3.8弧长及扇形面积 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
3.8弧长及扇形面积浙教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是( )
A. B. C. D.
2.一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按顺时针方向旋转的角度约为 取，结果精确到
A. B. C. D.
3.如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
4.如图，点是直径为的半圆的中点，连接，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线交于点，连接，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
5.如图，在扇形中，，，若弦，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在正方形中，边长，将正方形绕点按逆时针方向旋转至正方形，则线段扫过的面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，是半径为的半圆上的两个点，是直径，，若的长度为，则图中阴影部分的面积为
A. B. C. D.
8.如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
9.如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得到扇形若，，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
10.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于若，，则的长为( )
A. B. C. D.
11.如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
12.如图，为圆的直径，点在圆上，若，，则的长为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为 ．
14.墨经是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为，滑轮旋转了，则重物“甲”上升了______绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留
15.如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为______．
16.如图，正六边形的边长为，以为圆心，的长为半径画弧，得，则的长度为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知是的直径，，是上的点，，交于点，连结．
求证：．
若，，求的长．
18.本小题分
已知：的直径，与相交于点、，的直径与相交于点，设的半径为，的长为，
如图，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域；
当点在直径上时，如果的长为，求公共弦的长；
设与相交于，试问能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出的长度不必写过程；如果不能，请简要说明理由．
19.本小题分
如图所示，矩形的边在轴上，在轴上，点的坐标是，反比例函数的图象经过点，以点为圆心，为半径作交边于点，连接．
求反比例函数的解析式．
求的度数．
请直接写出图中阴影部分的面积．
20.本小题分
如图，的顶点坐标分别为，，画出将绕点旋转后的，并求旋转过程中点经过的路线长．
21.本小题分
如图，在中，弦垂直于半径，垂足为点点是优弧上一点，连接，，，．
求的度数．
若，求图中劣弧的长．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，．
将向上平移个单位，再向右平移个单位，得到，请画出；
请画出关于轴对称的；
将绕着原点顺时针旋转，得到，求线段在旋转过程中扫过的面积结果保留．
23.本小题分
学习下面方框内的内容，并解答下列问题：
小明在反思学习时，发现解决下列个问题时都用到了同一种数学思想方法：
问题若，求的值．
解决思路：．
问题如图，分别以的个顶点为圆心，为半径画圆，求图中块阴影面积之和．
解决思路：将块阴影扇形拼成一个半径为的半圆，则阴影面积为．
问题已知，求的值．
解题思路：对已知条件进行恒等变形，，，因为，所以，类似可以得到．
问题：
方框内个问题的解决都用到了 的数学思想方法从下列选项中选一个
A.分类讨论
B.数形结合
C.整体
D.从特殊到一般
方框内问题中的值为
如图，已知的半径为，、是的弦，且，，求与的长度之和．
24.本小题分
如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形每个小正方形边长为单位网格的格点上．
的形状是______直接写答案
画出沿轴翻折后的；
画出绕点顺时针旋转的并求出旋转过程中扫过的面积．结果保留
25.本小题分
如图，网格中每个小正方形的边长均为个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上．
将向下平移个单位长度得到，画出；
将绕点按顺时针方向旋转得到，画出；
在的条件下，请求出线段在旋转过程中扫过的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解．
【解答】
解：扇形的弧长，
设圆锥的底面直径为，则，
所以．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了弧长的计算公式：，其中表示弧长，表示弧所对的圆心角的度数．
重物上升，说明点转过的路径长为，然后根据弧长公式得到的方程，解方程即可．
【解答】
解：根据题意得，，
解得，，
所以绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：连接，交于，
