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《第1章三角形的初步知识》单元练习题（含解答）
一、单选题
1．如图，图中∠1的大小等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【详解】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
可得：130°=60°+∠1，
∴∠1=70°．
故选D．
小明有两根长度为5cm，10cm的木棒，他想钉一个三角形木框，
桌上有几根木棒供他选择，他有几种选择？（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【分析】利用三角形的三边关系进行分析即可．
【详解】解：设第三根木棒的长度为xcm，
∵小明有两根长度为5cm和10cm的木棒，
∴10﹣5＜x＜10+5，
即：5＜x＜15，
10cm和12cm适合，
故选：B．
某同学把一块三角形的玻璃打碎了块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，
那么最省事的方法是（ ）
A．带去 B．带去 C．带去 D．带去
【答案】C
【详解】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有、、、、，做题时要根据已知条件进行选择运用．据此逐项判断即可求解．
【解答】解：A. 第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，不合题意；
B. 第②块仅保留了原三角形的一部分边，不符合任何判断方法，不合题意；
C. 第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃，符合题意；
D. 带去，可以得到一块一样的玻璃，但不如直接带省事，不合题意．
故选：C
4．在中，，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和定理及三个内角的比例关系即可解答．
【详解】解：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=5x，
∴2x+3x+5x=180°，
解得：x=18°，
∴∠A=36°，∠B=54°，∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形，
故答案为：A．
5．如图，，点在一条直线上．已知，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
根据全等三角形的性质，找出相等的边，再求出的长度即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故，
故选：B．
如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为,
所以.由这种作图方法得到的和全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【分析】利用基本作图得到OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，于是可利用“SSS”判断△D′O′C′≌△DOC，然后根据全等三角形的性质得到角相等．
【详解】解：根据作图得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，
所以利用“SSS”可判断为△D′O′C′≌△DOC，
所以∠D′O′C′=∠DOC．(SSS)
故选A.
如图，是的中线，E是的中点，连结，．若的面积是8，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】A
【分析】根据是的中线得，根据E是的中点得，，然后根据求解即可．
【详解】∵是的中线，
∴，
∵E是的中点，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的个数为（ ）
①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：AD不一定平分∠BAF，①错误；
AF不一定平分∠DAC，②错误；
∵∠1=∠2，∴AE平分∠DAF，③正确；
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠CAE，∴AE平分∠BAC，④正确；
故选B．
9．如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于点G.若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为（ ）
A．70° B．80°
C．50° D．55°
【答案】B
【详解】连接BC.
∵∠BDC=140°，
∴∠DBC+∠DCB=180° 140°=40°，
∵∠BGC=110°，
∴∠GBC+∠GCB=180° 110°=70°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠GBD+∠GCD=∠ABD+∠ACD=30°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠A=180° 100°=80°.
故选：B.
10 .如图，在中， ，以A为圆心，适当长为半径画弧，
交于点M，交于点N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，
两弧在的内部交于点P，连结并延长，交BC于点D．有下列说法：
①线段是的平分线；②；③点D到边的距离与的长相等；
④与的面积之比是．其中结论正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【分析】由基本作图可对①进行判断；线求出，再利用角平分线的定义计算出，则，于是可对②进行判断；根据角平分线的性质可对③进行判断；利用含30度的直角三角形三边的关系得到，则，所以，然后根据三角形面积公式可对④进行判断．
【详解】由作法得平分，故①正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵平分，，
∴点D到边的距离与的长相等，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故④不正确．
故选：C．
二、填空题
11．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于______
【详解】∵AB∥CD，∠A=70°，
∴∠1=∠A=70°，
∵∠1=∠C+∠E，∠C=40°，
∴∠E=∠1﹣∠C=70°﹣40°=30°．
故答案为 30°
如图，已知∠B=∠C．添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），
你添加的条件是 ；
【答案】AB=AC（答案不唯一）．
【分析】首先根据已知条件，判断可选的三角形判定定理，然后添加条件即可.
