4.1比例线段 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
4.1比例线段 浙教版初中数学九年级上册同步练习
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则等于 ( )
A. B. C. D.
2.若，则下列等式成立的是
A. B. C. D.
3.校园里一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”如图，如果将看作一条线段，为的黄金分割点，，那么的长度为( )
A. B. C. D.
4.如果，且
，那么的值为
( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. 或 D.
6.如图，已知线段，按以下步骤作图：过点作，使，连接；以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以长为半径画弧，交于点若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知，则分式的值为 ( )
A. B. C. D.
8.某品牌寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度与从轮子底部到拉杆顶部的高度之比是黄金比约等于已知，则约是( )
A. B. C. D.
9.如图，以线段为边作正方形，取的中点，连接，延长至，使得，以为边作正方形，则点即是线段的黄金分割点若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
10.如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接以下结论不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.若线段的长为，点是线段的黄金分割点，则最短的线段的长为( )
A. B. C. D.
12.人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的法就应用了黄金分割数设，，得，记，，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，的直角边，，在数轴上，在上截取，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则的中点对应的实数是______．
14.若，则______．
15.若，则____．
16.如图，若线段，点是线段上黄金分割点，则线段长是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，求证：．
18.本小题分
已知，且，求，，的值．
19.本小题分
如图所示，点把线段分成与，若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．
根据上述定义求黄金比；
在图中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．
作线段的垂直平分线，得线段的中点；
过点作垂线；
以点为圆心，以为半径作圆交于；
连接，以为圆心，以为半径作圆交于；
以点为圆心，以为半径作圆交于．
证明你按以上步骤作出的点就是线段的黄金分割点．
20.本小题分
计算：已知，，求的值．
已知，求的值．
21.本小题分
阅读下列材料：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，使它的周长和面积分别是矩形周长和面积的倍，且是整数那么我们把矩形叫做矩形的倍矩形．例如：矩形的长和宽分别为和，它的周长和面积分别为和；矩形的长和宽分别为和，它的周长和面积分别为和，这时，矩形的周长和面积分别是矩形周长和面积的倍，则矩形叫做矩形的倍矩形．解答下列问题：
填空：一个矩形的周长和面积分别为和，则它的倍矩形的周长为 ，面积为 ．
已知矩形的长和宽分别为和，那么是否存在它的倍矩形，且若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
22.本小题分
已知线段、、满足，且．
求、、的值
若线段是线段、的比例中项，求的值．
23.本小题分
已知，且，求的值．
24.本小题分
已知，，求代数式的值．
25.本小题分
已知：，求代数式的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
，
：：．
故答案为：．
根据已知条件得出，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案．
此题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知条件得出是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，，故C错误；D正确；
，，故A错误；
，，故B错误；
故选：．
根据比例的性质逐个判断即可．
本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果，那么．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键直接利用黄金分割的定义计算出的长即可．
【解答】
解：为的黄金分割点，，
．
4.【答案】
【解析】解：首先，根据题目中的条件，我们可以得到、、的值：

