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第1章《三角形的初步知识》测试题（含解答）
一、单选题
1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上
完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的应用．图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出，
所以，依据是ASA．
故选：D．
2．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】C
【详解】如图，
∵∠1=90°-60°=30°，
∴∠α=45°+30°=75°．故选C．
有4根小木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，任意取3根小木棒首尾相接搭三角形，
可搭出不同的三角形的个数为 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行判断．
【详解】解：可搭出不同的三角形为：
2cm、3cm、4cm；2cm、4cm、5cm；3cm、4cm、5cm共3个．
故选C．
4．如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，则EC的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【答案】B
【分析】先根据全等三角形的性质可得，再根据线段和差即可得．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．
5 . 小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，
木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），
点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．36 B．32 C．28 D．21
【答案】A
【分析】根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明，利用全等三角形的性质进行解答．
【详解】解：由题意得，，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
由题意得，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
故选：A．
如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，
已知直线EF与BD相交于点P，，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．85°
【答案】C
【分析】由平行线的性质得到，再由三角形外角定理即可求解．此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，，
，
故选：C．
如图，已知，，增加下列条件：
①；②；③；④．
其中能使的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【分析】解：①，，，
和不一定全等，
故①不符合题意；
②，，，
，
故②符合题意；
③，
，
，
，，
，
故③符合题意；
④，，，
，
故④符合题意；
所以，增加上列条件，其中能使的条件有3个，
故选：B．
如图，点D和点E分别是△ABC边BC和AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F
若△ABC的面积为12，则△BDF与△AEF的面积之差为（ ）
A．1 B．1.5 C．1.75 D．2
【答案】D
【分析】由△ABC的面积为12，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．
【详解】解：设BC边的高为hBC，AC边的高为hAC，
∵S△ABC＝BC hBC＝AC hAC＝12，
∴S△ABC＝（BD+CD） hBC＝（AE+CE） hAC＝12，
∵AE＝CE，S△AEB＝AE hAC，S△BCE＝EC hAC，
∴S△AEB＝S△CEB＝S△ABC＝×12＝6，
即S△AEF+S△ABF＝6①，
∵BD＝2CD，BD+CD＝BC，
∴BD＝BC，S△ABD＝BD hBC，
∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝8，
即S△BDF+S△ABF＝8②，
②﹣①得：S△BDF﹣SAEF＝（S△BDF+S△ABF）﹣（S△AEF+S△ABF）＝8﹣6＝2，
故选：D．
9 . 对于题目：如图，是的角平分线，于点，若，
求的度数．下面是打乱了的解题过程：
①∵；
②；
③∵平分，∴；
④∵，，
则下列排序正确的是（ ）
A．③④②① B．④②①③ C．③②④① D．③①④②
【答案】A
【分析】根据角平分线、直角三角形的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵平分
∴
∵
∴
∴
∴
故选：A．
如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，
连接，，连接，下列结论中正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④
【答案】D
【分析】因为，且，故延长至G，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以①是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，根据等腰三角形的性质可以判断③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的．
【详解】解：如图，延长至G，使，设与交于点M，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，故①是正确的；
∵，
∴，故③正确；
∴平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，故②是不正确的；
∵，
∴，
∵，
∴，故④是正确的，
综上所述：其中正确的有①③④．
故选：D．
二、填空题
11．如图所示，图中的 °．
【答案】50
【分析】根据三角形的外角性质得到，然后把，代入计算即可得到的度数．
【详解】解：如图，
，
而，
，
．
故答案为：．
12 .如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：
因为,
所以.
由这种作图方法得到的和全等的依据是______
【答案】SSS
【分析】利用基本作图得到OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，于是可利用“SSS”判断△D′O′C′≌△DOC，然后根据全等三角形的性质得到角相等．
【详解】解：根据作图得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，
所以利用“SSS”可判断为△D′O′C′≌△DOC，
所以∠D′O′C′=∠DOC．(SSS)
故答案为：SSS
13 .如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，
且∠DAE＝15°，∠B＝35°，则∠C＝ °.
【答案】65
【分析】由∠DAE=15°，∠ADE=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠AED=90°-∠DAE=75°，再根据三角形外角的性质可得∠BAE=∠AED-∠B=40°，再根据角平分线的定义求得∠BAC=2∠BAE=80°，再由三角形内角和定理即可求得∠C的度数.
【详解】∵∠DAE=15°，∠ADE=90°，
∴∠AED=90°-∠DAE=75°，
∴∠BAE=∠AED-∠B=75°-35°=40°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=80°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=65°，
故答案为65.
