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第三章 实数 单元检测试卷 （解析版）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1 . 实数4的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】由平方根的概念即可选择．
【详解】∵，
∴4的平方根是，
故选：C．
2．在, , , ， , 0中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】试题分析：本题考查无理数的定义：无限不循环小数是无理数.显然，，，是有理数，所以只有，是无理数.故选B.
考点：无理数的定义.
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义：一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，逐项判断即可得到答案．
【详解】A、，计算错误，故A选项不符合题意；
B、，计算错误，故B选项不符合题意；
C、，计算正确，故C选项符合题意；
D、，计算错误，故D选项不符合题意；
故选：C
4 .下列说法正确的是（ ）
A．如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零
B．一个数的立方根不是正数就是负数
C．负数没有立方根
D．一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零
【答案】D
【分析】根据立方根概念，一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或-1，即可解答．
【详解】解：A、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或-1，故错误；
B、一个数的立方根不是正数就是负数，错误；还有0；
C、负数有立方根，故错误；
D、一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零，正确；
故选D．
5．如果，，那么约等于（ ）
A．28.72 B．287.2 C．13.33 D．133.3
【答案】A
【分析】根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致．即把变形为，进一步即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，故A正确．
故选：A
6．一个正方体的体积是，则它的棱长大约是（ ）
A．3cm~4cm B．4cm~5cm C．5cm~6cm D．10cm
【答案】B
【分析】设正方体的棱长为，由题意知，，由，，，可得，然后作答即可．
【详解】解：设正方体的棱长为，
由题意知，，
∵，，，
∴，
故选：B．
．
7 .若一个正数的平方根是与，则这个正数是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，求得的值，然后即可求得这个正数．
【详解】解：∵一个正数的平方根是与，
∴
解得
故选D
8．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得．
【详解】解：大正方形的边长为，
，
，即，
又，
，
，
，
，
与最接近的整数是4，
即大正方形的边长最接近的整数是4，
故选：B．
9．有一个数值转换器，流程如下：
当输入的值为时，输出的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】依据转换器流程，先求出的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数；再取算术平方根为，最后输出，即可求出y的值．
【详解】解：∵的算术平方根是8，8是有理数，
取8的立方根为2，是有理数，
再取2的算术平方根为，是无理数，
则输出，
∴y的值是．
故选：B．
10．对于实数a，b，给出以下三个判断：
①若＝，则＝；
②若＜，则 a＜b；
③若a＝－b，则 a2＝b2．
其中正确的判断的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】①根据绝对值的性质得出反例即可得出答案；
②根据绝对值的性质得出反例即可得出答案；
③根据平方的性质得出，a=-b，则a，b互为相反数，则平方数相等．
【详解】①a，b互为相反数时，绝对值也相等，而负数没有平方根，故①错误；
②当a，b都为负数时，两个负数相比较，绝对值大的反而小，故②错误；
③a＝－b，则a，b互为相反数，它们的平方相等，故③正确．
综上所述，正确的只有③．
故选C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11 .当时，则的结果是 ．
【答案】
【分析】根据算术平方根的计算得出结论即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
12．若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是 ．
【答案】0或1
【分析】设这个数为a，由立方根等于这个数的算术平方根可以列出方程，解方程即可求出a．
【详解】解：设这个数为a，由题意知，
=（a≥0），
解得：a=1或0，
故答案为：1或0
13．已知，那么 ．
【答案】1.8044
【详解】由，得
故答案为：1.8044
14．已知一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），则（b﹣a）的算术平方根为 ．
【思路点拨】根据一个正数的平方根互为相反数求得a值，再求出（b﹣a）的算术平方根即可．
【解析】解：∵一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），
∴a+a﹣4＝0，
∴a＝2，
∴b＝4，
∴b﹣a＝2，
∴（b﹣a）的算术平方根为，
故答案为：．
15．若则|a﹣1|++（c﹣3）2＝0，（a+b）c＝ ．
【思路点拨】先根据非负数的性质求出a和b的值，再代入所求代数式进行计算即可．
【解析】解：∵|a﹣1|++（c﹣3）2＝0，
∴a﹣1＝0，b+2＝0且c﹣3＝0，
则a＝1，b＝﹣2，c＝3，
所以（a+b）c＝（1﹣2）3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
5．已知，，实数在数轴上的对应点如图所示，化简______．
【答案】
【分析】根据数轴上的数的特征由此开二次方根及去绝对值，再合并同类项即可求解．
【详解】解：由数轴可得，，，
则，
故答案为：．
解答题（共7小题，共66分）
计算：
（1） ；
（2）
【答案】（1）（2）
【分析】（1）先求立方根和算术平方根再加减计算；
（2）先求立方根和算术平方根再加减计算．
【详解】（1）原式=；
（2）原式=．
已知a，b，c在数轴上的位置如图，
化简：－│a+b│++│b+c│+．
【答案】-a+4b+2c．
【分析】观察数轴，确定各字母的取值范围，然后根据二次根式的性质和去绝对值符号的法则进行化简．
【详解】由题意得：，，
所以－│a+b│++│b+c│+
=-a+a+b+c-a+b+b+c+b
=-a+4b+2c．
19．解方程
（1）2（x﹣1）2=8；
（2）（x﹣2）3=﹣1．
【答案】（1）x1=3，或x2=﹣1;（2）x=1．
【分析】（1）根据平方根即可解答；
（2）根据立方根即可解答.
【详解】（1）原方程可化为，（x﹣1）2=4，
开方得，x﹣1=±2
∴x1=3，或x2=﹣1，
（2）开立方得，x﹣2=﹣1，
∴x=1．
20．已知2m﹣3与4m﹣5是一个正数的平方根，求这个正数．
【答案】这个正数是1或．
【分析】根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数可得2m﹣3=4m﹣5或2m﹣3=-（4m﹣5），求出m的值，从而得出答案.
