浙教版八年级下册4.6反证法练习（含解析）

八年级下册4.6反证法习题练习（解析版）
一.选择题
1. 否定结论 “至多有两个解” 的说法中, 正确的是 ( )
A. 有一个解 B. 有两个解 C. 至少有三个解 D. 至少有两个解
2. 否定 “自然数 中恰有一个偶数” 时的正确反设为
A. 都是奇数 B. a、b、c 或都是奇数或至少有两个偶数
C. a、b、c 都是偶数 D. a、b、c 中至少有两个偶数
3. 用反证法证明命题 “三角形的内角中至少有一个不大于 ” 时,反设正确的是 ( )
A. 假设三内角都不大于 B. 假设三内角都大于
C. 假设三内角至多有一个大于 D. 假设三内角至多有两个大于
4. 用反证法证明命题: “若整系数一元二次方程 有有理根,那么 中至少有一个是偶 数” 时, 下列假设正确的是 ( )
A. 假设 都是偶数 B. 假设 都不是偶数
C. 假设 至多有一个偶数 D. 假设 至多有两个偶数
5. 命题 “ 中,若 ,则 ” 的结论的否定应该是 ( )
A. B. C. D.
6. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛, 其中只有一位获奖, 有人走访了四位歌手, 甲说: “是乙或丙获奖”, 乙 说: “甲、丙都未获奖”, 丙说: “我获奖了”, 丁说: “是乙获奖了”, 四位歌手的话只有两句是对的, 则获奖的歌. 手是
A. 甲 B. 乙 . C. 丙 D. 丁
7. 用反证法证明命题 “三角形中必有一个内角小于或等于 时,首先应假设这个三角形中
A. 有一个内角大于 B. 有一个内角小于
C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于
8. 用反证法证明命题 “一个三角形中不能有两个角是直角？应先假设这个三角形中
A. 有两个角是直角 B. 有两个角是钝角
C. 有两个角是锐角 D. 一个角是钝角,一个角是直角
9. 用反证法证明命题 “在直角三角形中,至少有一个锐角不大于 ”时,应先假设 ( )
A. 有一个锐角小于 B. 每一个锐角都小于
C. 有一个锐角大于 D. 每一个锐角都大于
10. 在证明“在 中至少有两个锐角”时,第一步应假设这个三角形中
A. 没有锐角 . 都是直角 C. 最多有一个锐角 D. 有三个锐角
11. 用反证法证明: “一个三角形中至多有一个钝角”时, 应假设 ( )
A. 一个三角形中至少有两个钝角 B. 一个三角形中至多有一个钝角
C. 一个三角形中至少有一个钝角 D. 一个三角形中没有钝角
12. 用反证法证明: 在四边形中,至少有一个角不小于 ,应先假设
A. 四边形中有一个内角小于 B. 四边形中每一个内角都小于
C. 四边形中有一个内角大于 D. 四边形中每一个内角都大于
13. 用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时, 下列假设正确的是 ( )
A. 假设一个三角形中只有一个锐角 B. 假设一个三角形中至多有两个锐角
C. 假设一个三角形中没有一个锐角 D. 假设一个三角形中至少有两个钝角
14. 用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时, 下列假设正确的是 ( )
A. 三角形中最少有一个角是直角或钝角 . 三角形中没有一个角是直角或钝角
C. 三个角全是直角或钝角 D. 三角形中有两个 (或三个) 角是直角或钝角
二.填空题
15. 命题 “任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形” 的结论的否定是___。
16. 用反证法证明命题 “ 是自然数 , 可被 5 整除,那么 中至少有一个能被 5 整除”,那么反设的内容是 ___.
17. 用反证法证明命题: “一个三角形中不能有两个直角” 的过程归纳为以下三个步骤:
① ,这与三角形内角和为 相矛盾,则 不成立;
②所以一个三角形中不能有两个直角;
③假设 中有两个角是直角,不妨设 .
正确顺序的序号排列为___。
若 ,证明 . 用反证法证明的第一步是：
“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”, 这个命题用反证法证明应假设：
用反证法证明“三角形中最多有一个是直角或钝角”时应假设：
用反证法证明“四边形的四个内角不能都是锐角”时, 应首先假设：
用反证法证明: “多边形的内角中锐角的个数最多有三个”的第一步应该是：
用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时, 可以假设为：
用反证法证明“在 中,至少有一个内角小于或等于 时,第一步是：
25用反证法证明命题“一个三角形的三个内角中, 至多有一个钝角”的第一步应：
26.“反证法”证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时, 是先假设：
三.解答题
27. 已知: .