14．如图，△ADB≌△ECB，若∠CBD＝40°，BD⊥EC，则∠D的度数为 ．
【答案】50°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠C，再根据全等三角形对应角相等可得∠D=∠C．
【详解】∵∠CBD=40°，BD⊥EC，
∴∠C=90°-∠CBD=90°-40°=50°，
∵△ADB≌△ECB，
∴∠D=∠C=50°．
故答案为50°．
如图，已知在和中，B，E，F，C在同一直线上，，，
请补充一个条件： ，使．
【答案】或（只要写出一个即可）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理．已知两组边对应相等，可以添加两组对应边夹角对应相等，也可以添加第三边对应相等进行补充条件即可．
【详解】解：，
，
即，
又，
已经具备两个条件，当补充它们的夹角相等，
或第三边相等即可分别利用或判定两三角形全等，
即补充或即可，
故答案为：或（只要写出一个即可）．
如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，
则的周长为 ．
【答案】/厘米
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握其运用是解题的关键．
根据垂直平分线的性质可得，则，可得的值，根据的周长的计算方法即可求解．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴
已知的周长为，即，
∴
∵的周长为，且，
∴，
故答案为： ．
17．如图，点D，E，F，B在同一条直线上，AB∥CD，AE∥CF且AE=CF，若BD=10，BF=3.5，则EF= ．
【答案】3
【详解】解：∵AB∥CD，AE∥CF，
∴∠B=∠D，∠AEB=∠CFD，
∴在△ABE和△CDF中： ，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∴BE-EF=DF-EF，即BF=DE=3.5，
∴EF=BD-BF-DE=10-3.5-3.5=3．
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：
①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．
其中不正确结论的序号是 ．
【答案】④
【分析】根据全等三角形的性质可得，根据平角的定义可得，即可判断①，根据全等三角形的性质得出，，结合①可得是的垂直平分线，即可判断②，根据SSS即可证明③，不能得出结论④．
【详解】解：∵△ABO≌△ADO，
∴，，
∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴，
∴①AC⊥BD正确；
∵，
∴是的垂直平分线，
∴②CB=CD正确；
∵，
∴③△ABC≌△ADC正确；
由已知条件不能判断④DA=DC．
故答案为：④．
解答题
19.如图，在△AEC中，点D是EC上的一点，且AE=AD，AB=AC，∠1=∠2．求证：BD=EC．
【答案】见解析．
【分析】由已知角相等，利用等式的性质结合图形得到∠DAB=∠EAC，利用SAS得到△EAC≌△DAB，利用全等三角形对应边相等即可得证．
【详解】∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠DAB=∠EAC，
在△EAC和△DAB中，，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD=EC．
20 .为进一步丰富社区居民的文化生活，某社区开展露天观影活动．
该社区计划为居民配备如图①所示的折叠凳，图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，
厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为．请根据以上信息求出的长度，并说明你的理由．
【答案】30cm
【分析】证明，即可求解．
【详解】解：∵点是，的中点，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
小丽与爸妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，
两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，
若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．
(1)与全等吗？请说明理由；
(2)爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
【答案】(1)全等，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明≌是解题的关键．
（1）由直角三角形的性质得出，根据可证明≌；
（2）由全等三角形的性质得出，，求出的长则可得出答案．
【详解】（1）全等，理由如下：
由题意可知，，
，
，
，
在和中，
,
（2）；
，
，，
、分别为和，
∴
妈妈在距地面高的处，即，
∴，
答：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的．
22．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
（1）求证：BD=CE；
（2）求证：∠M=∠N．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定证明△ABD≌△ACE（SAS）即可；
（2）由△ABD≌△ACE证得∠B=∠C，进而证得△ACM≌△ABN（ASA），再根据全等三角形的性质可证得结论．
【详解】（1）证明：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，
即∠BAN=∠CAM，
由（1）知：△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠C，
在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（ASA），
∴∠M=∠N．
【基础巩固】
如图1，已知垂足分别为点A，B．
若，，探究与的关系，并说明理由．
【尝试应用】
如图2，垂足分别为点A，B，．
点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上以同样的速度运动，
它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
当时，判断此时线段和线段的关系，并说明理由．
【拓展提高】
如图3，在【尝试应用】的基础上，把“”改为“”，
若点Q的运动速度为，其它条件不变，当点P，Q运动到何处时有与全等，
求出相应的x的值．
【答案】基础巩固：，理由见解析；尝试运用：；拓展提高当与全等时的x值为2或
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明，解决此题的是注意分类讨论．
基础巩固：根据证明，进而解答即可；
尝试应用：根据证明，进而解答即可；
拓展提高：根据全等三角形的性质得出方程解答即可，注意分类．
【详解】解：基础巩固：．
理由：，
，
，，
在与中，
，
，
，
，
，
，
；
尝试运用：
．
当时，，
，
，
，
由基础巩固中的结论可知：；
拓展提高
①若设运动时间为时，
则，
可得：，，
；
②若设运动时间为时，，
则，可得：，，
，，
综上所述，当与全等时的x值为2或．
24．综合与探究
【问题发现】
在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．
数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，
则与之间存在一定的数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整．
，分别是和的平分线，，．，，……
【问题探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明．