沿对折和重合，，
，，，，
，是等边三角形，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积
，
故选：．
连接，交于，根据对折得出，，，，得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出，求出，再分别求出扇形和的面积即可．
本题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：圆心角为，半径为的扇形的面积．
4.【答案】
【解析】解：连接，作于，
点是直径为的半圆的中点，
，，
是等腰直角三角形，
分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，且，
垂直平分，
，
，，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，作于，根据圆周角定理得到，，从而得到是等腰直角三角形，判断是的垂直平分线，进一步即可求得，求得，，得到，即可得到．
本题考查扇形的面积公式、圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是解得，属于中考常考题型．
5.【答案】
【解析】解：连接，如图，
，
，，
，
，
，
，
，
的长．
故选：．
连接，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的性质可计算出，然后根据弧长公式计算的长．
本题考查了弧长公式，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：将正方形绕点按逆时针方向旋转至正方形，
，
线段扫过的面积，
故选：．
根据中心对称的性质得到，根据扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形的面积的计算，正方形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，扇形面积的计算，弧长的计算，解答本题的关键是掌握利用“割补法”求面积的思路与方法；连接、，根据，得出，进一步得出，，，进而得出，利用弧长公式求出的度数为，进而得，再利用扇形面积公式进行解答，即可求解．
【解答】
解：连接、，如图：
，
，
，，
，
，
的长度为，设的度数为，
，
，
的度数为，
，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：连接，，
为的直径，
，
，
，
即点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形三线合一得出点是的中点，从而得出是的中位线，于是，根据同底等高得到和的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据扇形面积公式计算出扇形的面积即可得出阴影部分的面积．
本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，设交于点，连接．
，，
，
，
，，
．
故选：．
设交于点，连接首先证明，根据求解即可．
本题考查扇形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会割补法求阴影部分的面积．
10.【答案】
【解析】解：如图所示：
，
，，
在中，
，，
，
，
解得：，
，
，
，
的长．
故选：．
先根据垂径定理求出的长，由题意得，在中利用勾股定理即可求出的值，然后再利用三角函数计算出所对的圆心角的度数，由弧长公式求出的长即可．
本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，根据垂径定理得出的长，再由勾股定理求出半径是解答此题的关键，同时要熟记圆弧长度的计算公式．
11.【答案】
【解析】【分析】
根据折叠的性质推出，，推出四边形是菱形，连接交于，根据等边三角形的性质得到，求得，根据菱形和扇形的面积公式即可得出答案．
本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
【解答】
解：沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，
，，
，
四边形是菱形，
连接交于，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
的长度，
直接利用等腰三角形的性质得出的度数，再利用圆周角定理得出的度数，再利用弧长公式求出答案．
此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出的度数是解题关键．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长．
即：
故答案为：．
根据弧长的计算方法，计算弧长即可．
本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式是关键．
15.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，，，
≌，
正方形的边长为，
，
阴影部分的面积为扇形的面积，即，
故答案为：．
根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形的面积，然后由勾股定理得出，再由扇形面积公式求解即可．
本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积，能够理解题意，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是正六边形的性质和弧长的计算、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握扇形弧长公式是解题的关键．
由正六边形的边长为，可得，，进而求出，，过作于，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，根据扇形的弧长公式即可得到结论．