【详解】当2m﹣3=4m﹣5时，m=1，
∴这个正数为（2m﹣3）2=（2×1﹣3）2=1；
当2m﹣3=﹣（4m﹣5）时，m=
∴这个正数为（2m﹣3）2=[2×﹣3]2=
故这个正数是1或．
21．（1） 一个正数x的平方根分别是2a3与5a，求a的值；
（2）一个正数的平方根是与，求的值．
【答案】（1）－2；（2）
【分析】（1）根据平方根的概念列式子计算即可；
（2）根据平方根的概念列式子计算即可．
【详解】（1）一个正数x的平方根分别是2a3与5a
；
（2）一个正数的平方根是与，
．
22．如图，是一个数值转换器，原理如图所示．
（1）当输入的x值为16时，求输出的y值；
（2）是否存在输入的x值后，始终输不出y值？
如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．
（3）输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则x＝ ．
【思路点拨】（1）根据运算的定义即可直接求解；
（2）始终输不出y值，则x的任何次方根都是有理数，则只有0和1，另外负数没有算术平方根，也符合题意．
（3）写出一个无理数，平方式有理数，然后两次平方即可．
【解析】解：（1）＝4，
＝2，
则y＝；
（2）x＝0或1时．始终输不出y值，若输入负数，始终输不出y值，
综上所述，x＝0或1或负数．
（3）答案不唯一．x＝[（）2]2＝25或x＝[（）2]2＝36或x＝[（）2]2＝49或x＝[（）2]2＝64．
故答案是：25或36或49或64．
23．分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
；；
(1)请用含有为正整数的等式______；
(2)推算出______．
(3)求出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根据题意找出规律，根据规律解答即可；
（2）根据题意找出规律，根据规律解答即可；
（3）根据题意列出算式，根据乘方法则，加法法则计算即可．
【详解】（1）
解：由题意得：，
故答案为：；
（2）
，
所以，
故答案为：；
（3）
．
24．如图1，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
（1）直尺的长为多少个单位长度（直接写答案）
（2）如图2，直尺AB在数轴上移动，有BC=4OA，求此时A点对应的数；
（3）如图3，以OC为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺AB沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间为t1、t2， 若t1﹣t2=2（秒），求直尺放入蓬内，A点对应的数为多少？
【答案】（1）20；（2）A点对应的数是﹣或8；（3）A点对应的数为25.
【分析】（1）由题可知：OA=AB=BC，所以60÷3=20，则AB=20；
（2）利用图形直观得出，根据等量关系式BC=4OA，列式可求解；
（3）设A点对应的数为a（a>0），向左移动所用的时间t1=，向右移动所用的时间t2=，根据t1-t2=2列式计算即可．
【详解】(1)如图1，由题意得：OA=AB=BC，
∵OC=60，
∴AB=20，
故答案为20;
（2）解：由题意可知：直尺一定在C的左侧，如图，
设点A表示的数为x（x＜0），
∵BC=4OA
∴60 x 20= 4x
.
设点A表示的数为x（x＞0），
∵BC=4OA
∴60 x 20=4x
.
设点A表示的数为x（x＜0），
∵BC=4OA
∴60 （20+x）= 4x
.
综上所述A点对应的数是或8.
(3)设A点对应的数为a(a>0)，
则
解得a=25，
答：A点对应的数为25.
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第三章 实数 单元检测试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1 . 实数4的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．4
2．在, , , ， , 0中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4 .下列说法正确的是（ ）
A．如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零
B．一个数的立方根不是正数就是负数
C．负数没有立方根
D．一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零
5．如果，，那么约等于（ ）
A．28.72 B．287.2 C．13.33 D．133.3
6．一个正方体的体积是，则它的棱长大约是（ ）
A．3cm~4cm B．4cm~5cm C．5cm~6cm D．10cm
7 .若一个正数的平方根是与，则这个正数是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
8．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．有一个数值转换器，流程如下：
当输入的值为时，输出的值是（ ）
A．2 B． C． D．
10．对于实数a，b，给出以下三个判断：
①若＝，则＝；
②若＜，则 a＜b；
③若a＝－b，则 a2＝b2．
其中正确的判断的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11 .当时，则的结果是 ．
12．若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是 ．
13．已知，那么 ．
14．已知一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），则（b﹣a）的算术平方根为 ．
15．若则|a﹣1|++（c﹣3）2＝0，（a+b）c＝ ．
16．已知，，实数在数轴上的对应点如图所示，化简__________．
解答题（共7小题，共66分）
计算：
（1） ；
（2）
已知a，b，c在数轴上的位置如图，
化简：－│a+b│++│b+c│+．
19．解方程
（1）2（x﹣1）2=8；
（2）（x﹣2）3=﹣1．
20．已知2m﹣3与4m﹣5是一个正数的平方根，求这个正数．
21．（1） 一个正数x的平方根分别是2a3与5a，求a的值；
（2）一个正数的平方根是与，求的值．
22．如图，是一个数值转换器，原理如图所示．
（1）当输入的x值为16时，求输出的y值；
（2）是否存在输入的x值后，始终输不出y值？
如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．
（3）输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则x＝ ．
23．分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
；；
(1)请用含有为正整数的等式______；
(2)推算出______．
(3)求出的值．
24．如图1，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
（1）直尺的长为多少个单位长度（直接写答案）
（2）如图2，直尺AB在数轴上移动，有BC=4OA，求此时A点对应的数；
（3）如图3，以OC为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺AB沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间为t1、t2， 若t1﹣t2=2（秒），求直尺放入蓬内，A点对应的数为多少？
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