28. 用反证法证明: 等腰三角形两底角必为锐角.
29. 用反证法证明: 一条线段只有一个中点.
30. 用反证法证明: “在一个三角形中, 外角最多有一个锐角”.
答案解析
1. 否定结论 “至多有两个解” 的说法中, 正确的是 ( )
A. 有一个解 B. 有两个解 C. 至少有三个解 D. 至少有两个解
[答案]
[解析] 在逻辑中 “至多有 个” 的否定是 “至少有 个”,所以 “至多有两个解” 的否定为 “至少有三个解” 故应选 C.
2. 否定 “自然数 中恰有一个偶数” 时的正确反设为
A. 都是奇数 B. a、b、c 或都是奇数或至少有两个偶数
C. a、b、c 都是偶数 D. a、b、c 中至少有两个偶数
[答案] B
[解析] 三个数的奇、偶性有以下几种情况: ①全是奇数: ②有两个奇数,一个偶数; ③有一个奇数,两 个偶数: ④三个偶数. 因为要否定②, 所以假设应为 “全是奇数或至少有两个偶数”. 故应选 B.
3. 用反证法证明命题 “三角形的内角中至少有一个不大于 ” 时,反设正确的是 ( )
A. 假设三内角都不大于 B. 假设三内角都大于
C. 假设三内角至多有一个大于 D. 假设三内角至多有两个大于
[答案] B
[解析] “至少有一个不大于” 的否定是 “都大于 ”. 故应选 B.
4. 用反证法证明命题: “若整系数一元二次方程 有有理根,那么 中至少有一个是偶 数” 时, 下列假设正确的是 ( )
A. 假设 都是偶数 B. 假设 都不是偶数
C. 假设 至多有一个偶数 D. 假设 至多有两个偶数
[答案] B
[解析] “至少有一个” 反设词应为 “没有一个”, 也就是说本题应假设为 都不是偶数.
5. 命题 “ 中,若 ,则 ” 的结论的否定应该是 ( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] "a>b" 的否定应为 "a=b 或 a6. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛, 其中只有一位获奖, 有人走访了四位歌手, 甲说: “是乙或丙获奖”, 乙 说: “甲、丙都未获奖”, 丙说: “我获奖了”, 丁说: “是乙获奖了”, 四位歌手的话只有两句是对的, 则获奖的歌. 手是
A. 甲 B. 乙 . C. 丙 D. 丁
[答案]
[解析] 因为只有一人获奖, 所以丙、丁只有一个说对了, 同时甲、乙中只有一人说对了, 假设乙说的对, 这样丙就 错了, 丁就对了, 也就是甲也对了, 与甲错矛盾, 所以乙说错了, 从而知甲、丙对, 所以丙为获奖歌手. 故应选 C.
7. 用反证法证明命题 “三角形中必有一个内角小于或等于 时,首先应假设这个三角形中
A. 有一个内角大于 B. 有一个内角小于
C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于
[答案]
【解析】用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于 ”时,应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于 ,即都大于 .
8. 用反证法证明命题 “一个三角形中不能有两个角是直角？应先假设这个三角形中
A. 有两个角是直角 B. 有两个角是钝角
C. 有两个角是锐角 D. 一个角是钝角,一个角是直角
[答案] A
【解析】用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角？应先设这个三角形中有两个角是直角.
9. 用反证法证明命题 “在直角三角形中,至少有一个锐角不大于 ”时,应先假设 ( )
A. 有一个锐角小于 B. 每一个锐角都小于
C. 有一个锐角大于 D. 每一个锐角都大于
[答案] D
[解析] 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 ”时，应先假设每一个锐角都大于 .
10. 在证明“在 中至少有两个锐角”时,第一步应假设这个三角形中
A. 没有锐角 . 都是直角 C. 最多有一个锐角 D. 有三个锐角
[答案] C
[解析] 用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角时, 应先假设同一三角形中最多有一个锐角.
11. 用反证法证明: “一个三角形中至多有一个钝角”时, 应假设 ( )
A. 一个三角形中至少有两个钝角 B. 一个三角形中至多有一个钝角
C. 一个三角形中至少有一个钝角 D. 一个三角形中没有钝角
[答案] A
[解析] 从结论的反而出发进行假设, 证明“一个三角形中至多有一个钝角”, 应假设: 一个三角形中至少有两个钝 角.
