3.7正多边形 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

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3.7正多边形浙 教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若一个正多边形的每个内角都为，则这个正多边形的边数是( )
A. B. C. D.
2.如图，已知正五边形内接于，连结，则的度数为( )
A. B. C. D.
3.将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点分别对应直尺上的刻度和，则与之间的距离为
A. B. C. D.
4.正六边形内接于，正六边形的周长是，则的半径是( )
A. B. C. D.
5.如图，将一张圆形纸片对折三次后，沿图中的虚线剪下点和为半径的中点，得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为( )
A. B. C. D.
6.几何原本中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：在上任取一点，连接并延长交于点；以点为圆心，为半径作圆弧分别交于，两点；连接，并延长分别交于点，；顺次连接，，，，，，得到六边形再连接，，，交于点则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
7.蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点，，均为正六边形的顶点．若点，的坐标分别为，，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
8.如图，等腰三角形的顶点是圆的等分点，且腰，所对的劣弧不包括，，上分别有个等分点，若等腰三角形是钝角三角形，则至少是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为( )
A. B. C. D.
10.如图，已知正五边形内接于，点在上．若，则的度数为 ( )
A. B. C. D.
11.如图，正三角形和正六边形都内接于，连接，则( )
A. B. C. D.
12.如图，电子屏幕上有边长为的正六边形，红色光点和蓝色光点会按规则在六个顶点上闪亮规则为：红点按顺时针方向每秒一个顶点依次闪亮例如，经过秒由点亮变为点亮，蓝点按逆时针方向每秒隔个顶点闪亮例如，经过秒由点亮变为点亮，若一开始，红点在处，蓝点在处同时开始闪亮，则经过秒后，两个闪亮的顶点之间的距离是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在中，是的内接正六边形的一边，是的内接正十边形的一边，则
14.已知一个正六边形的边心距为，则它的半径为 ．
15.蜂巢是严格的六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是________．
16.我国魏晋时期数学家刘徽在九章算术注中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为如图，的半径为，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为_________
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，正三角形的边长是，求此正三角形的半径、边心距和面积．
18.本小题分
无锡水蜜桃是是江苏最有名的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题．
信息及素材
素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对水蜜桃的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，年水蜜桃平均每株产量是千克，年达到了千克，每年的增长率是相同的．
素材二 一般采用的是长方体包装盒．
素材三 果农们通过问卷调查发现，顾客也很愿意购买美观漂亮的其它设计的包装纸盒．
任务 求水蜜桃产量的年平均增长率；
任务 现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形如图，折成无盖长方体纸盒如图为了放下适当数量的水蜜桃，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高；
任务 为了增加包装盒的种类，打算将任务中的纸板通过图的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒如图，则此时纸盒的高为 图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计

