第1章 三角形的初步知识综合素质评价（含答案）数学浙教版八年级上册

第1章综合素质评价
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[母题 教材P5例1]下列各组长度的三条线段能组成三角形的是(　　)
A．4，5，9 B．4，4，8
C．5，6，7 D．3，5，10
2．[2024·温州期末]下列命题不属于真命题的是(　　)
A．三个角对应相等的两个三角形全等
B．三边对应相等的两个三角形全等
C．全等三角形的对应边相等
D．全等三角形的面积相等
3．[新考向·传统文化 2024·宁波期末]我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，∠EAG＝∠FAG，则△AEG≌△AFG的依据是(　　)
(第3题)
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
4．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，补充下列一个条件后，不能判断△ABE≌△ACD的是(　　)
(第4题)
A．∠ABE＝∠ACD B．AD＝AE
C．∠BDC＝∠CEB D．BE＝CD
5．[2024·金华义乌市期末]如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若△ABC的面积为30 cm2，AB＝8 cm，AC＝7 cm，则DE的长为(　　)
(第5题)
A．4 cm B．3 cm
C．2 cm D．5 cm
6．在△ABC中，AC＝10，BC＝8，AB＝9，用尺规作图，在△ABC的边上确定一点E，使△BEC的周长为18，则符合要求的作图痕迹是(　　)
　A 　 B 　 C D
7．如图，在锐角三角形ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP．若∠BPC＝100°，则∠A的度数为(　　)
(第7题)
A．40° B．50° C．60° D．80°
8．[2023·福建]阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；
②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在 ∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连结CM，DM，如图所示．根据以上作图步骤，一定可以推得的结论是(　　)
(第8题)
A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM
C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM
9．[2024·宁波期末]如图，在△ABP中，C，D分别是PB，PA上任意一点，连结AC，BD，CD，M，N分别是AC，BD的中点，连结PM，PN，MN，若S四边形ABCD＝2 024，则S△PMN＝(　　)
(第9题)
A． B．506 C． D．不确定
10．已知：△ABC纸片，将纸片分别按以下两种方法翻折：
(第10题)
①如图①，沿着∠BAC的平分线AD翻折△ABD，得到△AED，设△CDE的周长为m．
②如图②，沿着AB的垂直平分线翻折△BFG，得到△AFG，设△AGC的周长为n．
线段AB的长度用含m，n的代数式可表示为(　　)
A． n－m B． C． m D．
二、填空题(每题4分，共24分)
11．命题“对顶角相等”的题设是　　　　，结论是　　　　．
12．如图，CA平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为　　　　．
(第12题)
13．[2023·重庆]如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连结AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为　　　　．
(第13题)
14．[情境题 生活应用]沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD，垂足为D．已知CD＝16 m，根据上述信息可知标语AB的长度为　　　　．
(第14题)
15．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则DE的长是　　　　．
(第15题)
16．如图，在锐角三角形ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，△ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB'，且C'D∥EB'∥BC，BE，CD相交于点F．若∠BAC＝α，∠BFC＝β，则α与β的关系式是　　　　．
(第16题)
三、解答题(共66分)
17．(6分)如图，在△ABC中，AB＞AC．
(1)用直尺和圆规作BC的中垂线，交AB于点D(要求保留作图痕迹)；
(2)连结CD，若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周长．
18．(6分)如图，点C在线段AB上，CF所在直线为线段DE的垂直平分线，AC＝ EB，AD＝BC．试探究AD与EB的位置关系，并说明理由．
19．(6分)如图，已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°．
(1)求△ABC的外角∠CAF的度数；
(2)求∠DAE的度数．
20．(8分) [新视角 条件开放题]如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一直线上．关于此图有如下三个论断：①AE∥DF；②AB＝CD；③CE＝BF．