【详解】已知∠B=∠C．加上公共角∠A=∠A．要使△ABD≌△ACE，只要添加一条对应边相等即可．故可添加
AB=AC或AD=AE或BD=CE或BE=CD等，答案不唯一．
如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，
且∠DAE＝15°，∠B＝35°，则∠C＝ °.
【答案】65
【分析】由∠DAE=15°，∠ADE=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠AED=90°-∠DAE=75°，再根据三角形外角的性质可得∠BAE=∠AED-∠B=40°，再根据角平分线的定义求得∠BAC=2∠BAE=80°，再由三角形内角和定理即可求得∠C的度数.
【详解】∵∠DAE=15°，∠ADE=90°，
∴∠AED=90°-∠DAE=75°，
∴∠BAE=∠AED-∠B=75°-35°=40°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=80°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=65°，
故答案为65.
14．如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握其运用是解题的关键．
根据垂直平分线的性质可得，则，可得的值，根据的周长的计算方法即可求解．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴
已知的周长为，即，
∴
∵的周长为，且，
∴，
故答案为： ．
15．如图，是一把椅子的侧面图，椅面与地面平行，， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，先求出的度数，再根据平行线的性质，求出的度数即可．
【详解】解：∵， ，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16 .如图，在中，点是的中点，点是的中点，射线交于点，
若的面积为2，则的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的中线平分三角形的面积是解答此题的关键．
连接，设的面积为，根据中线的定义即可得到，的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，即可得到，解得即可．
【详解】解：连接，
设的面积为，
，
∴的面积的面积，的面积的面积，
，
的面积的面积，的面积的面积，
有
解得，
则的面积为6，
故答案为：6．
三、解答题
17．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AD为∠BAC的平分线，∠B=40°，∠C=70°，求∠DAE的度数．
【答案】15°
【分析】先在△ABC中，求出∠BAC的大小，从而得出∠CAD的大小，然后在△AEC中，求出∠CAE的大小，最后在△ADE中求出∠DAE的大小.
【详解】在△ABC中，因为∠B=40°，∠C=70°，
所以∠BAC=180°–∠B–∠C=70°．
因为AD为∠BAC的平分线，
所以∠CAD=∠BAC=35°．
因为AE⊥BC，所以∠AEC=90°．
所以∠CAE=90°–∠C=20°．
所以∠DAE=∠CAD–∠CAE=15°．
18．如图，点E，F在线段BC上，AB∥CD，AB=DC，BF=CE．求证：AF∥DE．
【答案】见解析
【分析】根据AB∥CD，可得∠B=∠C，易证△ABF≌△DCE（SAS），根据全等三角形的性质可得∠AFB=∠DEC，进一步即可得证．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△DCF中，，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠AFB=∠DEC，
∴AF∥DE．
19．图1是自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中都与地面平行，．当的度数为多少时，能够使得与平行？
【答案】当时，
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理的应用，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【详解】解：∵，都与地面l平行，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，．
20．小光的叔叔帮他出了一个这样的主意：
如图，先在地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使；
连接并延长到，使；连接并测量出它的长度，叔叔说，的长度就是的长度，
这样做可以吗？请说明理由．
【答案】这样做可以，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形在实际生活中的应用，解题的关键是根据题意证明，根据全等三角形的性质即可得到．
【详解】解：这样做可以，理由如下：
由题意知：AC＝DC，BC＝EC，
在和中，
，
∴，
∴，
∴量出的长，就是，两点间的距离．
如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．
乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，
点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，求到的距离．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，作，垂足为F，先证明，再证明，得到，证明，得到；则，则，即到的距离是．
【详解】解：作，垂足为F，
∵，
∴，
在中，；
又∵，
∴，
∴；
在和中，
，
∴；
∴，
∵
∴，
∵，
∴；
∴，
∴，
即到的距离是．
22．如图，四边形ABCD中，点F是BC中点，连接AF并延长，交于DC的延长线于点E，且∠1=∠2．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若AD∥BC，∠B=125°，求∠D的度数．
【答案】（1）证明见解析（2）125°
【分析】（1）根据AAS即可判定△ABF≌△ECF．（2）利用平行四边形对角相等即可证明．
【详解】（1）证明：在△ABF和△ECF中，
，
∴△ABF≌△ECF（AAS）
（2）解：∵∠1=∠2（已知），
∴AB∥ED（内错角相等，两直线平行），
∵AD∥BC（已知），
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边平行的四边形是平行四边形），
∴∠D=∠B=125°（平行四边形的对角相等）．
23．如图，在中，，于点E，于点D，与交于点F，，求证：(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先判定出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得证．