12. 用反证法证明: 在四边形中,至少有一个角不小于 ,应先假设
A. 四边形中有一个内角小于 B. 四边形中每一个内角都小于
C. 四边形中有一个内角大于 D. 四边形中每一个内角都大于
[答案] B
[解析] 用反证法证明: 在四边形中,至少有一个角不小于 ,应先假设: 四边形中的每个角都小于 .
13. 用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时, 下列假设正确的是 ( )
A. 假设一个三角形中只有一个锐角 B. 假设一个三角形中至多有两个锐角
C. 假设一个三角形中没有一个锐角 D. 假设一个三角形中至少有两个钝角
[答案] D
[解析] 用反证法应先假设“一个三角形中最多有一个锐角”或者假设一个三角形中至少有两个钝角.
14. 用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时, 下列假设正确的是 ( )
A. 三角形中最少有一个角是直角或钝角 . 三角形中没有一个角是直角或钝角
C. 三个角全是直角或钝角 D. 三角形中有两个 (或三个) 角是直角或钝角
[答案]D
[解析] 假设正确的是: 假设三角形中有两个 (或三个) 角是直角或钝角.
15. 命题 “任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形” 的结论的否定是___。
[答案]没有一个是三角形或四边形或五边形
[解析] “至少有一个” 的否定是 “没有一个”.
16. 用反证法证明命题 “ 是自然数 , 可被 5 整除,那么 中至少有一个能被 5 整除”,那么反设的内容是 ___.
[答案] 都不能被 5 整除
[解析] “至少有一个” 的否定是 “都不能”.
17. 用反证法证明命题: “一个三角形中不能有两个直角” 的过程归纳为以下三个步骤:
① ,这与三角形内角和为 相矛盾,则 不成立;
②所以一个三角形中不能有两个直角;
③假设 中有两个角是直角,不妨设 .
正确顺序的序号排列为___。
[答案]③①②
[解析] 由反证法证明的步骤知, 先反证即③, 再推出矛盾即①, 最后作出判断, 肯定结论即②, 即顺序应为③①②.
18. 若 ,证明 . 用反证法证明的第一步是 假设 与 不平行
19. “对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”, 这个命题用反证法证明应假设 对角线不互相平分的四边形是平行四边形
20.用反证法证明“三角形中最多有一个是直角或钝角”时应假设 三角形中至少有两个是直角或钝角
21. 用反证法证明“四边形的四个内角不能都是锐角”时, 应首先假设 四边形的四个内角都是锐角
22. 用反证法证明: “多边形的内角中锐角的个数最多有三个”的第一步应该是: 假设多边形的内角中锐角的个数最少是 4 个
23. 用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时, 可以假设为 三角形中最少有两个角是直角
24. 用反证法证明“在 中,至少有一个内角小于或等于 时,第一步是 假设 中,每一个内角都大于 .
25用反证法证明命题“一个三角形的三个内角中, 至多有一个钝角”的第一步应假设一个三角形的三个内角中, 至少有两个钝角
26.“反证法”证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时, 是先假设 等腰三角形的两底都是直角或钝角
三.解答题
27. 已知: .
求证: .
证明: 用反证法: 假设 不都是正数,
由 可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数,
不妨设 ,则由 ,
可得 ,
又
即
,即 ,
这与已知 矛盾,所以假设不成立.
因此 成立.
28. 用反证法证明: 等腰三角形两底角必为锐角.
证明: ① 设等腰三角形底角 都是直角,
则 ,而 ,这与三角形内角和等于 矛盾.
② 设等腰三角形的底角 都是钝角,
则 ,而 ,这与三角形内角和等于 矛盾.
综上所述,假设 ①,②错误,所以 只能为锐角.
故等腰三角形两底角必为锐角
29. 用反证法证明: 一条线段只有一个中点.
证明: 假设线段 有两个中点 ,不妨设 在 的左边,
则 ,又 ,这与 矛盾,
所以一条线段只有一个交点
30. 用反证法证明: “在一个三角形中, 外角最多有一个锐角”.
证明: 假设三角形中的外角有两个角是锐角.
根据三角形的外角与相邻的内角互补. 知: 与这两个角相邻的两个内角一定是钝角,大于 , 则这两个角的度数和一定大于 180 度, 与三角形的内角和定理相矛盾.
因而假设错误.
故在一个三角形中, 外角最多有一个锐角.