【解答】
解：正六边形的边长为，
，，
，
，
过作于，
，，
在中，，
，
同理可证，，
，
长度为
故答案为：
17.【答案】【小题】
证明：是的直径，．，，即，．
【小题】
，，，，的长为．

【解析】 见答案
见答案
18.【答案】解：联结，如图：
的直径，
，
的半径为，
，
，
，
∽，
，
，
，
关于的函数解析式为，定义域为
作，垂足为，如图：
是的弦，，
，
设两圆的公共弦与相交于，则垂直平分，
，
在中，，，
在中，，，
，
当点在线段上时，，
，
，
；
当点在线段上时，，
，
，
；
综上所述，公共弦的长为或；
能为等腰三角形，的长度为或．
【解析】【分析】
本题主要考查了圆的综合，圆的相关概念，相似三角形的判定与性质，函数关系式，自变量的取值范围，勾股定理，弧长的计算，解答本题的关键是掌握圆的相关概念与性质．
联结，证明∽，利用相似三角形的性质得出，即，进而得出关于的函数解析式，并写出定义域即可；
作，垂足为，根据垂径定理得出，设两圆的公共弦与相交于，则垂直平分，，根据锐角三角函数的概念得出，根据点的位置分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，分情况画出图形，结合图形，求出的长，即可求解；
能为等腰三角形，分两种情况：当点在线段上时，，连接，当点在线段上时，，连接，分情况画出图形，结合图形，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理求出的度数，再利用弧长公式进行解答，即可求解．
【解答】
解：见答案；
见答案；
能为等腰三角形，分两种情况：
当点在线段上时，，连接，如图：
则，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，解得，
，
的长度为；
当点在线段上时，，连接，如图：
则，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
根据对顶角的性质可得，，
，
，解得，
，
的长度为；
综上所述，的长度为或．
19.【答案】解：把点代入，得．
反比例函数的解析式是．
矩形中，
，，．
．
由勾股定理得，
故CD．
由勾股定理得．
，
是等边三角形．
；
．
【解析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，勾股定理，扇形的面积等知识．
利用待定系数法求解即可；
由点的坐标确定出各线段的长，利用勾股定理求得，的长，证明是等边三角形，即可得解；
利用梯形的面积减去扇形的面积即可．
【解答】
解：见答案；
见答案；
阴影部分的面积梯形的面积扇形的面积
．
20.【答案】解：如图所示：即为所求，
，
旋转过程中点经过的路线长为：
【解析】此题主要考查了旋转变换以及弧长公式，勾股定理有关知识，直接利用旋转的性质得出对应点位置，再利用弧长公式得出答案
21.【答案】解：连接，
，过圆心，
，
，
，
；
，
，
，，过圆心，
，
则，
劣弧的长为
【解析】连接，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，再求出答案即可；
求出圆心角的度数，解直角三角形求出，再根据弧长公式求出答案即可．
本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧长公式，解直角三角形等知识点，能熟记垂径定理是解此题的关键．
22.【答案】解：如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求；
将绕着原点顺时针旋转，得到，如图，连接交于，连接交于，
，，，
，，，
，
由旋转得：，，，，，
≌，
，
线段在旋转过程中扫过的面积．
【解析】根据平移的性质得出对应点的位置，画出平移后的图形即可；
利用轴对称的性质得出对应点的位置，画出图形即可；
根据题意画出旋转后的图形，先求得：，，，再利用线段在旋转过程中扫过的面积，即可求得答案．
本题考查简单作图、扇形面积的计算、平移变换、轴对称变换、旋转变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】
解：连接并延长，交交于点，连接，
是的直径，
．
在中，
，
，
，
，
又，
，
即与的长度之和为
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理，弧长的计算有关知识
根据所给三个问题，发现都用到了整体思想，据此可解决问题．
按要求继续表示出，再将转化为即可解决问题．
连接并延长，与交于点，利用勾股定理求出的值，发现，进一步得出即可解决问题．
【解答】
解：由题中所给三个问题可知，
在解决问题的过程中都用到了整体思想
继续问题的解题过程，
，
所以，
因为，
所以，
所以
见答案
24.【答案】解：等腰直角三角形；
如图，即为所求．
如图，即为所求，
扫过的面积为．
【解析】【分析】
本题主要考查作图轴对称变换和旋转变换，解题的关键是掌握轴对称变换与旋转变换的定义及其性质，扇形的面积公式等知识点．
根据勾股定理及其逆定理即可判断；
分别作出三顶点关于轴的对称点，再顺次连接可得答案；
作出点，绕点顺时针旋转的对应点，再顺次连接可得，旋转过程中三角形扫过的面积是三角形面积与扇形的面积和，据此列式计算．
【解答】
解：，，，
，且，
是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
见答案；
见答案．
25.【答案】解：如图所示；
如图所示；
由网格图可知：，
根据旋转，，可知
根据旋转，，可知
由图可见：在旋转过程中扫过的面积为：
【解析】本题考查网格作图平移、旋转，以及网格中图形面积的计算，解题涉及平移的性质，旋转的性质，勾股定理，扇形面积公式，掌握平移、旋转的性质和网格中图形面积的计算方法是解题的关键．
按平移变换的性质分别确定，，平移后的位置，再按原来的连接方式连接即可；
按旋转变换的性质分别确定，，绕点顺时针旋转度后的位置，再按原来的连接方式连接即可；
在旋转过程中扫过的面积为：，根据扇形的面积公式求解即可．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)