接下来，我们计算、、的和：
，
最后，根据题目中的另一个条件，我们可以求出的值：
。
故答案为：的值为。
5.【答案】
【解析】解：分两种情况：
当时，根据等比性质，
得；
当时，
则，．
综上所述，的值为或．
故选：．
分两种情况进行讨论：当时，根据等比性质计算得出结果；当时，则，代入计算得出结果．
本题考查了比例的性质，熟悉等比性质：若，则特别注意条件的限制分母是否为进行分类讨论是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：令的长为，
则，
在中，
．
因为，，
所以，
则，
所以的值为．
故选：．
令的长为，根据题中所给作图步骤，可得出的长为，再用勾股定理表示出的长，进而可得出即的长，据此可解决问题．
本题考查黄金分割，能用含的代数式表示及的长是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查分式的化简求值解题的关键是能够对已知条件和代数式进行正确的变形，难度不大．首先将已知条件变形为，从而得到，然后将原式变为，整体代入求解即可．
【解答】
解：，
，即，
原式
．
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键，
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】
解：由题意得：，
，
．
9.【答案】
【解析】【分析】根据是的黄金分割点求出，求出，最后对比即可解答．
【详解】解：点即是线段的黄金分割点，
，
，
．
故选：
本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、黄金分割点等知识点，利用黄金分割点的定义得到是解答本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，，
，
由题意得：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽
，
，
，
故A、、不符合题意，符合题意；
故选：．
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据题意可得：平分，从而可得，然后利用等量代换可得，从而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，最后根据∽可得，从而可得，再利用三角形的面积可得，从而进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，作图基本作图，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点其中，并且线段的黄金分割点有两个．
根据黄金分割点的定义，知为较长线段则，代入的值即可得出的值，然后计算即可得到．
【解答】
解：为线段的黄金分割点．
，
．
12.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
同理：，，，
．
故选：．
根据得，，同理：，，，，则，然后再把算式中的每一个分数分成两个分数的差，再进行加减运算即可得出答案．
此题主要考查了分式的运算，分数的加减运算，根据已知条件分别求出，，，，，是解决问题的关键．
13.【答案】
【解析】解：的直角边，，
，
又，
，
点是的中点，
，
即点所表示的数为：，
故答案为：．
根据勾股定理求出，进而求出，最后求出即可．
本题考查数轴表示数的意义和方法、勾股定理 ，求出的长是解决问题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
设，，
．
故答案为．
利用比例的性质可设，，然后把，代入中进行分式的混合运算即可．
本题考查了比例的性质：灵活应用比例性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质进行计算．
15.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
直接利用比例的性质变形求出答案．
【解答】
解：，
．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义知为较长线段，则，代入数据即可得出的值，即可解答．
【解答】
解：由于为线段的黄金分割点，且，为较长线段，，
则．
故答案为．
17.【答案】证明：，，即．，，即．由可得．
【解析】略
18.【答案】，，．
【解析】见答案
19.【答案】解：设，，则，
由，得，
则，
整理得；，
解得：，不合题意，舍去．
所以．
故黄金比为：．
如图中，点即为所求作．
设，则，
由勾股定理得，，
则，
，
点为是线段的黄金分割点．
【解析】设，，根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案．
根据要求作出图形即可．
设，根据题意表示出、，根据勾股定理求出，求出与的比值，根据黄金比值进行判断即可．
本题考查作图复杂作图，黄金分割等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】解：，，
，，
原式
；
，
，，，
原式
．
【解析】本题考查的是二次根式的化简求值和比例的性质，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则、完全平方公式和比例的性质是解题的关键．
根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，利用完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
根据比例的性质得，，，代入所求的式子即可求出答案．
21.【答案】【详解】解：这个矩形的周长和面积分别为和，
它的倍矩形的周长为：，它的倍矩形的面积为：，
故答案为：；
不存在，理由如下：
假设存在，
，且矩形的长和宽分别为和
，即：，，
，即：，
由倍矩形的定义得：
，
即：，
即：，
，
解得：或，
，
不存在满足条件的．

【解析】【分析】本题考查了倍矩形的定义、比例的性质：
根据倍矩形的定义即可求解；
根据倍矩形的定义得，进而可得，即，解方程即可求解；
熟练掌握倍矩形的定义是解题的关键．
22.【答案】解：设，
则，，．
因为，
所以，解得，
所以，，．
因为线段是线段、的比例中项，
所以，
所以舍负．

【解析】【分析】本题考查比例的性质和比例线段根据比例的性质和比例线段的定义求解即可．
设，然后用表示出、、，再代入等式求解得到，然后求解即可；
根据比例中项的定义列式求解即可．
23.【答案】解：设，则，，，
，
，
，
，，，
．
【解析】设，得出，，，再根据，求出的值，然后得出，，的值，从而得出的值．
此题考查比例的性质，关键是设，得出的值．
24.【答案】解：
，
，
，
原式．
【解析】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
将所求式子第一个因式的分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，然后由已知的等式用表示出，将表示出的代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值．
25.【答案】解：
，
，
，
原式
．
【解析】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
将所求式子第一个因式的分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，然后由已知的等式用表示出，将表示出的代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)