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第三章 《实数 》 练习题 （含解析）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．在实数 …中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．
【详解】解：，，为有理数，
，，是无理数，共有3个，
故选：B．
2．实数4的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】由平方根的概念即可选择．
【详解】∵，
∴4的平方根是，
故选：C．
3．以下语句及写成式子正确的是（ ）
A．7是49的算术平方根，即 B．7是的算术平方根，即
C．±7是49的平方根，即 D．±7是49的平方根，即
【答案】B
【分析】分别利用算术平方根和平方根的定义及性质对每个选项逐个分析后即可得到正确的答案．
【详解】7是49的算术平方根，即=7，故A选项错误；
7是（-7）2的平方根，即± =±7，故B选项错误；
C、±7是49的平方根，即±=±7，故本选项错误；
D、±7是49的平方根，即±=±7，故本选项正确．
故选D．
4．下列说法中错误的是（ ）
A．9的算术平方根是3 B．的平方根是
C．27的立方根为 D．立方根等于1的数是1
【答案】C
【分析】根据算术平方根，平方根，立方根的定义求出每个的值，再判断即可．
【详解】解：A、9的算术平方根是3，故本选项错误；
B、的平方根是，故本选项错误；
C、27的立方根是3，故本选项正确；
D、立方根等于1的数是1，故本选项错误；
故选C．
5 .已知，，那么约等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当被开方数扩大（或缩小）为原来的100倍，其算术平方根扩大（或缩小）为原来的10倍．其余的依此类推，利用这个规律即可解决问题．
【详解】解： ，
，
故答案为：A．
6．一个正方体的水晶砖，体积为，它的棱长大约在（ ）
A．与之间 B．与之间
C．与之间 D．与之间
【答案】B
【分析】先根据立方根的意义求出边长，然后估算即可．
【详解】解：∵正方体的水晶砖的体积为，
∴它的棱长为，
∵，
∴，
∴它的棱长大约在与之间．
故选B．
7.若一个正数的平方根是与，则这个正数是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，求得的值，然后即可求得这个正数．
【详解】解：∵一个正数的平方根是与，
∴
解得
故选D
8.如示意图，小宇利用两个面积为1 dm2的正方形拼成了一个面积为2 dm2的大正方形，
并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小． 为了感知更多无理数的大小，
小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（ ）
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
D．利用四个直角边分别为1 dm和3 dm的直角三角形以及一个边长为2 dm的正方形感知dm的大小
【答案】C
【分析】在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的面积，看是否相等，就可以逐一排除．
【解析】A：，=8，不符合题意；
B：4×(3×3÷2)=18，=18，不符合题意；
C：，，符合题意；
D：，，不符合题意．
故选：C．
9 .有一个数值转换器，流程如下：
当输入的值为时，输出的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】依据转换器流程，先求出的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数；再取算术平方根为，最后输出，即可求出y的值．
【详解】解：∵的算术平方根是8，8是有理数，
取8的立方根为2，是有理数，
再取2的算术平方根为，是无理数，
则输出，
∴y的值是．
故选：B．
10．已知T1=，T2=，T3=，，Tn=，其中为正整数．设Sn=T1+T2+T3++Tn，则S2021值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数字间的规律探索列式计算
【解析】解：由题意可得：T1=，
T2=，
T3=
∴Tn=
∴T2021=
∴S2021=T1+T2+T3++T2021
=
=
=
=
=
=
=
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．比较大小： （填“>”、“<”或“=”）．
【答案】
【分析】本题主要查了无理数的大小比较．根据“两个负数，绝对值大的反而小”，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
12．＋－= .
【答案】1
【详解】试题解析：原式
故答案为1.
13．若，是3的相反数，则的值为 ．
【答案】-2
【分析】根据相反数的定义求出b，由可得：.然后进行计算即可求解.
【详解】解：由题意知：b=-3，且.
∴.
则.
观察下列各式：， ，……，
若，则m =
【答案】9
【分析】根据观察可知：，将代入即可得出答案．
【详解】解：，，……，
故答案为：．
15．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1），，，，…
（2），，，，…
利用以上规律计算结果是 ．
【答案】0
【分析】根据题干所示的规律，可知：当x为整数时，；当x为分数时，．代入计算即可．
【详解】解：根据题意可知：
当x为整数时，；
当x为分数时，；
∴，
故答案为：0．
16．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[2]=2，[3.7]=3，现对72进行如下操作：
，
这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：对109只需进行 次操作后变为1.