19.本小题分
如图，六边形是的内接正六边形．
求证：在六边形中，过顶点的三条对角线四等分．
设的面积为，六边形的面积为，求的值结果保留．
20.本小题分
如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，求的度数．
21.本小题分
如图是正方形、正五边形、正六边形．
观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角，，，则 ， ，
按此规律，记正边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含的式子表示 其中为不小于的整数．
若，求相应的正多边形的边数．
22.本小题分
如图，正六边形为的内接正六边形，过点作的切线，交的延长线于点，连接，，的半径为．
求的度数
求线段的长
若点为上一点不与点，重合，连接，，直接写出与的面积之和．
23.本小题分
如图，蜜蜂蜂巢的表面是由一个个正六边形组成的，在图中画出一个正六边形的所有对角线．
24.本小题分
如图，正五边形中，点，分别是，的中点，与相交于点．
求证：≌；
求的度数．
25.本小题分
如图，，，，，分别是正五边形各边的中点．求证：五边形是正五边形．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握正多边的内角与它相邻的外角和为，首先根据三角形的内角算出外角度数，再根据正多边形的外角和为，算出边数即可．
【解答】
解：一个正多边形的每个内角都为，
此多边形的每一个外角是：，
这个正多边形的边数是：．
故选B．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正多边形和圆，掌握正六边形、正三角形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质，正三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】
解：如图，
由题意可知，正六边形，，连接交于点，由正六边形的对称性可知，点是正六边形的中心，过点作，垂足为，
点是正六边形的中心，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，，
，
即与之间的距离为．
4.【答案】
【解析】解：连接，，
多边形是正六边形，
，
，
是等边三角形，
，
正六边形的周长是，
，
的半径是，
故选B．
连接，，根据等边三角形的性质可得的半径，进而可得出结论．
本题考查正多边形和圆的关系．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是剪纸问题，正多边形及其概念的有关知识，根据题意得到剩余部分展开后得到的正多边形是正八边形，然后求出每个内角，进而求出此题．
【解答】
解：沿图中的虚线剪下点和点均为半径的中点，得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的正多边形是正八边形，
每个内角为，
剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查作图复杂作图：画正多边形，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆周角定理、正多边形与圆的关系等知识，解题的关键是证明四边形，四边形都是菱形，属于中考常考题型．
根据圆周角定理和等腰三角形判定即可判断；证明，可判断；证明，可判断；证明即可判定．
【解答】
解：在正六边形中，，，
，
，
，故A正确；
，
，，都是等边三角形，
，，
四边形，四边形都是菱形，
，，，
，
，，故 B、D正确；
，，
，故C错误．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：设中间正六边形的中心为，与正半轴的交点为，连接．
点，的坐标分别为，，图中是个全等的正六边形，
，，
，
，
由正六边形的性质可知正六边形被分成六个全等的等边三角形，是线段垂直平分线且平分等边三角形的顶角，
在直角三角形中，，
，
，
，，
．
设中间正六边形的中心为，连接判断出，的长，可得结论．
本题考查正多边形的性质与计算，坐标与图形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8.【答案】
【解析】解：设圆心为，连接、、、，
，
，
等腰三角形是钝角三角形，
，
，
，
，
，
，
点、是的等分点，且所对的劣弧上有个等分点，
，
，
是正整数，
，
的最小值为，
故选：．
设圆心为，连接、、、，由，得，则，所以，因为，所以，则，于是得，因为是正整数，所以，则的最小值为，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理、不等式的应用等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正多边形的计算，圆的相关概念，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是掌握正多边形计算的思路与方法；连接、、、，过点作于，根据等边三角形和正方形均内接于，得出，，，在中，利用勾股定理求出，得出，根据，，于，得出，，，利用含角的直角三角形的性质得出，利用勾股定理求出的长，进而得出的长，即可求解．
【解答】
解：连接、、、，过点作于，如图：
等边三角形和正方形均内接于，
，，，
在中，，，，
，即，
，
，
，，于，
，，，
，
根据勾股定理可得，，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正多边形的性质，圆周角定理，根据正五边形的性质得出与的度数是解题的关键．连接，，，根据正五边形的性质得出的度数，从而得出的度数即的度数，再根据正五边形内接于，得出的度数即可求解．
【解答】
解：如图，连接，，，
五边形是正五边形，
，
，
，
，
正五边形内接于，
，
，
．
故选B．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是三角形的内角和定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正多边形与圆的关系，多边形的内角和外角的有关知识连接，然后利用圆周角定理和等边三角形的性质求出，然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出，再利用正多边形的性质求出，进而求出．
【解答】
解：连接，
为正三角形，
，
，
，
，
六边形为正六边形，
，，
，
，
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正多边形的计算，图形规律问题，含角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是确定经过秒后红点、蓝点的具体位置；根据红色光点和蓝色光点的运动要求，确定经过秒后红点、蓝点的具体位置，再根据正六边形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理进行解答，即可求解．
【解答】
解：根据题意可知，红点从点出发，每经过秒回到原出发点；蓝点从点出发，每经过秒回到原出发点；
，，
经过秒后红点落在点处，蓝点落在点处，
连接，过点作于，如图：
六边形是边长为的正六边形，
，，
，
，于，
，，
在中，，，，
，
，
，
经过秒后，两个闪亮的顶点之间的距离是．
故选：．
13.【答案】
【解析】连结，，，如图．
是内接正六边形的一边，
，
．
是内接正十边形的一边，
．
，
，
．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形，根据勾股定理计算，属于常规题．
设正六边形的中心是，一边是，过作与，在直角中，根据勾股定理即可求得．
【解答】
解：如图，在中，，，
，
，
，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是正多边形与圆有关知识，先求出正六边形的每个外角，然后再进行解答
【解答】
解：如图
正六边形的一个外角为
，
共需正六边形的个数为
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．过 作 于 ，求得 ，根据直角三角形的性质得到 ，根据三角形的面积公式得到 ，于是得到正十二边形的面积为 ，根据圆的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：如图， 是正十二边形的一条边，点 是正十二边形的中心，

过 作 于 ，
在正十二边形中， ，
，
，
正十二边形的面积为 ，
，
，
的近似值为，
故答案为．
17.【答案】解：如图，设点是正三角形的中心，
连接，，过点作于点，
则，，
，，
，
在中，，
，
，
．
．
．
．
此正三角形的半径是，边心距是，面积是．

