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1.3.1 全等三角形的判定十一大题型（一课一练）
【同步习题】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．某中学数学兴趣小组的同学在学习了三角形相关知识后，尝试了制作雨伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，且，那么的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．如果两个三角形有两边和一角分别对应相等，那么这两个三角形全等
B．三角形三条高线相交于一点
C．所有正方形都是全等图形
D．在中，若，则是直角三角形
3．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点G．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，把两个角的直角三角板放在一起，点B在上，A、C、D三点在一条直线上，连接延长线交于点F．若，则的面积为（ ）
A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6
6．如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，和相交于O点，若，用证明还需增加条件（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
9．勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（ ）
A．54 B．60 C．100 D．110
10．如图，是的角平分线，于点E，于点，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．
正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，已知点A，B，D，E在同一直线上，，，，若，则的度数为 ．
12．在中，，中线，则边AB的取值范围是 ．
13．如图，D，E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ．
14．如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示）．
15．如图，已知在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，，．请你添加一个条件 ，使得．
16．如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ．
17．要测量河岸相对两点A、B的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点C、D，使，再过点D作的垂线段，使点A、C、E在一条直线上，如图．若测出米，则的长为 米．
18．如图，中，，，，平分，且，则的面积是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上，请画出符合下列条件的图形．
(1)在图1中画出格点（不与点重合），连接、，使与全等．
(2)在图2中画出格点，连接、，使的面积等于面积的2倍．
(3)在图3中，在线段上取点，连接，使平分面积．
20．如图，，，与相交于点．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
21．已知和位置如图所示，．
(1)求证：；
(2)求证：．
22．如图，，请添加一个条件，使．
(1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）；
(2)利用（1）中添加的条件，求证：．
23．如图，在中，是边上的中线，分别以，为直角边作直角和，其中，，，，连接，延长至点，使，连接．
【初步探索】（1）试说明：；
【衍生拓展】（2）探究和之间的数量关系，并说明理由．
24．鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可．
乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．
(1)甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由；
(2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______．
25．如图，在平面直角坐标系中，，，连接，设，且，以为腰作等腰三角形，．
(1)①当时，点Q的坐标为______；
②当时，求点Q的坐标（用含a的式子表示）；
(2)当且时，过点Q作交y轴于点F，过P作交于点D，连接．则当点P在运动过程中时，线段会有怎样的数量关系？请说明理由．
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1.3.1 全等三角形的判定十一大题型（一课一练）
【同步习题】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．某中学数学兴趣小组的同学在学习了三角形相关知识后，尝试了制作雨伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，且，那么的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．由E，F分别是，的中点，得出；根据三边对应相等，证明三角形全等即可．
【详解】解：∵E，F分别是的中点，，
∴，
在与中，
，
∴．
故选：D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．如果两个三角形有两边和一角分别对应相等，那么这两个三角形全等
B．三角形三条高线相交于一点
C．所有正方形都是全等图形
D．在中，若，则是直角三角形
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形判定、全等图形以及三角形内角和定理等知识，结合相应的知识点逐项验证即可得到答案．
【详解】A项，由两个三角形全等的判定定理，两个三角形有两条边对应相等，且这两条相等边的夹角也相等的两个三角形全等可知，故A项错误；
B项，三角形三条高线所在的直线相交于一点，故B项错误；
C项，所有边长相等的正方形都是全等图形，故C项错误；
D项，在中，若，由三角形内角和定理可知三个内角的度数为、、，则是直角三角形，故D项正确；
故选：D．
3．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解.
【详解】在上截取连接,
，
，
∵点是平分线上的一点，
，
在和中,
，
，
，
，
解得
故选A.
4．如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点G．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可以先证明，则，利用角平分线可得，再利用直角三角形的两锐角互余解题即可．
【详解】解：∵正方形
∴
在和中，
，
∴
∴
∵平分
∴
∴
故选B．
5．如图，把两个角的直角三角板放在一起，点B在上，A、C、D三点在一条直线上，连接延长线交于点F．若，则的面积为（ ）
A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先通过和都是等腰直角三角形，得出再证明，结合面积公式代入数值，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
故选：B．
6．如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据等腰直角三角形的性质可以得出，属于手拉手型全等，所以，最后根据时间路程速度即可解答．本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【详解】解：，
，
，
在与中，
，
，
，
则
壁虎以的速度B处往处爬，
．
故选：C．
7．如图，和相交于O点，若，用证明还需增加条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了对全等三角形的判定的应用．要用证明三角形全等，即角边角证明三角形全等，题目已知，，那么添加条件即可．
【详解】解：由题意可得：，，
∴当时，可根据可证，
故选：B．
8．如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查同角的余角相等，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
由于D，于E，得，而，则，而，即可证明，则，所以．
【详解】解：∵于D，于E，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长是．
故选A．
9．勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（ ）
A．54 B．60 C．100 D．110
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可．
【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理可证，
∴，
∴．
空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和．
故选：B．
10．如图，是的角平分线，于点E，于点，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．
正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由“”可证,可得 , 由三角形的三边关系可得,由不一定是，可得不一定等于，由线段垂直平分线的判定方法可得垂直平分，由三角形的面积公式可得, 即可求解.
