为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查段垂直平分线的性质的应用，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
故答案为：12
14．如图：小文在一个周长为的中，截出了一个周长为的，发现点D刚好落在的垂直平分线上，请问的长是 cm．
【答案】8
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识点，掌握线段垂直平分线的性质成为解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形周长公式可得、、即，然后将整体代入即可解答．
【详解】解：∵点D刚好落在的垂直平分线上，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为，
∴，即，
∴，即
∴．
故答案为：8．
15．在中，小明利用直尺和圆规进行了下面的作图：首先作的角平分线交于点D；然后作线段的垂直平分线交于点E，交于点F．据此，我们可以推出：线段与线段的关系为 ．
【答案】互相垂直平分
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质与判定，证明，得到，即可得到线段与线段的关系为互相垂直平分．
【详解】解：设线段与线段交于H，
∵线段的垂直平分线交于点E，交于点F，
∴，
∵的角平分线交于点D，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴线段与线段的关系为互相垂直平分．
16．如图，点O是内一点，且，则点O是 的交点．
【答案】三边的垂直平分线
【分析】根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，即可得出结论
【详解】∵，
∴点O是三边的垂直平分线的交点；
故答案为：三边的垂直平分线．
【点睛】本题考查垂直平分线的判定．熟练掌握到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，是解题的关键．
17．如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则 ．
【答案】2
【分析】根据可知，再根据是的中点可求出，利用可得， 可得，，结合已知可得是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质判断出即可证得，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
18．如图，在中，，点D是内部一点，，点E是边上一点，若平分，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】如图所示，取的中点F，连接，则可证明在的垂直平分线上，得到，证明得到，同理可得，设，则，由三角形外角的性质得到，再根据三角形内角和定理求出答案即可．
【详解】解：如图所示，取的中点F，连接，
∵，
∴在的垂直平分线上，
∴三点共线，且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∵平分，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，点为的中点，连接，此时，．试说明：．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的判定与性质得到，，等量代换证明结论．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴是等腰三角形
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴．
20．如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，则的长为多少？
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质：
（1）根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换可得；
（2）先根据已知条件得出，再通过等量代换得出，进而得出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
21．如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并证明你的猜想；
(2)在“筝形”中，已知，请用含m，n的式子表示筝形的面积．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，求三角形面积：
（1）证明垂直平分，即可得到；
（2）根据进行求解即可．
【详解】（1）解：，证明如下：
∵，，
∴垂直平分，
∴；
（2）解；∵，
∴
．
22．如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且.
(1)求证：
(2)连接，判断与的位置关系，并说明理由
【答案】(1)见详解
(2)垂直平分，理由见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
（1）由与平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为中点得到一对边相等，利用即可得出；
（2）因为，以及（1）得出的，等量代换得到，利用等角对等边得到，即三角形为等腰三角形，再由（1）得到，即为底边上的中线，利用三线合一即可得到与垂直．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
∴
（2）解：与的位置关系是垂直平分，
理由为：连接，
∵，
∴，
，
由（1）得：，即为上的中线，
∴垂直平分，
23．图①，图②均是的正方形网格，的顶点均在格点上．在图①，图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中画出线段，使垂直平分，且点E，F均在格点上．
(2)在图②中的边上找到一点P，连结，使．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查利用网格作图，作垂直平分线以及根据三角形的面积作图．
（1）根据菱形得性质，利用网格寻找使的格点，连接，即可满足垂直平分．
（2）由题意可知， 当时即可满足条件， P需要是的三等分点，利用网格绘制三条相等的平行线， 最下面的平行线与的交点即为点P．
【详解】（1）解：如下图即为所求：
（2）由题意可知， ，
当时即可满足条件．
∴P需要是的三等分点，
如下图，绘制三条相等的平行线，最下面的平行线与的交点即为点P．
24．如图，点A、B分别在的边上，的平分线与的垂直平分线交于点C，于点E，于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】此题重点考查角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明及是解题的关键．
（1）由线段的垂直平分线的性质得，由平分线，于点，于点，得，即可根据“”证明，得；
（2）由，，，根据“”证明，得，而，则，所以；
（3）由，，得，而，且，所以，则．
【详解】（1）证明：垂直平分，
，
平分线，于点，于点，
，，
在和中，
，
，
．
（2）解：平分线，于点，于点，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
的长为4．
（3）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
25．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______；
（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：；
（3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系．
【答案】（1），；（2）见解析；（3），
【分析】（1）延长至，使，连接，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可；
（2）延长至点，使，连接，利用“”证明，易得，可知为的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得，然后由三角形的三边关系可证明结论；
（3）延长于，使得，连接，延长交于，首先证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，可得，，进而可证明．
【详解】解：（1）如图1，延长至，使，连接，
∵为边上的中线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，根据三角形三边关系可得：，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）如图2中，延长至点，使，连接，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴；
（3）结论：，，
如图3，延长于，使得，连接，延长交于，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即．
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