【解析】本题考查的是勾股定理，等边三角形的性质，正多边形的计算，三角形的面积有关知识，设点是正三角形的中心，连接，，过点作于点，先求出，然后利用直角三角形的性质得出，再利用勾股定理求出，从而求出，最后利用三角形的面积计算
18.【答案】解：任务：设水蜜桃产量的年平均增长率为，
由题意得：
，
解得：，不符合题意，舍去，
答：水蜜桃产量的年平均增长率为；
任务：设裁掉正方形的边长为，由题意得：
，
化简得，，
整理得，，
解得：，不符合题意舍去，
答：此时纸盒的高为；
任务：；
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，角的直角三角形的边长关系，对称的性质；掌握正六边形的性质是解题关键．
任务：设水蜜桃产量的年平均增长率为，则年的产量为千克，由年的产量解方程即可；
任务：由图可得裁掉正方形的边长即为图长方体盒子的高，设裁掉正方形的边长为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可；
任务：设底面正六边形为，连接、、，和交于点，和交于点，所在直线交长方形纸板的边于点、，根据正六边形的性质求得为含角的直角三角形，可得其两直角边的长度；结合等边三角形的判定和性质再求得左右两侧小三角形的高，然后根据长方形纸板的长和宽建立方程求解即可．
【解答】
解：任务：见答案；
任务：见答案；
任务：如图，设底面正六边形为，连接、、，和交于点，和交于点，所在直线交长方形纸板的边于点、，
设底面正六边形的边长为，纸盒的高为，
正六边形的每条边相等，每个内角都为，
为等腰三角形，，
，
由正六边形的性质可得平分，
，
，
直角三角形中，，，
同理可得直角三角形中，，
，，
，
左侧小三角形顶点的角度，
左侧小三角形为边长的等边三角形，
根据图形的上下对称可得与长方形纸板的左右两边垂直，
为等边三角形的高，
，
同理可得，
四边形为矩形，
，
，
，
联立式可得，
答：纸盒的高为；
19.【答案】证明：如图，连接，，，
六边形是的内接正六边形，
，
，
，
过顶点的三条对角线四等分；
解：过作于，连接，
设的半径为，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
正六边形的面积，
的面积，
．
【解析】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，，，根据正六边形的性质得到，求得，于是得到，即可得到结论；
过作于，连接，设的半径为，推出是等边三角形，得到，，根据勾股定理得到，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．
20.【答案】
【解析】略
21.【答案】解：；；；
；
令，整理得，
．
【解析】【分析】
本题主要考查了正多边形与圆的关系，正多边形的计算，解答本题的关键是发现求的度数满足的运算规律．
根据三角形的外角性质，正多边形内角度数的计算方法进行解答，即可求解；
根据的运算结果，得出规律，按照规律直接写出答案即可；
根据中的结论列出关于的方程，解方程，即可求解．
【解答】
解：如图：
根据正方形的性质可知，，，
根据三角形的外角性质可得，；
如图：
根据正五边形的性质可知，，，
根据三角形的外角性质可得，；
如图：
根据正六边形的性质可知，，，
根据三角形的外角性质可得，．
故答案为：；；；
根据的运算结果，得出规律：其中为不小于的整数．
故答案为：；
见答案．
22.【答案】解：如图，连接，
正六边形为的内接正六边形，
为的直径，，
，
．
与相切，为的直径，
，
正六边形为的内接正六边形，
，
在中，，
．
．
【解析】【分析】
本题考查正多边形与圆，涉及直径所对的圆周角为，掌握直径所对的圆周角是直角是解题关键。
连接，为的直径，根据“直径所对的圆周角为”得，由正六边形的性质可得，进而得出的度数；
由正六边形的性质可得，在中，，解直角三角形即可求线段的长
根据三角形面积公式计算即可：．
【解答】
见答案；
见答案
解：正六边形为的内接正六边形，
，，，
为的直径，的半径为，，
，，
，，
23.【答案】解：正六边形有个顶点，每个顶点有条对角线，共有条对角线，每条对角线被计算了两次，所以共有条对角线如图中第三个图形
【解析】本题考查了多边形的对角线，连接多边形不相邻的两个顶点可以得到一条对角线．
边形每一个顶点可以画条对角线，总对角线条数为．
24.【答案】【小题】
五边形是正五边形，，点，分别是，的中点，，，在和中，
≌．
【小题】
≌，，根据多边形内角和公式，可得，．

【解析】 见答案
见答案
25.【答案】证明：，，，，分别是正五边形各边的中点，
．
，，，，．
又，
≌≌≌≌．
，．
．
五边形是正五边形
【解析】略
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