【详解】∵平分,
∴,
在和中
，
∴,
∴,
在中,,
∴, 故①正确;
∵不一定是,
∴不一定等于,
∴不一定等于, 故②错误;
∵,
∴垂直平分, 故③正确；
，
∴, 故④正确；
故选：.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，已知点A，B，D，E在同一直线上，，，，若，则的度数为 ．
【答案】/85度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
由“”可证，可得，可证，即可求解．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．在中，，中线，则边AB的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作出图形，延长AD至E，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
【详解】如图，延长AD至E，使，
是的中线，
，
在和中，，
≌，
，
，
，
，，
，
即．
故答案为．
13．如图，D，E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ．
【答案】/140度
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键．
设交于点G，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，可求得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：设交于点G，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，利用证明得， 根据三角形的外角定理推出， 进而根据三角形内角和定理即可求解，解题的关键是利用证明．
【详解】解：∵平分，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．如图，已知在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，，．请你添加一个条件 ，使得．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、(在直角三角形中)．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
点在同一条直线上，且，即在和中，已经有两边对应相等，根据判定两个三角形全等的方法：，所以可添加条件为．
【详解】解：．
以下证明添加条件为时，．
，
，
，
，
在和中，
∴．
故答案为：．
16．如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，先证明，根据全等三角形的性质可得，，进一步可得的长．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
17．要测量河岸相对两点A、B的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点C、D，使，再过点D作的垂线段，使点A、C、E在一条直线上，如图．若测出米，则的长为 米．
【答案】20
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握全等三角形的判定定理是关键．
由、均垂直于，即可得出，结合、即可证出，由此即可得出，此题得解．
【详解】解：，，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：20．
18．如图，中，，，，平分，且，则的面积是 ．
【答案】75
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算等知识，由垂直加角平分线构造出全等三角形是解题的关键．
由平分，且，可证，得出，由即可解决．
【详解】解：延长交于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
中，，
，
，
．
故答案为：75．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上，请画出符合下列条件的图形．
(1)在图1中画出格点（不与点重合），连接、，使与全等．
(2)在图2中画出格点，连接、，使的面积等于面积的2倍．
(3)在图3中，在线段上取点，连接，使平分面积．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握三角形全等的判定定理、三角形的面积公式及中线的性质是解题的关键．
利用，取点右侧第三个格点为点，即可；
根据同底三角形的面积比等于高线比，取点上方第二个格点为点，作图即可；
根据三角形的中线平分三角形的面积，取的中点，连接即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）如图，点即为所求；
（3）如图，点即为所求．
20．如图，，，与相交于点．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了判定两个三角形全等，三角形外角的定义：
（1）根据三个边长对应相等可得到两个三角形全等；
（2）根据两个三角形全等得到对应角相等，再根据三角形外角的定义可求得结果；
找到角度之间的关系是解题的关键．
【详解】（1）证明：在中，
，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴的度数为．
21．已知和位置如图所示，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：
（1）由证明，得出对应角相等即可；
（2）证出，由全等三角形的性质得出，由证明，得出对应边相等即可．
【详解】（1）在和中，
，
∴，
（2）∵，
∴，
即，
由（1）得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
22．如图，，请添加一个条件，使．
(1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）；
(2)利用（1）中添加的条件，求证：．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理，垂直的定义．解题的关键是正确寻找判定三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题．
（1）由题意得到，推出，，再根据判定定理得添加一个条件为，即可使；
（2）根据三角形全等的判定定理证明即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
由得添加一个条件为，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）证明：，
，
，
即，
在和中，
，
．
23．如图，在中，是边上的中线，分别以，为直角边作直角和，其中，，，，连接，延长至点，使，连接．
【初步探索】（1）试说明：；
【衍生拓展】（2）探究和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析（2），理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，熟练掌握知识点、推理证明是解题的关键．
（1）根据是边的中线，得出，利用证明，得出，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明；
（2）由（1）得，，得出，，推出，，利用证明，得出，根据，，得出，即可证明．
【详解】解：（1）∵是边的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下，
∵由（1）得，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
24．鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可．
乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．
(1)甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由；
(2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______．
【答案】(1)甲，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，
（1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；
（2）甲根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
【详解】（1）甲同学的方案可行．
理由：由题意得，
在与中，
，
∴，
∴，
故甲同学的方案可行．
（2）；
理由：
∵，
在与中，
，
∴，
∴．
故答案为：．
25．如图，在平面直角坐标系中，，，连接，设，且，以为腰作等腰三角形，．
(1)①当时，点Q的坐标为______；
②当时，求点Q的坐标（用含a的式子表示）；
(2)当且时，过点Q作交y轴于点F，过P作交于点D，连接．则当点P在运动过程中时，线段会有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)① ②
(2)，理由见解析
【分析】（1）①根据，点Q在第二象限，写出点Q的坐标；②过点作于点，则有，求出点Q的坐标；
（2）在上截取，连接，则有，即可得到，，然后证明，可以得到结论．
【详解】（1）①当时，点在原点处，如图，
，
又∵点Q在第二象限，
∴点Q的坐标为，
故答案为：；
②过点作于点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点Q的坐标为；
（2），理由为：
在上截取，连接，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
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