(1)请用其中两个论断作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题，书写形式为“如果 ， ，那么 ．”)；
(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
21．(8分)如图，在四边形ABCD中，P为CD边上的一点，BC∥AD． AP，BP分别是∠BAD，∠ABC的平分线．
(1)若∠BAD＝70°，则∠ABP的度数为　　　　，∠APB的度数为　　　　；
(2)求证：AB＝BC＋AD．
22．[新视角 动态探究题](10分)在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点D在AC上，且AD＝6 cm，过点A作射线AE⊥AC(AE与BC在AC同侧)，若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1 cm/s，设点P运动的时间为t s．连结PD，BD．
(1)如图①，当PD⊥BD时，求证：△PDA≌△DBC；
(2)如图②，当PD⊥AB于点F时，求t的值．
23．(10分)[2024·舟山模拟]点A，B分别在两条互相垂直的直线ON，OM上．
(1)如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，如果点C到直线OM的距离是5，求OB的长．
(2)如图②，若OA＝6，点B在射线OM上运动，分别以OB，AB为边作与图①中△ABC相同形状的直角三角形OBF、直角三角形ABE，∠ABE＝∠OBF＝90°，连结EF交射线OM于点P．当点B在射线OM上移动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值；若变化，求PB的取值范围．
24．(12分) [新视角 过程探究题]【问题背景】如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　　　　．
【探索延伸】如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋ ∠ADC＝180°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
答案
一、1．C　2．A　3．A　4．D　5．A　6．D
7．B　【点拨】连结AP并延长，与边BC交于点D，
∵边AB，AC的垂直平分线交于点P，
∴易证得∠ABP＝∠BAP，∠CAP＝∠ACP，
∴∠BPD＝∠BAP＋∠ABP＝2∠BAP，∠CPD＝∠CAP＋∠ACP＝2∠CAP．
∵∠BPC＝100°，∴∠BPD＋∠CPD＝100°，
即2∠BAP＋2∠CAP＝100°，
∴∠BAP＋∠CAP＝50°，即∠BAC＝50°．
8．A
9．B　【点拨】连结DM，BM．∵M是AC的中点，
∴S△ADM＝S△ACD，S△ABM＝S△ABC，
∴S△ADM＋S△ABM＝(S△ACD＋S△ABC)＝S四边形ABCD＝1 012，
∵M是AC的中点，∴S△BPM＝S△MPC＋S△CBM＝S△APC＋S△ABC＝ S△ABP．
∵N是BD的中点，
∴S△BPN＝S△BPD，S△BMN＝S△BMD，
∴S△PMN＝S△BPM－S△BMN－S△BPN
＝S△ABP－S△BMD－S△BPD
＝(S△ABP－S△BMD－S△BPD)
＝(S△ADM＋S△ABM)
＝506．
10．A　【点拨】∵沿着∠BAC的平分线AD翻折△ABD，得到△AED，∴BD＝DE，AB＝AE，
∴△CDE的周长＝DE＋CE＋CD＝BD＋CE＋CD＝BC＋CE＝m．
∵沿着AB的垂直平分线翻折△BFG，得到△AFG，∴AG＝BG，
∴△AGC的周长＝AG＋CG＋AC＝BG＋CG＋AC＝BC＋AC＝n，
∴AC－CE＝n－m，∴AE＝n－m，∴AB＝n－m．
二、11．两个角是对顶角；这两个角相等　12．82°
13．3 　【点拨】∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE＋∠ABE＝90°．
∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＋∠FAC＝90°，
∴∠FAC＝∠ABE．
在△ABE和△CAF中，∵
∴△ABE≌△CAF，∴AF＝BE，AE＝CF．
∵BE＝4，CF＝1，∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，
∴EF＝AF－AE＝4－1＝3．
14．16 m　【点拨】∵AB∥CD，∴∠ABP＝∠CDP．
∵PD⊥CD，∴∠CDP＝90°，
∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB．
∵相邻两平行线间的距离相等，∴PD＝PB．
在△ABP与△CDP中，∵
∴△ABP≌△CDP，∴AB＝CD＝16 m．
15．6　【点拨】∵BQ平分∠ABC，
∴∠ABQ＝∠EBQ，
在△ABQ和△EBQ中，∵
∴△ABQ≌△EBQ(ASA)，∴BA＝BE．
同理可得AC＝CD．
∵△ABC的周长为26，∴AB＋AC＋BC＝26，
∵BC＝10，∴AB＋AC＝16，∴BE＋CD＝16，
∴DE＝BE＋CD－BC＝16－10＝6．
16．2α＋β＝180°　【点拨】延长C'D交AC于点M．
∵△ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB'，
∴∠ACD＝∠C'，∠C'AD＝∠CAD＝∠B'AE＝α，
∠ABE＝∠B'，
∴∠C'MC＝∠C'＋∠C'AM＝∠C'＋2α．
∵C'D∥B'E，∴∠AEB'＝∠C'MC．