【问题拓展】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中．
①请说明与之间的数量关系．
②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①，②或
【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
（1）先根据角平分线的性质得出，，在有三角形内角和定理得出，利用等量代换即可得出结论；
（2）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形的外角的性质即可得出结论；
（3）①先根据角平分线的性质得，，
，再根据三角形的内角和定理得出根据，即可得出结论；②延长至点F，根据角平分线的定理得出，然后分、和两种情况讨论即可得出结论；
【详解】[问题发现]
（1），分别是和的平分线，
，，
，
，
，
，
；
[问题探究]
（2），分别是，的平分线，
，，
，，
，，
，
，
，
由（1）知，
，
[问题拓展]
（3）①是的平分线，是的平分线，
，，
，
，
，
由（2）知，
；
②延长至点F，
是的外角的平分线，
是的外角的平分线，
，
是的平分线，
，
即，
，
即，，
，
在中，与都是锐角，
当时，
，
，
，
，
当时
，
，
，
，
综上所述，的度数为 或 ．
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第1章《三角形的初步知识》测试题
一、单选题
1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上
完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA
2．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
有4根小木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，任意取3根小木棒首尾相接搭三角形，
可搭出不同的三角形的个数为 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，则EC的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
5 . 小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，
木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），
点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．36 B．32 C．28 D．21
如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，
已知直线EF与BD相交于点P，，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．85°
如图，已知，，增加下列条件：
①；②；③；④．
其中能使的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
如图，点D和点E分别是△ABC边BC和AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F
若△ABC的面积为12，则△BDF与△AEF的面积之差为（ ）
A．1 B．1.5 C．1.75 D．2
9 . 对于题目：如图，是的角平分线，于点，若，
求的度数．下面是打乱了的解题过程：
①∵；
②；
③∵平分，∴；
④∵，，
则下列排序正确的是（ ）
A．③④②① B．④②①③ C．③②④① D．③①④②
如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，
连接，，连接，下列结论中正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④
二、填空题
11．如图所示，图中的 °．
12 .如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：
因为,
所以.
由这种作图方法得到的和全等的依据是______
13 .如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，
且∠DAE＝15°，∠B＝35°，则∠C＝ °.
14．如图，△ADB≌△ECB，若∠CBD＝40°，BD⊥EC，则∠D的度数为 ．
如图，已知在和中，B，E，F，C在同一直线上，，，
请补充一个条件： ，使．
如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，
则的周长为 ．
17．如图，点D，E，F，B在同一条直线上，AB∥CD，AE∥CF且AE=CF，若BD=10，BF=3.5，则EF= ．
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：
①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．
其中不正确结论的序号是 ．
解答题
19.如图，在△AEC中，点D是EC上的一点，且AE=AD，AB=AC，∠1=∠2．求证：BD=EC．
20 .为进一步丰富社区居民的文化生活，某社区开展露天观影活动．
该社区计划为居民配备如图①所示的折叠凳，图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，
厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为．请根据以上信息求出的长度，并说明你的理由．
小丽与爸妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，
两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，
若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．
(1)与全等吗？请说明理由；
(2)爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
22．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
（1）求证：BD=CE；
（2）求证：∠M=∠N．
【基础巩固】
如图1，已知垂足分别为点A，B．
若，，探究与的关系，并说明理由．
【尝试应用】
如图2，垂足分别为点A，B，．
点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上以同样的速度运动，
它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
当时，判断此时线段和线段的关系，并说明理由．
【拓展提高】
如图3，在【尝试应用】的基础上，把“”改为“”，
若点Q的运动速度为，其它条件不变，当点P，Q运动到何处时有与全等，
求出相应的x的值．
24．综合与探究
【问题发现】
在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．
数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，
则与之间存在一定的数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整．
，分别是和的平分线，，．，，……
【问题探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明．
【问题拓展】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中．
①请说明与之间的数量关系．
②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数．
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