【详解】（1）∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（1）可知：，
∵，
∴，
∴．
24．如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；
(2) 当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；
(3) 当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？
请直接写出这个等量关系，不需要证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
(3)(或，)．
【分析】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明和全等的三个条件．题型较好．
（1）①已知已有两直角相等和，再由同角的余角相等证明即可证明；
②由全等三角形的对应边相等得到，，从而得证；
（2）根据垂直定义求出，根据等式性质求出，根据证出和全等，再由全等三角形的对应边相等得到，，从而得证；
（3）同样由三角形全等寻找边的关系，根据位置寻找和差的关系．
【详解】（1）①证明：∵，，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴；
②由①知，，
∴，，
∵，
∴；
（2）证明：∵于D，于E，
∴，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴．
∴，，
∴．
（3）解：同（2）理可证．
∴，，
∵
∴，即；
当旋转到图3的位置时，、、所满足的等量关系是
(或，)．
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《第1章三角形的初步知识》单元练习题
一、单选题
1．如图，图中∠1的大小等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
小明有两根长度为5cm，10cm的木棒，他想钉一个三角形木框，
桌上有几根木棒供他选择，他有几种选择？（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
某同学把一块三角形的玻璃打碎了块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，
那么最省事的方法是（ ）
A．带去 B．带去 C．带去 D．带去
4． 在中，，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
5． 如图，，点在一条直线上．已知，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为,
所以.由这种作图方法得到的和全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
如图，是的中线，E是的中点，连结，．若的面积是8，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的个数为（ ）
①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC．
A．1 B．2 C．3 D．4
如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于点G.若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，
则∠A的度数为（ ）
A．70° B．80°
C．50° D．55°
10 .如图，在中， ，以A为圆心，适当长为半径画弧，
交于点M，交于点N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，
两弧在的内部交于点P，连结并延长，交BC于点D．有下列说法：
①线段是的平分线；②；③点D到边的距离与的长相等；
④与的面积之比是．其中结论正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④
二、填空题
11．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于______
如图，已知∠B=∠C．添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），
你添加的条件是 ；
如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，
且∠DAE＝15°，∠B＝35°，则∠C＝ °.
如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，
则的周长为 ．
如图，是一把椅子的侧面图，椅面与地面平行，， ，则 ．
16 . 如图，在中，点是的中点，点是的中点，射线交于点，
若的面积为2，则的面积为 ．
三、解答题
17．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AD为∠BAC的平分线，∠B=40°，∠C=70°，求∠DAE的度数．
如图，点E，F在线段BC上，AB∥CD，AB=DC，BF=CE．求证：AF∥DE．
图1是自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中都与地面平行，
．当的度数为多少时，能够使得与平行？
20．小光的叔叔帮他出了一个这样的主意：
如图，先在地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使；
连接并延长到，使；连接并测量出它的长度，叔叔说，的长度就是的长度，
这样做可以吗？请说明理由．
如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．
乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，
点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，求到的距离．
22．如图，四边形ABCD中，点F是BC中点，连接AF并延长，交于DC的延长线于点E，且∠1=∠2．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若AD∥BC，∠B=125°，求∠D的度数．
23． 如图，在中，，于点E，于点D，与交于点F，，求证：(1)；
(2)．
24．如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；
(2) 当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；
(3) 当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？
请直接写出这个等量关系，不需要证明．
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