∵∠AEB'＝180°－∠B'－∠B'AE＝180°－∠B'－α，
∴∠C'＋2α＝180°－∠B'－α，
∴∠C'＋∠B'＝180°－3α．
∴β＝∠BFC＝∠BDF＋∠DBF＝∠DAC＋∠ACD＋∠B'＝α＋∠C'＋∠B'＝α＋180°－3α＝180°－2α，∴2α＋β＝180°．
三、17．【解】(1)如图，直线MN即为所求．
(2)如图，由(1)可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，∴DC＝DB，
∴△ACD的周长＝AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB．
∵AB＝8，AC＝4，∴△ACD的周长＝8＋4＝12．
18．【解】AD∥EB．理由如下：
∵CF所在直线为线段DE的垂直平分线，
∴CD＝CE．
在△ADC和△BCE中，∵
∴△ADC≌△BCE，∴∠A＝∠B，∴AD∥EB．
19．【解】(1)∵GH∥BC，∴∠B＝∠GAB＝60°，
∴∠CAF＝∠B＋∠C＝60°＋40°＝100°．
(2)∵∠CAF＝100°，∴∠BAC＝80°．
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝40°．
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝180°－90°－60°＝30°．
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝10°．
20．【解】(1)如果①，②，那么③．如果①，③，那么②．
(2)选择“如果①，②，那么③”．理由如下：
∵AE∥DF，∴∠A＝∠D．
∵AB＝CD，∴AB＋BC＝BC＋CD，即AC＝DB．
在△ACE和△DBF中，∵
∴△ACE≌△DBF(AAS)，∴CE＝BF．
选择“如果①，③，那么②．”理由如下：
∵AE∥DF，∴∠A＝∠D．
在△ACE和△DBF中，∵
∴△ACE≌△DBF(AAS)，∴AC＝DB，
∴AC－BC＝DB－BC，即AB＝CD．
(选择一个命题说明即可)
21．(1)55°；90°　【点拨】∵BC∥AD，
∴∠ABC＋∠BAD＝180°．
∵AP，BP分别是∠BAD，∠ABC的平分线，
∴∠ABP＝∠ABC，∠BAP＝∠BAD，
∴∠ABP＋∠BAP＝(∠ABC＋∠BAD)＝90°，
∴∠APB＝180°－(∠ABP＋∠BAP)＝90°．
∵∠BAD＝70°，∴∠BAP＝∠BAD＝35°，
∴∠ABP＝90°－35°＝55°．
(2)【证明】如图，延长BP交AD的延长线于点G，
由(1)得∠APB＝90°，
∴BP⊥AP．
在△ABP和△AGP中，
∵
∴△ABP≌△AGP(ASA)，∴BA＝GA，BP＝GP．
∵BC∥AD，∴∠CBP＝∠DGP．
在△BCP和△GDP中，∵
∴△BCP≌△GDP(ASA)，∴BC＝GD，
∴AB＝GA＝GD＋AD＝BC＋AD．
22．(1)【证明】∵PD⊥BD，∴∠PDB＝90°，
∴∠BDC＋∠PDA＝90°．
又∵∠C＝90°，∴∠BDC＋∠CBD＝180°－90°＝90°，∴∠PDA＝∠CBD．
∵AE⊥AC，∴∠PAD＝90°＝∠C．
∵BC＝6 cm，AD＝6 cm，∴AD＝BC．
在△PDA和△DBC中，∵
∴△PDA≌△DBC(ASA)．
(2)【解】∵PD⊥AB，∴∠AFP＝90°，
∴∠PAF＋∠APF＝180°－90°＝90°．
∵∠PAD＝90°，∴∠PAF＋∠CAB＝90°，
∴∠APF＝∠CAB．
在△APD和△CAB中，∵
∴△APD≌△CAB(AAS)，∴AP＝AC．
∵AC＝8 cm，∴AP＝8 cm，∴t＝8．
23．【解】(1)过点C作CD⊥OM，交直线OM于点D，由题意可知CD＝5．
∵OM⊥ON，CD⊥OM，
∴∠AOB＝∠BDC＝∠ABC＝90°，
∴∠BAO＋∠ABO＝90°，∠CBD＋∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBD．
在△AOB和△BDC中，∵
∴△AOB≌△BDC(AAS)，∴OB＝CD＝5．
(2)不变．过点E作EG⊥OM于点G，由题意可知△OBF，△ABE都是等腰直角三角形，且∠ABE＝∠OBF＝90°，∴BE＝AB，OB＝FB，∠EBG＋∠ABO＝180°－∠ABE＝90°，∠FBP＝180°－∠OBF＝90°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠BAO＋∠ABO＝90°，∴∠EBG＝∠BAO．
在△EBG和△BAO中，∵
∴△EBG≌△BAO(AAS)，
∴BG＝OA＝6，EG＝OB，∴EG＝FB．
在△EGP和△FBP中，∵
∴△EGP≌△FBP(AAS)，∴PB＝PG．
∵PB＋PG＝BG＝6，∴PB＝BG＝3．
24．【解】【问题背景】EF＝BE＋FD
【探索延伸】EF＝BE＋FD仍然成立．
理由：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADG．
又∵AB＝AD，BE＝DG，∴△ABE≌△ADG，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．
又∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠FAD＋∠DAG＝∠FAD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝∠BAD－∠BAD＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠GAF．
又∵AF＝AF，AE＝AG，
∴△AEF≌△AGF，∴EF＝GF．
又∵GF＝DG＋FD＝BE＋FD，∴EF＝BE＋FD．