【答案】3
【详解】试题解析：85→第一次[]=9→第二次[]=3→第三次[]=1
故对85只需进行3次操作后变为1
三．解答题（共7小题，共66分）
17．计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先乘方，再进行减法运算；
（2）先开方，再算乘法，最后算减法．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
18．求下列各式中未知数x的值
（1）16x2﹣25=0
（2）（x﹣1）3=8．
【答案】（1）x=±；（2）x=3
【分析】（1）根据平方根的定义即可求解；
（2）根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：（1）16x2﹣25=0，
x2=，
x=±；
（2）（x﹣1）3=8，
x﹣1=2，
x=3．
19 .已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．
（1）求m的值；
（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？
解：（1）∵正数m的平方根为2n+1和4﹣3n，正数m的平方根互为相反数，
∴2n+1+4﹣3n＝0，
∴n＝5，
∴2n+1＝11，
∴m＝121；
（2）∵|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，
∴a﹣1＝0，b＝0，c﹣n＝0，
∴a＝1，b＝0，c＝n＝5，
∴a+b+c＝1+0+5＝6，
∴a+b+c的平方根是±．
我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，
若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．
例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，
，，，
其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵＝12，＝6，＝4，
∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；
（2）∵＝6，
∴分两种情况讨论：
①当＝12时，﹣3m＝144，
∴m＝﹣48；
②当＝12时，﹣12m＝144，
∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；
综上，m的值是﹣48．
21．如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．
（1）直接写出图（1）中正方形ABCD的面积及边长；
（2）在图（2）的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；
并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数．
解：（1）正方形的边长是：＝，
面积为：×＝5．
（2）见图：在数轴上表示实数，
22 . （1） 一个正数x的平方根分别是2a3与5a，求a的值；
（2）一个正数的平方根是与，求的值．
【答案】（1）－2；（2）
【分析】（1）根据平方根的概念列式子计算即可；
（2）根据平方根的概念列式子计算即可．
【详解】（1）一个正数x的平方根分别是2a3与5a
；
（2）一个正数的平方根是与，
．
阅读下面的文字，解答问题∶大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，
因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，
因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：
∵，即，
∴的整数部分是2，小数部分为．
根据上述材料，回答下列问题：
(1)的整数部分是________，小数部分是_________．
(2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值；
(3)若的整数部分为x，小数部分为y，求的平方根．
【答案】(1)4，
(2)
(3)的平方根为
【分析】（1）根据无理数的估算求解即可；
（2）根据无理数的估算求解即可；
（3）首先根据无理数的估算求出x和y的值，然后代入求解即可．
【详解】（1）∵
∴
∴的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：4，；
（2）∵，
∴，，
∴．
（3）∵
∴
∴，，
∴，
．
24．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）
（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与 2 表示的点重合；
（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数 ﹣3 表示的点重合；
②表示的点与数 2﹣ 表示的点重合；
③若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，
此时点A表示的数是 ﹣3.5 、点B表示的数是 5.5
已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，
求a的值．
解：（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，折叠点对应的数为＝0，
设﹣2表示的点所对应点表示的数为x，于是有＝0，解得x＝2，
故答案为2；
（2）折叠纸面，使表示的点﹣1与3重合，折叠点对应的数为＝1，
①设5表示的点所对应点表示的数为y，于是有＝1，解得y＝﹣3，
②设表示的点所对应点表示的数为z，于是有＝1，解得z＝2﹣，
③设点A所表示的数为a，点B表示的数为b，由题意得：
＝1且b﹣a＝9，解得：a＝﹣3.5，b＝5.5，
故答案为：﹣3，2﹣，﹣3.5，5.5；
（3）①A往左移4个单位：（a﹣4）+a＝0．解得：a＝2．
②A往右移4个单位：（a+4）+a＝0，解得：a＝﹣2．
答：a的值为2或﹣2
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第三章 《实数 》 练习题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1． 在实数 …中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
实数4的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．4
以下语句及写成式子正确的是（ ）
A．7是49的算术平方根，即 B．7是的算术平方根，即
C．±7是49的平方根，即 D．±7是49的平方根，即
4． 下列说法中错误的是（ ）
A．9的算术平方根是3 B．的平方根是
C．27的立方根为 D．立方根等于1的数是1
5 . 已知，，那么约等于（ ）
A． B． C． D．
6．一个正方体的水晶砖，体积为，它的棱长大约在（ ）
A．与之间 B．与之间
C．与之间 D．与之间
7. 若一个正数的平方根是与，则这个正数是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
如示意图，小宇利用两个面积为1 dm2的正方形拼成了一个面积为2 dm2的大正方形，
并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小． 为了感知更多无理数的大小，
小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（ ）
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
D．利用四个直角边分别为1 dm和3 dm的直角三角形以及一个边长为2 dm的正方形感知dm的大小
9 .有一个数值转换器，流程如下：
当输入的值为时，输出的值是（ ）
A．2 B． C． D．
10．已知T1=，T2=，T3=，，Tn=，其中为正整数．设Sn=T1+T2+T3++Tn，则S2021值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．比较大小： （填“>”、“<”或“=”）．
12．＋－= .
13．若，是3的相反数，则的值为 ．
观察下列各式：， ，……，
若，则m =
15．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1），，，，…
（2），，，，…
利用以上规律计算结果是 ．
16．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[2]=2，[3.7]=3，现对72进行如下操作：
，
这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：对109只需进行 次操作后变为1.
三．解答题（共7小题，共66分）
17．计算：
(1)
(2)．
18．求下列各式中未知数x的值
（1）16x2﹣25=0
（2）（x﹣1）3=8．
19 .已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．
（1）求m的值；
（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？
我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，
若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．
例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，
，，，
其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
21．如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．
（1）直接写出图（1）中正方形ABCD的面积及边长；
（2）在图（2）的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；
并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数．
22 . （1） 一个正数x的平方根分别是2a3与5a，求a的值；
（2）一个正数的平方根是与，求的值．
阅读下面的文字，解答问题∶大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，
因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，
因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：
∵，即，
∴的整数部分是2，小数部分为．
根据上述材料，回答下列问题：
(1)的整数部分是________，小数部分是_________．
(2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值；
(3)若的整数部分为x，小数部分为y，求的平方根．
24．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）
（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与 2 表示的点重合；
（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数 ﹣3 表示的点重合；
②表示的点与数 2﹣ 表示的点重合；
③若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，
此时点A表示的数是 ﹣3.5 、点B表示的数是 5.5
已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，
求a的值．
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